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2021年 1月 24日 12时 50分 只需寻找 3 对称方阵对角化和二次型化标准形 Pyx Axxf T 使 二次型 转换为标准形 TP P A P 正 交 阵 ， 使 得 yyf T 正交变换 要 判断曲线、曲面形状 只需将曲线、曲面 方程转化为标准方程 只需寻找 本章中心 2021年 1月 24日 12时 50分 本章结构： 二次型的定义及矩阵表示 正交向量组 特征值与特征向量 方阵对角化的充要条件 对称方阵对角化 二次型化标准型 2021年 1月 24日 12时 50分 本节重点： (1)求正交相似变换阵将实对称矩阵化为对角阵； (2)求正交变换将二次型化为标准形。 复习 n 阶 矩阵 A 可对角化 A有 n 个 线性无关的 特征向量 . 2021年 1月 24日 12时 50分 求 n阶特征值和特征向量的方法： 0 EA 1. ;AE 求特征多项式 就是 n阶矩阵 A的特征值； 2. 求特征方程 的根 n , 21 0 xEA 的 非零解 ， 3. 求解齐次线性方程组 就是 n阶矩阵 A的特征向量 . 2021年 1月 24日 12时 50分 一、对称矩阵一定能对角化 引理 1 对称矩阵的特征值为实数 . 引理 2 对称矩阵的不同特征值的 特征向量正交 . 推 论 : 对称矩阵的特征向量都是实向量 . r 重根，则 ，rnEAR )( 特征向量 . r 个线性无关的 恰有 引理 3 设 A 为 n 阶对称矩阵 , A是 的特征方程 从而特征值 2021年 1月 24日 12时 50分 m ,21 ， 分析： （ 1）设 对称阵 A有 m个不同特征值 它们的重数依次为 mttt ,21 ， nttt m 21 （ 2）相应于 i 恰有 it 个线性无关的特征向量 iiti pp ,1 ， （ 3） 121 1 1 2 1 2 1, , , , , , , , , mt t m m tP p p p p p p L L L L 为可逆阵，且有 1P A P 2021年 1月 24日 12时 50分 得知对称方阵 A一定可以对角化 其中 1 O 1 2 O 2 O m O m 2021年 1月 24日 12时 50分 定理 1 设 A 为 n 阶 对称矩阵 , 1TQ A Q Q A Q 则必有 正交矩阵 Q,使 对称方阵 A一定可以对角化，而且相似变换 阵不唯一 . 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 2021年 1月 24日 12时 50分 步骤： m ,21 ， （ 1）设 对称阵 A有 m个不同特征值 它们的重数依次为 mttt ,21 ， nttt m 21 （ 2）相应于 i 恰有 it 个线性无关的特征向量 iiti pp ,1 ， ，把它们正交单位化 得 ， iiti qq ,1 ， （ 3） mmtmtt qqqqqqQ , 1221111 21 为正交阵，且有 1TQ A Q Q A Q 2021年 1月 24日 12时 50分 例 1 求一 正交相似变换阵 5 0 0 0 2 1 0 1 2 A 将对称矩阵 对角化。 解： （ 1） A的特征多项式为 5 0 0 0 2 1 0 1 2 AE 5 1 3 故 A的特征值为 1 2 35 , 1 , 3 2021年 1月 24日 12时 50分 （ 2）相应于 0 0 0 0 1 0 5 0 3 1 0 0 1 0 1 3 0 0 0 r AE 1 1 0 0 q 无关的特征向量只有一个，可取为 1 5 的特征向量满足 ( 5 ) 0A E x 例 1 求一 正交相似变换阵 5 0 0 0 2 1 0 1 2 A 将对称矩阵 对角化。 2021年 1月 24日 12时 50分 相应于 4 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 r AE 2 0 1 2 1 2 q 无关的特征向量只有一个，可取为 2 1 的特征向量满足 ( ) 0A E x 例 1 求一 正交相似变换阵 5 0 0 0 2 1 0 1 2 A 将对称矩阵 对角化。 2021年 1月 24日 12时 50分 相应于 2 0 0 1 0 0 3 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 r AE 3 0 1 2 1 2 q 无关的特征向量只有一个，可取为 3 3 的特征向量满足 ( 3 ) 0A E x 例 1 求一 正交相似变换阵 5 0 0 0 2 1 0 1 2 A 将对称矩阵 对角化。 