向量及相关性东华大学

第三章：向量、向量空间 第一节：向量及其运算 定义 1 . , 21 个分量称为第个数第 个分量，个数称为该向量的维向量，这组称为 所组成的数个有次序的数 iai nnn aaan i n 分量全为复数的向量称为 复向量 . 分量全为实数的向量称为 实向量 ， 一、 维向量的概念 n 例如 ),3,2,1( n )1(,32,21( innii n维实向量 n维复向量 第 1个分量 第 n个分量 第 2个分量 ),( 21 nT aaaa n a a a a 2 1 二、 维向量的表示方法 维向量写成一行，称为 行向量 ，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如： TTTT ba , n 维向量写成一列，称为 列向量 ，也就是列 矩阵，通常用 等表示，如： ,ba n n 注意 行向量和列向量总被看作是 两个不同的 向量 ； 行向量和列向量都按照 矩阵的运算法则 进行运算； 向 量 )3( n解析几何 线性代数 既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组 几何形象： 可随意 平行移动的有向线段 代数形象： 向量的 坐 标 表 示 式 ),( 21 nT aaaa 坐 标 系 三、向量空间 空 间 )3( n解析几何 线性代数 点空间 ：点的集合 向量空间 ：向量的集合 坐 标 系 代数形象： 向量空 间 中 的 平 面 dczbyaxzyxr T ),( 几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面 dczbyaxzyx ),( ),( zyxP ),( zyxr T一 一 对 应 RxxxxxxxR nnn T ,),( 2121 bxaxaxaxxxx nnn T 221 121 ),( 叫做 维向量空间 n 时， 维向量没有直观的几何形象 n3n 叫做 维向量空间 中的 维超平面 Rnn 1n 第二节：向量组的线性相关性 向量、向量组与矩阵 线性相关性的概念 线性相关性的判定 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组 例如 维列向量个有矩阵 mna ijA nm)( aaaa aaaa aaaa A mnmjmm nj nj 21 222221 111211 a1 . , , 的列向量组称为矩阵向量组 Aa1 a2 an 一、向量、向量组与矩阵 a2 aj an 维行向量个又有矩阵类似地 nmijaA nm)(, aaa aaa aaa aaa A mnmm inii n n 21 21 22221 11211 T1 T2 Ti Tm 向量组 , , ， 称为矩阵 A的行向量组 T1 T2 Tm 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵 . 矩阵构成一个 组维列向量所组成的向量个 nm nm m , 21 矩阵构成一个 的向量组 维行向量所组成个 nm nm T m TT , 21 T m T T B 2 1 ),( 21 mA b xaxaxa nn2211 线性方程组的向量表示 . , , 2211 22222121 11212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa mnmnmm nn nn 方程组与增广矩阵的列向量组之间 一一对应 ，组实数 ，对于任何一给定向量组 m m kkk A , ,: 21 21 定义 . , 21 个线性组合的系数 称为这， mkkk ，称为向量组的一个 向量 2211 mmkkk 线性组合 mmb 2211 ，使，一组数 如果存在和向量给定向量组 m m bA , ,: 21 21 . 2211 有解 即线性方程组 bxxx mm 的线性组合，这时称是向量组则向量 Ab 向量 能 由向量组 线性表示 b A .),( ),( 21 21 的秩， 的秩等于矩阵，条件是矩阵 线性表示的充分必要能由向量组向量 bB A Ab m m 定理 1 定义 . .,:,: 2121 这两个能相互线性表示，则称量组 与向若向量组称 线性表示，则向量组组中的每个向量都能由若 及 设有两个向量组 B A AB BA sm 向量组 能由向量组 线性表示 向量组等价 B A 使在数 存量线性表示，即对每个向能由 （和（若记 , ),2,1( ).,), 21 2121 mjjj j sm kkk sjbA BbbbBA mmjjjj kkkb 2211 ,), 2 1 21 mj j j m k k k （ ), 21 sbbb （ 从而 msmm s s m kkk kkk kkk 21 22221 11211 21 ), （ . )( 数矩阵称为这一线性表示的系矩阵 ijsm kK 矩阵： 为这一表示的系数的列向量组线性表示，矩阵 的列向量组能由，则矩阵若 BA CBAC nssmnm snss n n sn kkb bbb bbb ccc 21 22221 11211 2121 ),), （ T s T T msmm s s T m T T aaa aaa aaa 2 1 21 22221 11211 2 1 ：为这一表示的系数矩阵 的行向量组线性表示的行向量组能由同时， ABC , . . 的行向量组等价的行向量组与于是 的行向量组线性表示，的行向量组能由可知， 由初等变换可逆性的行向量组线性表示组能由 的行向量，即的行向量组的线性组合向量都是 的每个行，则经初等行变换变成设矩阵 BA BA A BA BBA .的列向量组等价列向量组与 的，则经初等列变换变成类似，若矩阵 B ABA . 价的方程组一定同解 这两个方程组等价，等能相互线性表示，就称 与方程组的解；若方程组的解一定是方程组 线性表示，这时方程组能由方程组称方程组 的线性组合，就的每个方程都是方程组程组 的一个线性组合；若方一个方程就称为方程组 所得到的的各个方程做线性运算对方程组 B ABA AB AB A A 0 , ,: 2211 21 21 mm m m kkk kkk A 使全为零的数 如果存在不给定向量组 注意 .0 ,0 , 1. 2211 1 21 成立 才有时 则只有当线性无关若 nn n n . , 2. 线性相关 性无关就是不是线对于任一向量组 定义 二、线性相关性的概念 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关 A .,0, 0, 3. 