2019年全国一卷理科数学试卷

2019.62019年普通高等学校招生全国统一考试（I卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合，则A. B. C. D. 2. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x,y)，则A. B. C. D. 3. 已知，则A. B. C. D. 4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190 cm5. 函数的图像大致为A. B. C.D. 6. 我国古代典籍周易用卦描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A. B. C. D. 7. 已知非零向量a，b满足|a| = 2|b|，且(a - b)b，则a与b的夹角为A. B. C. D. 8. 右图是求的程序框图，图中空白框应填入A.B.C.D.9. 记Sn为等差数列的前n项和。已知S4 = 0，= 5，则A. B. C. D. 10. 已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A、B两点，若，则C的方程为A. B. C. D. 11. 关于函数有下述四个结论：是偶函数在区间单调递增在有4个零点的最大值为2A. B. C. D. 12. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA = PB = PC，是边长为2的正三角形，E、F分别是PA、AB的中点，则球O的体积为A. B. C. D. 2、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 曲线在点(0,0)处的切线方程为_。14. 记Sn为等比数列的前n项和，若，则_。15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）。 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”。设甲队主场取胜的概率为0.6， 客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是_。16. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与C的两条渐近 线分别交于A、B两点，若，则C的离心率为_。3、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（1） 必考题：共60分。17. （12分）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，设。（1） 求A；（2） 若ADBECNA1B1D1C1M18. （12分）如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1 = 4，AB = 2，E、M、N分别是BC、BB1、A1D的中点。（1） 证明：MN / 平面C1DE；（2） 求二面角A-MA1-N的正弦值。19. （12分）已知抛物线的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A、B，与x轴的交点为P。（1） 若，求l的方程；（2） 若。20. （12分）已知函数。证明：（1） 存在唯一极大值点；（2） 有且仅有2个零点。21. （12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药，一轮的治疗效果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 -1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 -1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。甲、乙两种药的治愈率分别记为，一轮试验中甲药的得分记为X。（1） 求X的分布列；（2） 若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为i时，最 终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，其中 。假设。（i） 证明：为等比数列；（ii） 求，并根据的值解释这种试验方案的合理性。（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。22. 选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为。（1） 求C和l的直角坐标方程；（2） 求C上的点到l距离的最小值。23. 选修45：不等式选讲（10分）已知a、b、c为正数，且满足abc = 1。证明：（1）（2）