2021年 1月 24日 12时 50分 （ 3）正交相似变换矩阵取为 1 0 0 110 22 110 22 Q 1 5 1 3 TQ A Q Q A Q 且 2021年 1月 24日 12时 50分 例 2 求一 正交相似变换阵 111 111 111 A 将对称矩阵 对角化。 解： （ 1） A的特征多项式为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AE 23 故 A的特征值为 1 2 33 , 0 2021年 1月 24日 12时 50分 （ 2）相应于 2 1 1 1 0 1 3 1 2 1 0 1 1 1 1 2 0 0 0 r AE 1 1 3 1 3 1 3 q 无关的特征向量只有一个，可取为 1 3 的特征向量满足 ( 3 ) 0A E x 111 111 111 A 将对称矩阵 对角化。 例 2 求一 正交相似变换阵 2021年 1月 24日 12时 50分 相应于 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 r A 1 2 3 0 x x x 无关的特征向量有两个，满足 23 0 的特征向量满足 0Ax 111 111 111 A 将对称矩阵 对角化。 例 2 求一 正交相似变换阵 2021年 1月 24日 12时 50分 1 2 3 0 x x x 满足 且正交的特征向量 23 11 1 , 1 02 pp 可取为 单位化得 23 11 62 11, 26 0 2 6 qq 111 111 111 A 将对称矩阵 对角化。 例 2 求一 正交相似变换阵 2021年 1月 24日 12时 50分 （ 3）正交矩阵为 1 1 1 3 2 6 1 1 1 3 2 6 12 0 36 Q 1 3 0 0 TQ A Q Q A Q 且 2021年 1月 24日 12时 50分 三、正交变换化二次型为标准形 ),( 1, jiij n ji jiij aaxxaf 任意二次型 2222211 nn yyyf .)(, 21 的特征值的矩阵是其中 ijn aAf 总有 正交变换 x = Py，使 f 化为标准形 定理 2 2021年 1月 24日 12时 50分 例 3 求一个 正交变换 x = Py，把二次型 23322221 2225 xxxxxf 化为 标准形 . 210 120 005 A 解 二次型的矩阵为 正交相似变换矩阵取为 1 0 0 110 22 110 22 Q 1 5 1 3 TQ A Q Q A Q 且 2021年 1月 24日 12时 50分 11 22 33 1 0 0 110, 22 110 22 xy xy 2 2 21 2 353f y y y 所做 正交变换 为 x=Qy， 即 标准形 为： 2021年 1月 24日 12时 50分 132 212221 xxxx（ 1）判断二次曲线 的形状； （ 2）判断二次曲面 的形状。 1222 323121 xxxxxx 下面解决本章第一次课所提的问题： 2021年 1月 24日 12时 50分 132 212221 xxxx （ 1）判断二次曲线 的形状 . 解： 令 22 1 2 1 223f x x x x 其矩阵为 13 31 A A的特征多项式为 13 31 AE 1 3 1 3 故 A的特征值为 121 3 , 1 3 2021年 1月 24日 12时 50分 相应于 3 3 1 1 ( 1 3 ) 0033 r AE 1 1 2 1 2 q 无关的特征向量只有一个，可取为 1 13 的特征向量满足 ( ( 1 3 ) ) 0A E x 相应于 3 3 1 1 ( 1 3 ) 0033 r AE 2 1 2 1 2 q 无关的特征向量只有一个，可取为 2 13 的特征向量满足 ( ( 1 3 ) ) 0A E x 2021年 1月 24日 12时 50分 正交矩阵为 11 22 11 22 Q 1 13 13 TQ A Q Q A Q 1 1 2 2 1 2 11 22 11 22 x y y x y y 22 12( 1 3 ) ( 1 3 )f y y 所做 正交变换 为 二次型的标准形 为： 二次曲线的标准方程 为： 22 12( 1 3 ) ( 1 3 ) 1yy 该曲线为 双曲线 . 2021年 1月 24日 12时 50分 （ 2）判断二次曲面 的形状 . 