线性方程组的求解.ppt

1 第一节 线性方程组的求解 一、克拉默法则 二、线性方程组的消元法 三、小结 第二章 线性方程组 2 一、克拉默法则 下面是行列式在一类特殊的线性方程组中的应用 利用 n阶行列式求解方程个数与未知量个数都是 n， 且系数行列式不为零的线性方程组 3 定理 2.1.1(克拉默法则 ) 如果线性方程组 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 ( 2 . 1 . 1 ) nn nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 的系数矩阵 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 12 n n n n n n a a a a a a A a a a 的行列式 0A 0A ,则方程组 (2.1.1)有唯一解 j j B x A (j=1,2,n). (2.1.2) 4 其中 1 1 1 , 1 1 1 , 1 1 2 1 2 , 1 2 2 , 1 2 1 , 1 , 1 j j n j j n j n n j n n j n n a a b a a a a b a a B a a b a a (j=1,2,n). 若线性方程组 (2.1.1)无解或有两个以上不同的解 , 则 0A 齐次与非齐次线性方程组的概念 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组 , 否则称为非齐次线性方程组 推论 2.1.1 5 对于 n个未知量 n个方程的齐次线性方程组 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 0 0 0 nn nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x (2.1.5) (i=1,2,n) 为齐次线性方程组 (2.1.5)的解 ,将其称为 该方程组的零解 . 0ix 齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解 . 6 若齐次线性方程组 (2.1.5)的系数行列式 ， 推论 2.1.2 则齐次线性方程组 (2.1.5)只有零解 . 0A 推论 2.1.3 若齐次线性方程组 (2.1.5)有非零解 ,则其系数 行列式 . 0A 7 例 1 解线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 3 4 0 8 9 5 0 x x x x x x x x x 解 因该方程组的系数行列式为 1 1 1 3 1 4 5 0 8 9 5 A 由推论 2.1.2, 该方程组仅有零解 0 ix )3,2,1( i 8 例 2 解方程组 13 1 2 3 1 2 3 21 2 4 1 8 3 2 xx x x x x x x 解 方程组的系数行列式为 2 0 1 2 4 1 2 0 1 8 3 A 1 1 0 1 1 4 1 2 0 2 8 3 B 2 2 1 1 2 1 1 0 1 2 3 B 3 2 0 1 2 4 1 2 0 1 8 2 B 依克拉默法则知，该方程组的唯一解为 1 2 3 1 2 31 , 0 , 1 B B Bx x x A A A 又 9 例 3 设齐次线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0 3 4 7 0 20 x x x x x x x x k x 有非零解 , 试求常数 的值 . 有非零解 , 试求常数 k的值 . 解 由定理 2.1.2知该方程组系数行列式必为零 , 即 2 1 3 3 4 7 12 A k 13 23 2 3 rr rr 0 3 3 2 3 3 2 0 2 7 3 2 7 3 12 k k k k k 5 3 0k k=3方程组有非零解 . 10 二、线性方程组的消元解法 解方程组，就是要通过一系列能使方程组保持 同解的变换，把原方程组化为容易看出是不是 有解并在有解时容易求出解的线性方程组 什么样的变换能使变换前后的方程组满足同解 要求 ? 同解变换能把方程组化为什么样的简单形式 ? 11 例 4 解线性方程组 622 4524 132 31 321 321 xx xxx xxx 解 首先消去第二，三两个方程中含 x1 的项 . 