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复习 基本概念与理论 大，如铁丝受压）（载荷不大，变形却很 （保持原有平衡形式） （抵抗变形） （抵抗破坏） 稳定性 刚度 强度 经济、减重 矛盾 安全基本要求 合理设计 材料力学的基本假设 : 连续性假设 ;均匀性假设 ;各向同性假设 杆受力和变形的形式 : 拉压 -杆 , 扭转 -轴 ,弯曲 -梁 基本概念 :， 内力、应力 ( 正应力与切应力 )、应变（ 正 应变 ,切 应变）应变能 基本定律： 切应力互等定理、胡克定律、剪切胡克定律、圣维南原理、 叠加原理 材料力学的任务与研究对象 材料的力学性能 塑性材料 e 弹性极限 e e 弹性应变 e p 塑性应变 冷作硬化 000 10 0 l l 001 1 0 0 A AA b-强度极限 s-屈服极限 p-比例极限 低碳钢四个阶段：线性阶段（应力应变成正比，符 合胡克定律，结束点称为比例极限）、屈服阶段 (滑移线 )（屈服极限）、强化阶段（强度极限）、 局部变形 (颈缩 )阶段 (名义应力下降 ,实际应力上升 ) p0.2 名义屈服极限 E-弹性模量 m 泊松 比 y x z FP1 FP2 FR M M y Mx FQ y FQ z FN FQ 内力 (Internal Forces) 内力主矢与内力主矩 (Resultant Force and Resultant Moment) 内力分量 (Components of the Internal Forces) FN FN Fs Fs 内力的正负号规则 (Sign convention for Internal Forces) 同一位置处左 、 右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号 。 内力的 分析方法 符号： 1.FN: 拉力为正 2.T:扭矩矢量离开截面为正 3.Fs:使保留段顺时钟转 M:使保留段内凹为正 刚架 、曲杆 M: 不规定正负，画在受压一侧 截面法 Method of section 内力方程 刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平 衡，则其任何局部也必然是平衡的。 注意弹性体模型与刚体模型的区别与联系 刚体模型适用 的概念、原理、方法，对弹性体可用性与限制性。 内力方程、内力图 危险截面 qdxdFs sFdxdM qdxMd 2 2 （端值、极值、正负号 ) 内力图（ Internal Force Diagram） 平衡微分方程 由载荷变化规律，即可推知内力 Fs 、 M 的变化规律 剪力图和弯矩图 根据平衡，可以确定控制面上 Fs、 M数值 ,确定函数变化区间； 根据平衡微分方程可以确定 Fs 、 M的变化图形 。 沿梁轴线的内力分布（包括刚架）： Fs: 跟着箭头走，段内变化看 q面积 M: 顺时针向上走，段内变化看 Fs面积 dxqFF xxSS 2 112 dxFMM x x s 2 112 在 Me 作用处 ,左右横截面的 剪力连续 ,弯矩值突变 在 F 作用处 ,左右横截面上的 剪力值突变 ,弯矩连续 FFF 左右 SS eMMM 左右 (q : 向 上为正 ; x : 向右为正 .) Fs 拉压 ： A F 扭转： PP W T I T m a x 弯曲： 受力杆件的应力不仅与外力相关，而且与截面的几何性质相关。 横 截面上应力 ， 的计算公式 与 强度条件 A, IP, WP, Iz, Wz 截面几何性质 Iz：平行移轴定理 （ 薄壁 ） tI QSs z z bI SFs z zs m a x m a x max(闭口薄壁杆 ) tT 2 max 梁强度问题的分析步骤 ： 1、内力分析 确定危险截面 2、应力分析 确定危险点 3、根据强度条件进行强度校核。 塑性材料，对称截面 脆性材料， m a xm a x MM maxM minM 非对称截面校核三点 tt m a x, cc m a x, 例题 如图 1-10所示的结构 ， 已知各杆的面积和材料 为 A1=400mm2， A2=300mm2， 1=2=160MPa， 试 计算该结构所能承受的最大载荷 。 （ 1）由平衡条件确定各杆轴力与载荷 P之间的关系式： MA=0 N2=F/3; Y=0 N1=2/3F N2 N1 l /3 2l /3 F 要使结构安全工作应取其较小值 ， 即 F=96kN （ 2） 由强度条件计算最大载荷 杆 1的强度条件； N1/A11 F=3/2A11=3/2400160=96000N=96kN 杆 2的强度条件； N2/A22 F=3A22=3300160=114000N=114kN （ 2）为使该结构安全受力，按杆 1的强度取 F=96kN。对 杆 2来说，强度是有富裕的 不经济 载荷可移动？ 注意： （ 1）最大载荷可否写为 F=A11+A22=112kN？ x 连接部分的强度 -假定计算法 破坏形式： 剪豁（ 当边距大于钉直径 2倍时可避免剪豁） 拉断（ 拉断可按拉压杆公式计算）。 S AF bbs bsdF 剪断 : 挤压破坏 : 例 铸铁梁 ， y1 = 45 mm， y2 = 95 mm， t = 35 MPa ， c = 140 MPa， Iz =8.8410-6 m4， 校核梁的 强度 解： MD 最大正弯矩 MB 最大负弯矩 危险截面 截面 D, B 对于脆性材料梁来说，危险截面是否一定发生在 Mmax 处？ daBD yy,MM da 危险点 z Da I yM 2 M P a 859- . z Db I yM 1 M P a 328 . z Bc I yM 2 M P a 633 . M P a 859m axc, .a M P a 633m a xt, .c c t a, b, c 截面 D 截面 B 拉压： EA Fll 变形 刚度 静不定问题 mee 扭转： PGI Tl (闭口薄壁杆 ) tGI Tl t dsI t 24 微 段 变 形 EAFNe pGITdxd 整 体 变 形 zEI M 1 弯曲 : l xxEA xFl d)( )(N 1.分析各杆轴力 ( T e n s io n ) 2N1 FF o n )( Co m p r e s s i N2 FF EA lF AE lFl 22 11 1N1 1 22 2N2 2 EA Fl AE lFl 图示桁架， 已知 E1A1= E2A2=EA， l2=l。 试求 节点 A 的水 平与铅垂位移 2EAFl 2.确定各杆变形 (elongation) (contraction) P A B C 45o A B C 受力分析 ? 小变形 用原结构尺寸 桁架的节点位移 用切线代替圆弧，画出变形图 3.作小变形情况下的变形图 Construct the displacement diagram under the condition of small deflection 4. F节点位移计算 Find displacement components of joint A by geometry )( 22 lAAAx 5AAA y An arc may be replaced by a line perpendicular to bar axis 切线代圆弧 )( 45c o s 21 ll 求 A点的位移 2、 AB为刚性杆。 P C D B A P C D B A A C 1、 零力杆 计算总扭转角 ， 校核强度与刚度 Example： To calculate the total angle of twist， and analysis the strength and stiffness of the shaft. Solution： 1、 扭矩图 Torque diagram a a a a d D M M=2M/a 3M T x M 2M A B 2、 总扭转角 Total angle of twist a dDG Ma DG Ma DG Ma DG x dx a M 0 44444 323232 2 32 2 总 3、 强度 Strength（ A、 B两危险截面 ） max )1( 16 : 16 2 : 43 3 m a x D M B D M A a a a a d D T x M 2M A B 弯曲 ： zEI M 1 1、变形微分方程、位移边界和连续条件 挠曲线 力边界条件已通过 M(x)满足。 EIxMy DCxxEI xMw d)(位移边界条件 右左 CC ww Pin or roller support(铰支座 ) : wA=0 Interface continuum conditions(连续条件 ): Fixed support(固定 端 ): wD=0, D =0 右左 BB 右左 BB ww C,D 2、挠曲线大致形状 EI xMy 由 M 图的正 、 负，确定挠曲轴的凹 、 凸 由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大致形状及位置。 位移与变形的相依关系 比较二梁的受力、弯矩、变形与位移 位移除与变形有关外，还与约束有关 ; 总体变形是微段变形累加的结果 ; 有位移不一定有变形 ; 有变形不一定处处有位移。 叠加原理 在一定条件下，杆件所有内力分量作用的 效果，可以视为各个内力分量单独作用效果的叠加。 3、叠加法 分解载荷 分别计算位移 求位移之和 叠加法适用范围：力与位移之间的线性关系 (小变形，比例极限内 ) 逐段分析求和法 C B q A l a 2 2qaM C B q A 零弯矩，不变形 A C B q 22qaM 相当于悬臂梁 刚化 AB段 刚化 BC段 C B q A A C B q 2 2qaM F=q a C B q A wB= wB1+ wB2+ wB3 wE 2 wB=? wE 1 wE = wE 1+ wE 2 = wE 1+ wB/ 2 静定结构 未知力（内力或外力）个数等于独立的平 衡方程数 静不定结构 未知力个数多于独立的平衡方程数 静不定度 未知力个数与独立平衡方程数之差 求解静不定问题的基本方法 平衡、变形协调、物理方程。 多余约束的两种作用：增加了未知力个数，同时增加对变 形的限制与约束，前者使问题变为不可解，后者使问题变 为可解。 多余约束 物理方程体现为力与变形关系。 简单静不定问题（含 热应力与初应力） 求解思路 建立平衡方程 建立补充方程 （ 变形协调方程） 3-3=0 4-3=1 A B q l FAy FAx MA A B q l FAy FAx MA FB 简单的静不定梁 B FBx A q l FAy MA FBy FAx MA FAx MB FBx FBy q l A B FAy 5 3 2 6 3 3 应用对称性分析可以推知某些未知量： q l A B MA FAx MB FBx FBy FAy FAx= FBx= 0 , FAy= FBy= q l / 2 , MA=MB 2I1I C A F B a a a a 应用对称性分析可以化简 C F/2 B a a 合理设计 zI zW pI pW 6 2bh 44 164 D 43 132 D 44 132 D 43 116 D 矩形 圆 (空心 ) 12 3bh (等强概念 ) 如 ,选择梁的合理截面形状； 变截面梁；梁的合理受力 拉压与剪切应变能概念 Eu 22 2e 拉压 纯剪 Gu 22 2 外力功 PW 2 1
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