1222 323121 xxxxxx 解： 其矩阵为 1 2 1 3 2 3222f x x x x x x 011 101 110 A A的特征多项式为 11 11 11 AE 22 ( 1 ) 故 A的特征值为 1 2 32 , 1 2021年 1月 24日 12时 50分 相应于 2 1 1 1 0 1 2 1 2 1 0 1 1 1 1 2 0 0 0 r AE 1 1 3 1 3 1 3 q 无关的特征向量只有一个，可取为 1 2 的特征向量满足 ( 2 ) 0A E x 相应于 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 r A 1 2 3 0 x x x 无关的特征向量有两个，满足 23 1 的特征向量满足 ( ) 0A E x 2021年 1月 24日 12时 50分 1 2 3 0 x x x 满足 且正交的特征向量 23 11 1 , 1 02 pp 可取为 单位化得 23 11 62 11, 26 0 2 6 qq 正交矩阵为 1 1 1 3 2 6 1 1 1 3 2 6 12 0 36 Q 1 2 1 1 TQ A Q Q A Q 2021年 1月 24日 12时 50分 所做 正交变换 为 x Q y 222 1 2 32f y y y 二次型的 标准形 为 二次曲面的 标准方程 为 222 1 2 321y y y 二次曲面的 形状 为 旋转双曲面 2021年 1月 24日 12时 50分 三、 Lgrange配方法化二次型为标准形 下面介绍一种行之有效的方法 拉格朗日配方法 用 正交变换 化二次型为标准形，其特点 是 保持几何形状不变 问题：有没有其它方法，也可以把二次 型化为标准形？（不要求形状不变） 2021年 1月 24日 12时 50分 拉格朗日配方法的步骤： ixix 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方， 进行， 直到都配成平方项为止， 再对其余的变量同样 就得到标准形 ; 经过可逆性变换， 0ija ( ),ij i i j j i j kk x y y x y y xy 2. 若二次型中不含有平方项，但是 含有平方项的二次型，然后再按 1中方法配方 . 化二次型为 则先作可逆线性变换 2021年 1月 24日 12时 50分 例 4 2 2 21 2 2 3 35 ( 2 2 ) 2x x x x x 2 2 2 1 2 3 3 135 2 ( ) 22x x x x 2 2 21 2 2 3 35 2 2 2f x x x x x 2 2 2 1 2 3 352 2y y y 2 2 2 2 1 2 2 3 3 3 135 2 ( ) 42x x x x x x 所做可逆变换为 11 2 2 3 33 1 2 xy x y y xy 含有平方项 2x 含有 的项配方 2021年 1月 24日 12时 50分 11 22 33 1 0 0 110, 22 110 22 xy xy 2 2 21 2 353f y y y 而我们曾用 正交变换 化 标准形 为： 2 2 2 1 2 3 352 2y y y 2 2 21 2 353y y y 比较 2021年 1月 24日 12时 50分 例 5 1 2 1 3 2 3222f x x x x x x 22 1 2 1 32 2 4y y y y 2 2 2 21 1 3 3 2 32 4 2 2 2y y y y y y 1 1 2 2 1 2 33 x y y x y y xy 1 2 1 2 1 2 3 3 1 22 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )f y y y y y y y y y y 做可逆变换 2221 2 2 32 ( ) 2 2y y y y 不含平方项 1y含有 的项配方 2021年 1月 24日 12时 51分 1 1 2 22 33 y z z yz yz 222 1 2 32 2 2z z z 222 1 2 32 z z z 再做可逆变换 ，得标准型为 我们曾在正交变换之下化标准型为 . 比较 2021年 1月 24日 12时 51分 注： 二次型的标准形不唯一，但它们具有共性： (1)所含 平方项个数相同 ，都 等于矩阵 A的秩 ； (2)平方项的系数 正负项数相同 。 定义：称标准形中正系数个数为 正惯性指数 ； 负系数个数为 负惯性指数 ； 正惯性指数减去负惯性指数为 符号差 . 2 2 21 2 3 1 2 3( , , )f x x x z z z 例 的正惯性指数为 2， 负惯性指数为 1， 符号差为 1. 惯性定理
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