原函数与不定积分的概念

高等数学（上） 河海大学理学院 第四章 不定积分 高等数学（上） 高等数学（上） 第一节 原函数与不定积分的概念 一、原函数与不定积分的概念 定义 1 如果在区间 I 内，可导函数 的导函数为 ，即对 ，都有 )( xF )( xf Ix )()( xfxF 或 dxxfxdF )()( 则就称 为 在区间 I 上的 原函数 . )( xF )( xf 例如 ，故 )0(1ln x xx xln 是 x 1 在区间 ),0( 内的原函数 . f( x) 是已知的， F(x) 是待求的，故 是求导数的 逆运算 高等数学（上） 问题 1：原函数的存在性问题 : 原函数 )( xF 函数 )(xf 求导 是否存在 定理 1(原函数存在定理 ) 定义在区间 I 上的 连续函数 在 I 上一定有原函数 . )( xf 即：连续函数必有原函数 . 问题 2：原函数的惟一性问题 : (待证 ) 高等数学（上） 定理 2 如果函数 在区间 I上的原函数存在 , 则它的任意两个不同的原函数只 相差一个常数 . 若 为 的原函数，则 的所有 原函数的集合为： )( xF )( xf )( xf CCxF )( )( xf 证 若 和 都是 的原函数 , )(xF )(xG )(xf )()()()( xGxFxGxF 0)()( xfxf CxGxF )()(（ 为任意常数） C 高等数学（上） 定义 2 若 为 在区间 I 上的原函数， 则称原函数族 )(xF )(xf CxF )( （ 为任意常数） 为 在 I 上的 不定积分 ，记为 )( xf CxFdxxf )()( 积 分 号 被 积 函 数 被 积 表 达 式 称为积分变量 x -原函数族 高等数学（上） 例 1 求 . dxx 5 解 ,6 5 6 x x Cxdxx 6 6 5 例 2 求 . dx x 21 1 解 2 1 1a r c t a n xx Cxdxx a r c t a n1 1 2 高等数学（上） 例 3 设曲线通过点 （ 1， 2） ，且其上任一 点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍， 求此曲线方程 . 解 设曲线方程为 ， )( xfy 根据题意知 xxf 2)( 由曲线通过点 （ 1， 2） ，故有 . 1C 因而，所求曲线方程为 12 xy Cxxd xxf 22)(所以 高等数学（上） 函数 )( xf 的原函数的图形称为 )( xf 的 积分曲线 . 注 （） 的几何意义：考虑曲线（）， 使得 则（） xxf 2)( 这是一簇由一条积分曲线 沿纵轴上下平移 得到的在横坐标相同的点 处的切线是平行的 高等数学（上） (2) 由不定积分的定义，可知 )()( xfdxxfdxd dxxfdxxfd )()( CxFdxxF )()( CxFxdF )()( 结论 微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的 . 例如 dxedx d x 2 dxedx d x )( 2 dxed x 2 高等数学（上） (1) kdx Ckx (2) dxx Cx 1 1 1 (3) x dx Cx ln 二、 基本积分表 (5) C a adxa xx ln Cedxe xx )4( 高等数学（上） xdxco s)6( ;s in Cx xdxs i n)7( ;c o s Cx xdx 2c o s)8( xdx2s ec ;t an Cx xdx 2s in)9( xdx2cs c ;c o t Cx xdxx t a ns ec)10( ;s e c Cx xdxx co tcsc)11( ;c s c Cx 高等数学（上） (12) 21 xdx Cx a r c s i n Cx a r c c o s或 (13) 21 xdx Cx a r c t a n Cxa r c c o t或 xdxs i n h)14( ;c o s h Cx xdxco s h)15( ;s i n h Cx 高等数学（上） 例 4 求积分 . dxxx 2 解 dxxx 2 dxx 25 C x 1 2 5 1 2 5 Cx 2 7 7 2 高等数学（上） 三、 不定积分的性质 dxxgxf )()()1( ;)()( dxxgdxx 证 dxxgdxxf )()( dxxgdxxf )()( ).()( xgxf 等式成立 . （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 高等数学（上） dxxkf )()2( .)( dxxfk （ k 是常数， )0k 注 :(1)求积分是利用积分表和积分性质 来试 ,要变形 ,技巧大 . 设法变形为积分表中函数的线性组合形式 , 以求出积分的方法称为 直接积分法 . (2)不是所有函数都肯定能积分出来 . 初等函数初等函数 )( ? 初等函数往往逆运算都要打破原有体系。 高等数学（上） 例 5 求积分 . dx xx ) 1 2 1 3( 22 解 dx xx ) 1 2 1 3( 22 dx x dxx 22 1 12 1 13 xa r c t a n3 xa r c s i n2 C 高等数学（上） 例 6 求积分 . dxxx xx )1(1 2 2 解 dxxx xx )1(1 2 2 dx xx xx )1( )1( 2 2 dx xx 1 1 1 2 dxxdxx 11 1 2 Cxx lna r c t a n 高等数学（上） 例 7 求积分 .2c o s1 1 dxx 解 dxx2c o s1 1 dx x2c o s 1 2 1 Cx t an21 dxx 2s e c21 高等数学（上） 一、求下列不定积分： 1 、 dx x x 2 2 1 2 、 dx x xx 4 2532 课堂练习 3 、 dxx 2 c o s 2 4 、 dx xx x 22 s inc o s 2c o s 5 、 dxxx x )11( 2 6 、 xd x x xx 2 2 22 s e c 1 s i n . )1( 21 22 2 dx xx x 7、 . 1 2 4 dx x x 8、 高等数学（上） 二、符号函数 0,1 0,0 0,1 s gn)( x x x xxf 在 内是否存在原函数？为什么？ ),( 没有原函数。反证 :假如有原函数。则 不存在，但题给 时 时 )0(),0()0( .1)00()0(,1)()(,0 ;1)00()0(,1)()(,0 FFF FFxfxFx FFxfxFx 高等数学（上） 结 论 每一个含有 第一类间断点 的函数都没 有原函数 . ，矛盾。0)0()0( fF 以上讨论的是跳跃间断点，若 x0是可去间断点。 是间断点矛盾。点连续，与在 ， 存在，且则有 00 000 000 )()()()()( )(),()( xx xFxfxFxFxF xFxFxF 函数 含有第二类间断点 x=0,但它有原函数 . xln x 1 思考：若第二类呢？ 高等数学（上） 三、 下列正确的是 : C 四、若 f(x)的导函数是 sinx ,则 f(x)的原函数 是 . sinx + C1x + C2 )()()()()()( )()()()()()( xfdxxfdDxfdxxf dx d C xfxdfBxfdxxfA