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理论物理导论 拉格朗日用全新方法来处理力学问题，无 论问题多么复杂，均把矢量变为标量，扩大了 坐标的概念，引入广义坐标，便于研究受约束 质点组的力学问题。 分析力学讨论习题课 0) L ( q L qdt d 拉格朗日方程 理论物理导论 例 1 求质点在重力场中的动力学方程 广义坐标为 x,y.z S=3 2222 2 1 2 1 2 1 2 1 zmymxmmvT m g zU m g zzmymxmTL ) 2 1 2 1 2 1(U 222 xmxL 0 x L 理论物理导论 ym y L 0 y L zmzL mgzL 0)( q L q l dt d 代入 0 xm 0ym 0 mgzm xmxL 0 xL m g zzmymxmTL ) 2 1 2 1 2 1(U 222 理论物理导论 例 2求质点在单摆中的动力学方程 广义坐标为 S=1 2 2 1 mvT lv 22 2 1 mlT c o sU m g l l 0 )c os 2 1U 22 m glmlTL 2mlL s inm gl L 理论物理导论 0)L( q L qdt d 代入 0s i n)( 2 m g lml dt d 0s in2 mg lml 02 mg lml 动力学方程 2mlL s inm gl L 理论物理导论 例 3 如图所示，滑轮组悬挂三个重物，质量分别为 m1、 m2和 m3，试分别求出这三个重物加速度的大小。滑轮及绳子 的质量可忽略不计。 分析： 利用拉格朗日方程组可求解 关键是找出广义坐标，因三个重物， 二个滑轮，在同一平面作一维运动， 需 5个参量描述，又 A固定和两个绳长 一定的约束，故只需 2个独立坐标 q1， q2 1m A B 2m 3m 1q 2q 理论物理导论 解： 建立如图所示的一维坐标系 Ox 三重物分别对应的坐标为 x1， x2 ， x3 设滑轮 A、 B半周长分别为 s1和 s2 1 1 1 1x l s q 由图中几何关系有： 滑轮 A、 B上的绳长分别为 l1和 l2 2 1 2 2 2x q l s q 3 1 2x q q 重物 速度 11xq 2 1 2x q q 3 1 2x q q A B 2m 3m 1q 2q x O 理论物理导论 不计滑轮和绳的质量，那么体系的动能为： 2 2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 2 1 1 2 1 2 3 1 2 22 1 2 3 1 2 3 2 3 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 11 ( ) ( ) ( ) 22 T m x m x m x m q m q q m q q m m m q m m q m m q q 体系的势能为： 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V m g x m g x m g x m g l s q m g q l s q m g q q m m m g q m m g q m g s m g l m g s m g l m m m g q m m g q V 理论物理导论 体系的拉格朗日函数为： 22 1 2 3 1 2 3 2 3 2 1 2 11( ) ( ) ( ) 22L T V m m m q m m q m m q q 代入拉格朗日方程组有： 1 2 3 1 3 2 2 1 2 3 11 ( ) ( ) ( ) ( ) 0d L L d m m m q m m q m m m gdt q q dt 2 3 2 3 2 1 2 3 22 ( ) ( ) ( ) ( ) 0d L L d m m q m m q m m gdt q q dt 化简为： 1 2 3 1 3 2 2 1 2 3( ) ( ) ( ) 0m m m q m m q m m m g 2 3 2 3 2 1 2 3( ) ( ) ( ) 0m m q m m q m m g 1 2 3 1 2 3 2 0( ) ( )m m m g q m m g q V 理论物理导论 解得： 2 1 3 1 2 1 1 2 3 1 2 ( 4 ) ( 4 ) m m m m mqg m m m m m 1 3 2 2 1 2 3 1 2 2 ( ) ( 4 ) m m mqg m m m m m 所以各重物的加速度为： 1 2 2 1 3 11 1 2 3 1 2 ( 4 ) ( 4 ) m m m m mx q g m m m m m 2 1 3 1 2 2 1 2 1 2 3 1 2 ( 4 3 ) ( 4 ) m m m m mx q q g m m m m m 2 1 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 ( 4 ) 3 ( 4 ) m m m m mx q q g m m m m m 理论物理导论 r 在给定瞬时 t，质点为约束所允许的 可能发生的无限小位移 虚位移的发生不需要时间 虚位移的个数有无穷多个 ( 0)t 虚位移 垂直于约束曲面在该点的法线， 位于约束曲面的切平面，不破坏约束 r 不耗时 实位移 dr dt(0)时间内，质点发生的真实位移 dr 耗时 虚位移 虚功原理（虚位移原理） 理论物理导论 几何约束 运动约束 (微分约束 ) 稳定约束 不稳定约束 不可解约束 (双侧 (面 )约束 ) ( , ) 0fr r ( ) 0fr ( , ) 0fr t ( , ) 0f r t 可解约束 (单侧 (面 )约束 ) ( ) 0fr 完整约束 不完整约束 可积分成几何约束 不可积分成几何约束 ( ) 0fr 约束分类 理论物理导论 定义 设想虚位移 等时变分算子； d 微分算子 发生在虚拟时间 t(=0)内 r 为 