二面角及二面角的平面角的有关定义

1 、二面角及二面角的平面角 的有关定义 平面的一条直线把平面分为 两 部分， 其中的每一部分都叫做一个 半平面 。 从一条 直线出发的两个半平面所 组成的图形叫做 二面角 。 （ 1） 半平面 （ 2） 二面角 l l 这条直线叫做二面角的 棱 ， 每个半平面叫做二面角的 面 。 B O A a （ 4）二面角的记法 “面 1棱 面 2” 如： 以直线 a为棱，以 、 为半平面的二面角记作： 以直线 AB为棱，平面 CAB、 平面 DAB为半平面的二面角 记作： 等等。 以直线 l为棱，以平面 ABCD、平面 A1B1C1D1为半 平面的二面角记作： 或 “ AlA1”，等等。 ？ “ a ” ？ “面 ABCDl面 A1B1C1D1” ？ “CABD” (3)常见二面角的画法 B 。 O A (5)二面角的平面角 垂直于二面角的棱的 任 一平面 与两个半平面的交线所成的角 叫做 二面角的平面角 。 或： 从二面角的棱上 任 一点在 两个半平面内分别作垂直于棱 的射线，则这两条射线所成的 角叫做 二面角的平面角 。 B 。 O A B 1 。 O1 A1 。 小结： 。 复习回顾 等角定理 若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方 向相同，则这两个角相等。 1.二面角就是用它的 平面 角 来度量的。一个二面角的平 面角多大，我们就说个二面角 是多少度的二面角 。 2.二面角的平面角与 点 （或 垂直平面 ）的位置无任何关系， 只与二面角的张角大小有关。 (6)二面角的范围 0。 ,180。 （ 7）直二面角 平面角为直角 的二面角叫做 直二面角 当 堂 小 测 1、二面角指的是（ ） A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。 B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。 C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。 D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。 2、二面角的平面角的顶点在二面角的上， 角的两边分别在二面角的内，且两边都与棱 ，它的度数与它的平面角的度数。 2. 课 堂 诊 断 例 1 在 60。 的二面角的棱上有两个点 A、 B， AC、 BD分 别在二面角的两个面内且垂直于 AB，已知 AB=4cm， AC=6cm， BD=8cm，求 CD的长。 C D A B 分析 要求 CD 的长，可考虑用向量法，即求 | CD |， 要求 | CD |，须先用已知向量 CA 、 AB 、 BD 表示它，不难得到： CD = CA + AB + BD 最后根据 | a | 2 = a a 求出结果 . 3.有关二面角的题型 解：由已知得： CA ， BD 180 60 120 ， CA AB 0 ， AB BD 0 | CD | 2 （ CA AB BD ） 2 | CA | 2 | AB | 2 | BD | 2 2 CA BD | CA | 2 | AB | 2 | BD | 2 2 | CA | | BD | c o s CA ， BD 6 2 4 2 8 2 2 6 8 c o s 120 6 2 4 2 8 2 2 6 8 2 1 68 | CD | 2 17 例 2 、如图所示，在正方体 AC 1 中，求 二面角 A 1 BD C 1 的大小。 解：（ 方法一 ） 由正方体的面对角线长都相等可知， A 1 BD 与 C 1 BD 是全等的正三角形， 取 BD 的中点 O ，连结 A 1 O 、 C 1 O ，则 A 1 O BD ， C 1 O BD ， A 1 O C 就是二面角 A 1 BD C 1 的平面角。 A 1 C 1 2 a ， A 1 O C 1 O 2 3 2 a 2 6 a c os A 1 O C aa aaa 2 6 2 6 2 )2() 2 6 () 2 6 ( 222 3 1 A 1 O C a rc c os 3 1 。 故二面角 A 1 BD C 1 的 大小为 a rc c os 3 1 。 D (0 ， 0 ， 0) ， B(1 ， 1 ， 0) ， O ( 2 1 ， 2 1 ， 0) ， A 1 (1 ， 0 ， 1) ， C 1 (0 ， 1 ， 1) BD (0 ， 0 ， 0) (1 ， 1 ， 0) （ 1 ， 1 ， 0 ） 1 OA (1 ， 0 ， 1 ) ( 2 1 ， 2 1 ， 0) （ 2 1 ， 2 1 ， 1 ） 1 OC (0 ， 1 ， 1 ) ( 2 1 ， 2 1 ， 0) （ 2 1 ， 2 1 ， 1 ） 解：（ 方法二 ） 如图建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 1 ， BD 的中点为 O ，则 BD 1 OA 1 2 1 （ 1 ）（ 2 1 ） 0 1 0 BD 1 OC （ 1 ）（ 2 1 ） 1 2 1 0 1 0 1 OA 1 OC 2 1 （ 2 1 ）（ 2 1 ） 2 1 1 1 2 1 1 OA 1 OC 2 6 OA 1 BD ， OC 1 BD ， 1 OA ， 1 OC 就是二面角 A 1 BD C 1 的平面角。 c o s 1 OA ， 1 OC | 11 11 OCOA OCOA 2 6 2 6 2 1 3 1 。 例 3、 如图，设 E、 F、 G是正方体相应棱的 中点，求二面角 E FG A的大小。 H 解： 如图，过点 A作 AH交 CF的延长线于点 H， 连结 EH。 由 EA 平面 AC及 三垂线 定理可得： 在 Rt E A H 中，易得 AH 2 2 EF ， EF EA ， t a n E H A 2 ， E H A a rc t a n 2 。 EH FG， 故 EHA就是二面角 E FG A 的平面角。 本 节 小 结 1、二面角的定义 2、二面角的平面角的定义 3、二面角的平面角的求解： 找（或作）出平面角 定义法 棱的垂面法 三垂线定理法 向量法 等 求解 解三角形或用向量的夹角公式 作业布置 课本第 47页 4、 5（ 3） 作 业