线性无关则说若线性相关 则说若时向量组只包含一个向量 .4. 组是线性相关的包含零向量的任何向量 . ,.5 量共面 向量相关的几何意义是三是两向量共线；三个向 义量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分 它线性相关的量组对于含有两个向量的向 定理 向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示 m , 21 2m m , 21 1m 证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ） 能由其余向量线性表示 . maaa , 21 ma 即有 112211 mmma 三、线性相关性的判定 故 01112211 mmm a 因 这 个数不全为 0， 1, 121 m m 故 线性相关 . m , 21 必要性 设 线性相关， m , 21 则有不全为 0的数 使 , 21 mkkk .02211 mmkkk 因 中至少有一个不为 0， mkkk , 21 不妨设 则有 ,01 k . 1 3 1 3 2 1 2 1 m m k k k k k k 即 能由其余向量线性表示 . 1 证毕 . . 性独立） 线个方程）线性无关（或程，就称该方程组（各 方；当方程组中没有多余个方程）是线性相关的 各余的，这时称方程组（合时，这个方程就是多 是其余方程的线性组若方程组中有某个方程 线性相关性在线性方程组中的应用 ).,( . 0 A,0 21 2211 m mm A xxxx A 其中有非零解 即 方程组线性相关就是齐次线性向量组 结论 .)( ; ),( , 21 21 mAR m A m m 必要条件是向量组线性无关的充分于向量个数 的秩小矩阵条件是它所构成的 线性相关的充分必要向量组 定理 2 下面举例说明定理的应用 . 证明 （略） 维向量组n TnTT eee 1,0,0,0,1,0,0,0,1 21 ， ., 讨论其线性相关性维单位坐标向量组称为 n 解 . ),( 21 阶单位矩阵是 的矩阵维单位坐标向量组构成 n eeeE n n .)(01 nERE ，知由 . 2)( 向量组是线性无关的 知此，故由定理等于向量组中向量个数即 ER 例 ， 7 4 2 5 2 0 1 1 1 321 .21321 的线性相关性，及，试讨论向量组 解 .2 , 21 321 321 即可得出结论）的秩，利用定理，及（ ），可同时看出矩阵（成行阶梯形矩阵 ），施行初等行变换变，对矩阵（ 已知例 分析 751 421 201 ),( 321 23 2 5 rr ， 000 220 201 .,2),( ,2),( 2121 321321 线性无关向量组 线性相关；，向量组可见 R R 751 220 201 12 rr 13 12 rr rr 550 220 201 . , , , 321133322 211321 线性无关试证 线性无关已知向量组 bbbbb b 例3 0 , 332211 321 bxbxbx xxx 使设有 ,0)()( 133322211 xxx ）（即 ,0)()() 332221131 xxxxxx（亦即 线性无关，故有，因 321 .0 ,0 ,0 32 21 31 xx xx xx 证 02 110 011 101 列式由于此方程组的系数行 ., 0 321 321 线性无关 向量组，所以故方程组只有零解 bbb xxx . , ,. ,: , ( 1 ) 11 21 也线性无关向量组则线性无关量组 若向反言之也线性相关向量组 则线性相关：向量组若 AB B A mm m 定理 3 ）设（ 2 ),2,1(, ,1 2 1 2 1 mj a a a a b a a a jr rj j j j rj j j j . ,. , ,. 21 21 性相关 也线则向量组线性相关反言之，若向量组关 也线性无：则向量组线性无关 ：若向量组添上一个分量后得向量即 AB bbbB Ab mm jj . 3 时一定线性相关于向量个数 小当维数维向量组成的向量组，个）（ m nnm ., ,: ,: ( 4 ) 1 21 且表示式是唯一的线性表示 必能由向量组向量则线性相关组 而向量线性无关设向量组 A bbB A m m .2 ,11)()()(2 ,.1)()( ),(),( 1 111 线性相关知向量组根据定理 因此，从而，有 则根据定理线性相关若向量组 ，有记）（ B mARBRmAR AARBR aaaBaaA mmm 证明 . . . :1 关的任何部分组都线性无向量组线性无关，则它 反之，若一个线性相关含有零向量的向量组必 特别地，量组线性相关相关的部分组，则该向 一个向量组若有线性）可推广为结论（ 说明 列），只有因但从而有 ，则线性无关若向量组有 ，）记（ mBmBRmBR mARABRAR bbBA mmrmmr ()(.)( )(,).()( ),(),(2 1)1(1 .B)( 线性无关，因此向量组故 mBR ., 12 结论也成立个分量维）而言的，若增加多 即维数增加）是对增加一个分量（结论（说明 ., ,)(,.)(),( ,3 21 21 21 线性相关个向量故 则若，有 构成矩阵维向量个）（ m m mnm m mARmnnAR Anm .)(1 )(.1)( ;)().()( ),(),()4( 2121 mBRm BRmmBRB mARABRAR bBA mm ，即有 所以组线性相关，有因 组线性无关，有因有 记 . ),( ,)()( 21 一线性表示，且表示式唯组 能由向量有唯一解，即向量 知方程组由 A bbx mBRAR m . 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； . 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（ 重点 ） . 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理（ 难点 ） 四、小结 . , )3( 0 )2( 0 )1( : 两式不一定同时成立或者 线性相关的充要条件是，两个向量 ；线性无关的充要条件是一个向量 ；线性相关的充要条件是一个向量 试证明 kk 思考题 证明 （）、（）略 （） 充分性 . ,0,0 , 即可 令则不妨设得 使存在不全为零的数线性相关 x y k x y xyx yx 必要性 ., ,0)(1, 线性相关知 由定义则有不妨设 kk 思考题解答