为此，将第 一个方程的 -2 倍加到第二个方程，第一个方程的 -1 倍 加到第三个方程，得到同解方程组 12 5 24 132 32 32 321 xx xx xxx 然后将第二个方程的 - 4 倍加到第 三个方程， 6 5 132 3 32 321 x xx xxx 24 5 132 32 32 321 xx xx xxx 183 5 132 3 32 321 x xx xxx 交换后两个方程 , 再将第三个方程等号两边同乘以 1/3，得到 最后求得方程组的解为 x3 = - 6, x2 = - 1, x1 = 9 13 在例 4的解题过程中使用了如下的三种变换 用一个非零数乘以某个方程 将一个方程的 k 倍加到另一个方程上 交换两个方程的位置 上述三种变换称为线性方程组的初等变换 14 用消元法解方程组实质上是对方程组的系数和 常数项进行运算，因此为了简化运算过程的表达形 式，可以只把线性方程组的系数按顺序写成一个矩 形的数表，方程组（ 2.1.6）的系数可写成 15 对方程组作初等变换就相当于对增广矩阵作如下 的行变换 11 12 1 21 22 2 12 n n m m m n a a a a a a a a a mmnmm n n b b b aaa aaa aaa 2 1 21 22221 11211 用一个非零数乘以某一行 将一行的 k 倍加到另一行上 交换两行的位置 系数矩阵 增广矩阵 以上三种变换称为矩阵的行初等变换 16 例 4的消元求解过程可以用增广矩阵的行初等变换 来表示为 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 , 4 2 5 4 0 4 1 2 0 1 1 5 2 0 2 6 0 1 1 5 0 0 1 6 AB 2 1 0 1 9 2 0 0 1 8 1 0 0 9 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 6 0 0 1 6 0 0 1 6 BC 求得解为 其中 B为行阶梯形矩阵， C为行最简形矩阵 x3 = - 6, x2 = - 1, x1 = 9 17 例 5 解线性方程组 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 3 2 3 0 2 2 6 3 5 4 3 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵作行初等变换 , 将其化为行最简形矩阵 21 41 ( 3 ) ( 5 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 1 3 0 0 1 2 2 6 3 , 0 1 2 2 6 3 0 1 2 2 6 3 5 4 3 3 1 2 0 1 2 2 6 3 rr rr A 18 32 2 4 2 1 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 5 2 0 1 2 2 6 3 0 1 2 2 6 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 rr r r r r r 原方程组同解的线性方程组为 1 3 4 5 2 3 4 5 52 2 2 6 3 x x x x x x x x 即 1 3 4 5 2 3 4 5 25 3 2 2 6 x x x x x x x x 19 线性方程组的解写成下面的形式 1 1 2 3 2 1 2 3 31 42 53 25 3 2 2 6 x k k k x k k k xk xk xk 其中 k1,k2,k3为任意常数 上述解的表达式通常称为原线性方程组的通解 20 例 6 求解线性方程组 13 1 2 3 1 2 3 2 20 26 xx x x x x x x 解 对方程组的增广矩阵作行初等变换 2 21 3 1 3 2 1 ( 1 ) 2 ( 2 ) ( 1 ) 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 , 1 2 1 0 0 2 2 2 0 1 1 1 2 1 1 6 0 1 1 2 0 0 0 3 rrr r r r rA 上式中最后一个矩阵的第三行所表示的方程是一个 矛盾方程 故原方程组无解 21 非齐次线性方程组解的判别定理 设 线性方程组 (2.1.6)的系数矩阵 A的秩为 r ,AX= 的 增广矩阵通过行初等变换一定可以化为 1 , 1 1 1 2 , 1 2 2 ,1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 rn rn r r rn r r c c d c c d c c d C d (2.1.11) 22 对应（ 2.1.11）的方程组 CX= 为 1 1 , 1 1 1 1 2 2 , 1 1 2 2 , 1 1 1 0 00 r n n r r n n r r r r rn n r r r x c k c k d x c k c k d x c k c k d d 方程组 CX= 与原方程组 (2.1.6)AX= 是同解方程组 只讨论 同解 方程组 CX= 解的情况 23 方程组 CX=在有解的情况下 (1)当 r=n 时， 方程组 有唯一解 x1=d1, x2=d2, xn=dn (2)当 rn 时 ,方程组 有无穷多个解 . 