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7.4 向量内积的坐标表示 与度量公式 源汇中专 霍文静 一 掌握向量内积的坐标运算及其应用。 二 掌握向量的长度、两点间的距离和夹角公式。 三 掌握用向量的坐标表示向量垂直的条件。 教学目标 教学重难点 教学重点 : 向量数量积的坐标表示以及由此推得的 长度、距离夹角公式和垂直条件的坐标 表示。 教学难点 : 向量的长度、距离、夹角、垂直条件的坐标 表示的灵活运用 复习导入： 1.如何用向量的长度、夹角表示内积？ 2.如何用内积、长度来表示夹角？ 3. 的充要条件 ? 4.如何用向量的内积表示向量的长度 ? ba 向量的内积： 向量的夹角： ba ba aaaa 2 (判断两向量垂直的依据 ) (计算向量的长度 ) baba ,c o s ba ,c o s ba ba 0ba _ _ _ _ ii jj ji ij 练习一 :单位向量 i 、 j 分别与 x 轴 、 y 轴方向相同，求 解： iiiiii ,c os 0c o s11 1 0 0 1 1 1.向量内积的坐标运算 若向量 a=(x1, y1)， b=(x2, y2)，则 两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即 2121 yyxxba 推广 1： ayxa 则设 ),( 22 22 yxa yxaa aaa 212212AB yyxx 则 长度公式 推广 2： 设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2） 两点间距离公式 推广 3： 若向量 a=(x1, y1)， b=(x2, y2)，则 ba ba ba ,c o s 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx 1212 , yyxxAB 22 yx 2. 向量垂直的充要条件 已知两个向量 a=(x1, y1)， b=(x2, y2) ，那么 a b x1x2+y1y2=0 0 baba 2121 yyxxba 02121 yyxxba 例 1.设 a = (3, 1)， b = (1, 2)，求 ab， |a|， |b|， 和 解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5. |a|= 223 ( 1 ) 10aa |b|= 221 ( 2 ) 5bb cos = 52 | | | | 21 0 5 ab ab 所以 =45 例 2.已知 A(1, 2)， B(2, 3)， C(2, 5)， 求证： ABC是直角三角形 证明： AB =(1, 1), AC =( 3, 3) 所以 A B A C = 3+3=0， 即 AB AC， ABC是直角三角形 . B A C 小结： 1.向量内积的坐标表示 2.向量长度的坐标表示 3.两点间距离公式 4.向量夹角的坐标表示 5.两向量垂直的充要条件 练习： （ 1）已知 ， 且 ，求 . 3a 2,1b ba/ a （ 2）已知 a =（ 4， 2），求与 a 垂直的单位向量 . （ 3） 中， ， ，求 k 的值 . ABCRt 3,2AB kAC ,1
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