大一高数课件ch2-4极限运算法则

第四节 极限运算法则 一、极限运算法则 定理 .0, )( )( lim)3( ;)()(l i m )2( ;)()(l i m )1( ,)(lim,)(lim B B A xg xf BAxgxf BAxgxf BxgAxf 其中 则设 证 .)(l i m,)(l i m BxgAxf .0,0.)(,)( 其中BxgAxf 由无穷小运算法则 ,得 )()()( BAxgxf .0 .)1( 成立 )()()( BAxgxf ABBA )( )( BA .0 .)2( 成立 B A xg xf )( )( B A )( B AB .0 AB ,0,0 B又 ,0 ,0 0 时当 xx ,2B BB BB 21 B21 推论 1 ).(lim)(l i m ,)(lim xfcxcf cxf 则为常数而存在如果 常数因子可以提到极限记号外面 . .)( l i m)(l i m ,)(lim nn xfxf nxf 则是正整数而存在如果推论 2 ,21)( 2BBB ,2)( 1 2BBB 故 有界， .)3( 成立 定理 ( ) ( ), ( ) , ( ) , . x x x a x b ab 如 果 而 那 么 ( ) ( ) ( ) ,f x x x令 l i m ( ) l i m ( )x x a b 证 由函数极限的局部保号性 则 l i m ( ) l i m ( ) ( )f x x x ( ) 0fx l i m ( ) 0 0 .f x a b a b 则有设 ,)(.1 110 nnn axaxaxf nnxxnxxxx axaxaxf 110 )l i m()l i m()(l i m 000 nnn axaxa 10100 ).( 0 xf 0 ()2. ( ) , ( ) 0 , () n m m PxQ x P x Px 且 有 0 0 0 li m ( ) li m ( ) li m ( ) nxx xx mxx Px Qx Px 0 0 () () n m Px Px 0( ).Qx 二、求极限方法举例 时，当 其定义域为为基本初等函数设 Dx Dxf 0 ,)(.3 例 1 .53 1lim 2 3 2 xx x x 求 解 )53(l i m 22 xxx 5lim3limlim 2222 xxx xx 5limlim3)lim( 2222 xxx xx 5232 2 ,0 53 1lim 2 3 2 xx x x )53(lim 1limlim 2 2 2 3 2 xx x x xx .373 12 3 解 )32(l i m 21 xxx ,0 商的法则不能用 )14(lim 1 xx又 ,03 14 32l i m 2 1 x xx x .03 0 由无穷小与无穷大的关系 ,得 例 2 .32 14l i m 2 1 xx x x 求 .32 14lim 2 1 xx x x 解 例 3 .32 1l i m 2 2 1 xx x x 求 .,1 分母的极限都是零分子时x .1 后再求极限因子先约去不为零的无穷小 x )1)(3( )1)(1(lim 32 1lim 12 2 1 xx xx xx x xx 3 1lim 1 x x x .2 1 )00( 型 (消去零因子法 ) 解 .,2 32 lim4 2 2 1 ba xx baxx x 、求设例 .,1 而商的极限存在分母的极限是零时x .01)(lim 21 babaxxx则 )1)(3( )1)(1(lim 32 lim 12 2 1 xx xax xx baxx xx 于是 .2 4 2 3 1lim 1 a x ax x .7,6 ba故 例 5 .147 532lim 23 23 xx xx x 求 解 ., 分母的极限都是无穷大分子时x )( 型 .,3 再求极限分出无穷小去除分子分母先用 x 3 3 23 23 14 7 53 2 l i m 147 532 l i m xx xx xx xx xx .72 (无穷小因子分出法 ) 小结 : 为非负整数时有和当 nmba ,0,0 00 , ,0 , lim 0 0 1 10 1 10 mn mn mn b a bxbxb axaxa n nn m mm x 当 当 当 无穷小分出法 :以分母中自变量的最高次幂除分 子、分母 ,以分出无穷小 ,然后再求极限 . 例 6 .,2) 1 2(l i m 2 babax x x x 、求设 解 1 112lim 2 x xbxaxx x 左边 1 21lim 2 x bxbaxa x 商的极限存在，必须 01 a 2 ba， 解得 1a 3b， . 例 7 ).21(l i m 222 nnnn n 求 解 是无限多个无穷小之和时 ,n 2222 21l i m)21(l i m n n n n nn nn 2 )1( 2 1 li m n nn n ) 11( 2 1l i m nn .2 1 先变形再求极限 . 例 8 .s i nlim x x x 求 解 ,1, 为无穷小时当 xx .s i n 是有界函数而 x .0s i nl i m x x x xxy sin 例 9 ).(li m,0,1 0,1)( 02 xfxx xxxf x 求设 y o x 1 xy 1 12 xy 解 两个单侧极限为是函数的分段点 ,0 x )1(lim)(lim 00 xxf xx ,1 )1(lim)(lim 200 xxf xx ,1 左右极限存在且相等 , .1)(l im 0 xfx故 定理（复合函数的极限运算法则） 0 l i m ( )xx xa ( )y f x 即 而函数 y=f(u)在点 u=a处有定义且 设函数 ()ux 当 0 xx 时的极限存在且等于 a l i m ( ) ( )ua f u f a 那么复合函数 当 0 xx 时的极限存在且等于 f(a),即 0 l i m ( ) ( )xx f x f a 00 l i m ( ) l i m ( ) x x x x f x f x 例 8 23 3l i m . 9x x x 求 解 : 23 3lim 9x x x 16 . 66 23 3lim 9x x x 例 9 2 0 11l i m . x x x 求 解 : 22 20 ( 1 1 ) ( 1 1 ) lim ( 1 1 )x xx xx 0 2 0. 原式 20 lim 11x x x 三、小结 思考 1. 极限的四则运算法则及其推论 ; 2. 极限求法 ; a.多项式与分式函数代入法求极限 ; b.消去零因子法求极限 ; c.无穷小因子分出法求极限 ; d.利用无穷小运算性质求极限 ; e.利用左右极限求分段函数极限 . 3. 复合函数的极限运算法则 思考题 在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为 什么？ )(xf )(xg )()( xgxf 思考题解答 没有极限 假设 有极限， )()( xgxf )( xf 有极限， 由极限运算法则可知： )()()()( xfxgxfxg 必有极限， 与已知矛盾 故假设错误 ._1s i nl i m.5 2 0 x x x ._33l i m.1 3 2 x x x 一、填空题 : ._11l i m.2 3 1 x x x ._ _ _ _ _ _ _ _ _ _)112)(11(lim.3 2 xxxx ._ _ _ _ _ _ _ _ _ _5 )3)(2)(1(lim.4 3 n nnn n 练 习 题 ._ _ _ _ _ _ _ _ _ _23 24lim.7 2 24 0 xx xxx x ._ _ _ _ _ _)12( )23()32(l i m.8 50 3020 x xx x 二、求下列各极限 : )21.41211(lim.1 nn h xhx h 22 0 )(lim.2 ._ _ _ _ _ _ _ _ _ _c o sl i m.6 xxx ee x 38 2 31l i m.4 x x x )(l i m.5 xxxxx 14 12lim.6 x x x 2lim.7 1 nm nm x xx xx )1 31 1(lim.3 3 1 xxx 一、 1. - 5 ； 2. 3 ； 3. 2 ； 4 . 5 1 ； 5. 0 ； 6. 0 ； 7. 2 1 ； 8 . 30) 2 3 ( . 二、 1. 2 ； 2. x2 ； 3. - 1 ； 4. - 2 ； 5. 2 1 ； 6. 0 ； 7. nm nm . 练习题答案