把每行第一 个非零元所对应的未知量作为基本未知量 .其余作 为自由未知量 方程组 AX= 有解 (即 CX= 有解 )的充要条件是 dr+1=0 24 解得 1 1 1 , 1 1 1 2 2 2 , 1 1 2 , 1 1 11 r n n r r n n r r r r r r n n r r n n r x d c k c k x d c k c k x d c k c k xk xk 其中 12, , , nrk k k 为任意常数 25 n元线性方程组 AX 有解的充分必要条件是 定理 2.1.3 ,R A R A 设 ,R A R A r 当 r=n 时，原方程组有唯一解 当 rn 原方程组有无穷多解 下面通过例子说明这个定理的应用 26 例 7 t为何值时 ,下列方程组无解 ;有唯一解 ; 有无穷多解？并在方程组有解时求出解 1 2 3 23 1 2 3 41 33 3 ( 1 ) 0 x x x tx x x x t x 解 对方程组的增广矩阵作行初等变换 27 31 1 4 1 1 1 4 1 1 , 0 3 3 0 3 3 1 3 1 0 0 1 2 1 rr A t t tt 23 23 1 4 1 1 0 1 2 1 0 0 ( 1 ) ( 3 ) 3 r tr rr t t t t 1 2 1 24 1 4 1 1 1 4 1 1 1 0 5 3 , 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r r r A (1)当 t=-3时 28 当 t=-3时， 原方程组有无穷多解，同解方程组为 令自由未知量 x3 = k 得原方程组的解为 其中 k为任意常数 13 23 53 1 xx xx 13 23 3 35 1 xx xx xk 29 1 4 1 1 , 0 1 3 1 0 0 0 4 A 1 4 1 1 1 0 4 7 3 , 0 1 2 1 0 1 2 1 0 0 ( 1 ) 1 0 0 ( 1 ) 1 t A t t tt (2)t=1时 原方程组无解 (3) t -3 且 t 1时 1 2 3 4 7 2 13 ; 1 ; 1 1 1 ttx x x t t t 原方程组有唯一解 30 齐次线性方程组的解 求解方法与非齐次线性方程组相同 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 0 0 0 nn nn m m m n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x (2.1.13) 定理 2.1.4 设 n元齐次线性方程组 AX=0的系数矩阵 A的秩为 r,那么 (1)当 r=n时 ,方程组 AX=0仅有零解 (2)当 rn时 ,方程组 AX=0有无穷多解 31 推论 2.1.13 若齐次线性方程组中 ,方程的个数 m小于 未知量 个数 n，则必有无穷多解 定理 2.1.5 设 A为 n阶矩阵 ,则 n元 齐次线性方程组 AX=0有非零 解的充分必要条件是其系数行列式 |A|=0 32 试确定常数 k的值 , 使 3元齐次线性方程组 例 8 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0 3 4 7 0 20 x x x x x x x x b x 有非零解 , 并求出它的所有非零解 对方程组的系数矩阵作行初等变换 , 将其化为 行阶梯形矩阵 解法一 33 21 1 3 3 1 3 2 2 1 3 1 2 1 2 3 4 7 3 4 7 0 2 7 3 1 2 2 1 3 0 3 3 2 rr r r r r bb Ab bb 332 23 ()() 52 1 2 1 2 0 2 7 3 0 2 7 3 15 5 0 0 3 00 22 rrr bb b b B b b 当 b= -3时， R(A)=23原方程组有非零解 34 当 b= -3时 12 2 1 ( 1 ) 1 ( 1 )2 1 2 3 1 0 1 1 0 1 0 2 2 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 rr r r B 与原方程组同解的线性方程组为 13 23 0 0 xx xx 因此，原方程组的所有非零解为 1 2 3 xk xk xk 其中 k为任意常数 35 2 1 3 3 4 7 5 ( 3 ) 0 12 Ab b 该题的方程个数与未知量个数相同 可应用定理 2.1.5 当 b= -3时 ,方程组有非零解 再就 b= -3 求出方程组的解 解法二 36 克拉默 法则只能求解特殊线性方程组 方程个数 =未知量个数 系数行列式不为零 消元法 对增广矩阵作 行 初等变换 将其化为阶梯形矩阵 然后判断是否有解并在有解时求出解 三、小结