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习 题 课 第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 - 1 - 第七章习题课 例 1 已知 | | 13, | | 19, | | 24,a b a b 求 | | .ab 解 2 2 2| | | | 2 | |a b a a b b 而 2 2 2| | | | 2 | |a b a a b b 所以 2 2 2 2| | 2 | | 2 | | | |a b a b a b 2 2 2 22 ( 13 19 ) 24 22 | | 2 2ab 习 题 课 第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 - 2 - 例 2 设向量 c 垂直于 2 , 3 , 1 , 1 , 2 , 3 ,ab 且 | | 3 ,c c 与 y 轴的夹角成钝角，求 .c 解 由于 c 垂直于 ,ab 所以 c 与 ab 共线， 所以 c a b 2 3 1 1 2 3 i j k ( 7 7 7 )i j k 由于 | | 3 ,c 所以 2 2 2 23 ( 7 ( 7 ) ( 7 ) 7 3 | | 1 , 7 又因 0,cj 所以 1 , 7 即 1 , 1 , 1 c 习 题 课 第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 - 3 - 例 3 求以点 ( 3, 4, 1 ) , ( 2, 0, 3 ) , ( 3, 5, 4 )A B C为顶点的 三角形面积。 解 1 , 4, 4AB 6, 1 , 5AC 1 4 4 6 1 5 i j k A B A C 24 19 25i j k 1 | 2S AB AC 1 222 21 ( 2 4 ) ( 1 9 ) ( 2 5 ) 2 1 1562 2 习 题 课 第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 - 4 - 例 4 已知 | | 4, | | 5, 10,a b a b 解 | | | | | | s in( , )a b a b a b 求 | | .ab 10 1c os( , ) | | | 4 5 2 abab ab 所以 2 3sin( , ) 1 c o s ( , ) 2a b a b 3| | 5 4 1 0 3 2ab 习 题 课 第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 - 5 - 例 5 求过 z 轴且与平面 2 5 0 x y z 夹角为 3 的 平面方程 . 解 过 z 轴的平面方程的一般形式为 0A x B y 由于和平面 2 5 0 x y z 的夹角为 ,3 所以 2 2 2 1 | 2 |c o s 23 2 1 5 AB AB 即 223 8 3 0A AB B 30AB或 30AB 所求平面方程为 30 xy或 30 xy 习 题 课 第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 - 6 - 例 6 求平行于点 ( 5, 11 , 3 ) , ( 7 , 10, 6 ) , ( 1 , 3, 2 )A B C 所确定的平面 ,且与它的距离为 2 的平面方程 . 解 点 ,A B C所在平面的法向量为 n A B A C 1 2 , 2 1 , 9 6 , 8 , 5 3 3 , 6 , 3 0 3 1 1 , 2 , 1 0 设所求平面方程为 11 2 10 0 x y z D 点 C 到其距离为 2, 因此 2 2 2 | 1 1 1 ( 2 ) ( 3 ) 1 0 ( 2 ) | | 3 |2 151 1 ( 2 ) 1 0 DD 2 7,D 或 33D 11 2 10 27 0 x y z 或 11 2 10 33 0 x y z 习 题 课 第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 - 7 - 例 7 通过直线 1 1 1: 2 3 4x y zL 且垂直于平面 20 x y z 的平面方程 . 解 所求平面的法向量 n 垂直于已知直线方向向量 s 和已知平面法向量 1,n 所以 1 2, 3, 4 2, 1 , 1 n s n 1 , 1 0 . 8 所求平面过已知直线 ,因此过点 (1,1,1),所以所求平面 方程为 1 10 ( 1 ) 8 ( 1 ) 0 x y z 即 10 8 3 0 x y z 习 题 课 第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 - 8 - 例 8 求过点 ( 1 , 2 , 3 )M 且与三坐标轴成等角的直线 方程 . 解 设所求直线的单位方向向量为 c os , c os , c os s 由题意 , 所以 23 c os 1 3c os 3 所求直线方程为 1 2 3x y z 习 题 课 第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 - 9 - 例 9 求在平面 1x y z 上 ,且与直线 1 1 y z 垂直 相交的直线方程 . 