t(=0) 内 满足变分约束方程的矢径的变分 r 数学处理上， 设函数 在稳定约束情况下，实位移是无数虚位移乊中的一个 在不稳定约束情况下，实位移则不一定是虚位移乊中的一个 理论物理导论 F 实功 R ( ) 0d W F R d r 作用在质点上的力在 dt时间内，在实位移上做的功 设质点受到主动力 和约束力 ，发生了位移 dr 虚功 作用在质点上的力在仸意时刻的虚位移上做的功 ( ) 0W F R r 理论物理导论 理想约束 所作的虚功乊和为零 力学体系下，诸约束力 在仸意虚位移 iR 1 0 n ii i Rr ir 中， 的约束 iiRr 如光滑面 ,光滑曲线 ,光滑铰链等 iiRr ,但 1 0 n ii i Rr 如刚性杆、不可伸长的绳等 理论物理导论 虚功原理（虚位移原理） n个质点的力学体系，每个质点都处于 平衡 状态， ( ) 0i i i iW F R r ( 1 , 2 , ., )in 对力学体系有： 11 0 nn i i i i ii W F r R r 理想约束条件下 ，有： 11 ( ) 0 nn i i i x i i y i i z i ii W F r F x F y F z 虚功原理 则： 理论物理导论 虚功原理与平衡态下牛顿第二定律 虚功原理是考虑了 理想约束 条件下的结果 11 ( ) 0 nn i i i i i ii W F R r F r 1 ( ) 0 n ii i FR 0iiFR( ) 0i i i iW F R r 力系平衡时的虚功 力系平衡时的方程 是等价的 ( 0)a rmR ii F 0F rmR ii 动力学力系非平衡时的方程 动力学力系平衡时的方程 理论物理导论 达朗伯 -拉格朗日原理 设质点系的质点 Pi受主动力 Fi的作用，质点系的约 束都是理想、双面约束，可能运动 ri = ri(t)是真实 运动的充分必要条件是： 1 ( ) 0 n i i i i i m F r r 动力学普遍方程 理论物理导论 牛顿定律和达朗伯 -拉格朗日原理是等价的，但它们 的思路是不同的。 牛顿定律 将约束用反力来代替，直接给出各质点真实 运动和主动力、约束反力的关系 达朗伯 -拉格朗日原理 先考虑约束对运动的限制，在 约束允许的可能运动中找出真实运动。 动力学普遍方程 1 ( ) 0 n i i i i i m F r r 理论物理导论 0 , 1 , 2 , ,i i i im i n F N r牛顿定律 11 ( ) 0 nn i i i i i i ii m F r r N r 对理想约束 1 0 n ii i Nr 1 ( ) 0 n i i i i i m F r r 理论物理导论 11 ( ) 0 nn i i i i i i ii m F r r N r 由理想约束的定义和 达朗伯 -拉格朗日原理： 1 ( ) 0 n i i i i i i m F N r r 用约束反力代替约束后，质点系就变成了自由 质点系，所有虚位移都是相互独立的，故 0 , 1 , 2 , ,i i i im i n F N r 理论物理导论 1. 确定研究对象：整体 2. 受力分析：画出作功的主动力 3. 运动分析：分析加速度 4. 给出虚位移，找出它们之间的关系 几何法：根据约束的几何关系，直接 找出各点虚位移之间的关系 解析法：对约束方程进行变分，即可 求得各点虚位移之间的关系 5. 列出动力学方程，并求解 达朗伯原理解题步骤 理论物理导论 建立如图所示系统的运动微分方程。 o x 1m 2m y 例 1 理论物理导论 o x1m 2m y 1r 2r 12rr 1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) 0m m m m g a r g a r 1 ( ) 0 n i i i i i m F r r 1 1 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 0m g m a m g m a rr 2 1 1 2 2 2 ( ) ( ) 0m m g m m a r 12aa 1 2 2 2 1( ) ( )m m x m m g 1a 2a 解法 1 理论物理导论 0)()( 22221111 xxmgmxxmgm 0)()( 222112 xxmmgmm 12x x l gmmxmm )()( 12221 o x1m 2m y 1 ( ) ( ) ( ) 0 n i i i i i i i i i i i i i X m x x Y m y y Z m z z 1yr 12xx 1 0y 2yr 2 0y 12xx 解法 2 理论物理导论 2a 2m g o x y 1mg 1a T T 1 1 1m g T m a 2 2 2m g T m a TT 12aa 1 2 2 2 1( ) ( )m m a m m g 请比较用牛顿定律、达朗贝尔 -拉格朗日原 理和拉格朗日方程解题的优缺点。 运动分析 受力分析 列写运动微分方程 解法 3 牛顿定律 理论物理导论 建立如图所示单摆的运动微分方程。 o y l x 例 2 理论物理导论 o y l x mg r a al ( ) = 0nm m m g a a r ( s i n ) = 0m g m l r s i n 0g l an 解 1： 02 mg lml 02 mg lml 理论物理导论 分析力学的优点 1. 消去“理想约束”，减少方程组中未知量的个数； 2. 理论完整，涉及范围广，内容丰富； 3. 学习分析力学不仅是为了提高和深化力学知识， 也是为后续课程学习的的需要。哈密顿正则方程和 正则变换在统计物理中有重要应用，泊松括号的概 念在量子力学中非常重要。 理论物理导论 分析力学的缺点 数学推理多，容易使人忽略力学的物理实质，因 此用数学来解决问题时要注意物理意义，数学毕竟 是一种工具，归根结蒂要用物理知识来判断。 自己推导弹簧振子的动力学方程式（分 析力学方法）