解 所求直线的方向向量 1 , 1 , 1 ,n 垂直于已知平面的法向量 s 且垂直于已知直线方向向量 1 1 , 0 , 0 ,s 因此 1 1 , 1 , 1 1 , 0, 0s n s 0 , 1 , 1 所求直线过已知平面与已知直线的交点 0( , 1 , 1 )Mx 代入已知平面方程的 0 1,x 所以所求直线方程为 1 1 1 0 1 1 x y z 习 题 课 第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 - 10 - 例 10 求过点 ( 1 , 0, 4 ) ,M 平行于平面 3 4 10 x y z 且与直线 133 1 2x y z相交的直线方程 . 解 设所求直线的方向向量为 , , ,s m n p 已知直线 过点 1 ( 1 , 3, 0 ) ,M 方向向量为 1 3, 1 , 2,s 已知平面的 法向量为 3 , 4 , 1 ,n 根据题意得 3 4 0s n m n p 11 3 1 2 0 3 4 m n p ss MM 10 12 9 0m n p 371 2 , 4m p n p 14 4 8 3 7 4 x y z 习 题 课 第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 - 11 - 例 11 求通过直线 2 2 1 04 2 0 x y zx y z 且在 ,yz轴 上有相同的非零截距的平面方程。 解 过已知直线的平面束方程为 2 2 1 ( 4 2 ) 0 x y z x y z 即 ( 2 ) ( 1 ) ( 4 2 ) 1 2 0 x y z 或 12 1 2 1 2 1 2 1 4 2 x y z 根据题意有 11 4 2 3 所求平面方程为 7 2 2 1 0 x y z 习 题 课 第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 - 12 - 例 12 指出下列方程所表示的图形 221) x y z 平面曲线 xoy 2 0 xy y 绕 x 旋转一周所得的旋转抛物面 22) xy 准线为 2 0 xy z 母线平行于 z轴的抛物柱面。 2 2 23 ) 2 4 6 5 0 x y z x y z 中心在 (1, 2, 3 ) 半径为 3 的球面。 224 ) 2y x z椭圆抛物面 2 2 25 ) 2 1x y z 双叶双曲面 2 2 26) y x z圆锥面 习 题 课 第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 - 13 - 例 13 求下列曲线绕 z 轴旋转一周所得的旋转面方程 22 1) 0 zx y 222 ( )z x y 2) 1zxy x y z o 1O M 1M 解 设 ( , , )M x y z为曲面上 任意一点， 它是由曲线 1 zx y 上的点 1 1 1( , 1 , )M x z绕 z 轴 旋转而得的， 由题意可知 习 题 课 第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 - 14 - 2 2 211,1z z x y x 即 2211 ,1z z x x y 由于 11zx 所以 22 1z x y 所求曲面方程为 2 2 2 1x y z 这是单叶双曲面 习 题 课 第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 - 15 - 例 14 求曲线 22 0 0 x y z x y z 在各坐标面的投影 解 从曲线的方程中消去 得 曲线在 xoy投影曲线为 22 0 0 x y x y z 从曲线的方程中消去 x 得 222 2 0y z y z z 曲线在 yoz 投影曲线为 222 2 0 0 y z y z z x z 22 0 x y x y 从曲线的方程中消去 得 习 题 课 第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 - 16 - 从曲线的方程中消去 y 得 222 2 0 x z x z z 曲线在 zox 投影曲线为 222 2 0 0 x z x z z y 习 题 课 第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 - 17 - 例 15 画出由下列曲面围成的立体的图形。 x y o xz 0z 2yx 1x 2,1,0)1( yxxxzz x y z o0y xy0z xz 1 xyyxzz ,0,1,0)2( 习 题 课 第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 - 18 - x y z o 22zy2x 2zy 2x 22 1 1 xy z 2222 2,)3( yxzyxz y x z o 2z y 2 2z y 2x 2x 2222 2,)4( yxzyxz 习 题 课 第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 - 19 - z x y o 2yx 2y x 2z 1y 1,2)5( 22 yzxyyx x y z o 222z xy 22z x 22 22 1 2x xy yz 222 2,2)6( xzyxz
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