立体几何3空间点、直线和平面之间的位置关系.ppt

空间点、直线、平面 之间的位置关系 考纲要求 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作 为推理依据的公理和定理 公理 1 ：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直 线上所有的点都在此平面内 公理 2 ：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理 3 ：如果两个不重合的平 面有一个公共点，那么它们有 且只有一条过该点的公共直线 公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平 行，那么这两个角相等或互补 知识梳理 两点 1 平面的基本性质 不在 三点 不重合 一个 2. 空间直线 ( 1 ) 空间两直线的位置关系 ： 共面直线 相交直线 ： 有且只有一个公共点 ； 平行直线 ： 没有公共点 ； 异面直线 ： 不同在任何一个平面内 ， 没有公共点 . ( 2 ) 公理 4 ： 平行于同一直线的两条直线互相平行 ， 即 对 空间中的直线 a ， b ， c ， 如果 a b ， b c ， 则 a c . ( 3 ) 等角定理 ： 空间中如果两个角的两边分别对应平 行 ， 则这两个角相等或者互补 ( 4 ) 两异面直线所成的角 ： 两条异面直线 a ， b ， 经过空 间任一点 O 作直线 a a ， b b ， 把 a ， b 所成的锐角 ( 或直角 ) 叫异面直线 a ， b 所成的角 ( 或夹角 ) a ， b 所成 的角的大小与点 O 的选择无关 ， 为了简便 ， 点 O 通常取在异 面直线中的一条上 ； 异面直线所成的角的范围为 _ ， 如果两条异面直线所成的角是直角 ， 则称两条 异面直线垂直 ， 记作 _ _ a b 0， 2 问题思考 问题 1 平面的基本性质 ( 1 ) 若点 A 在直线 l 上 ， 直线 l 在平面 内 ， 则点 A 在平面 内 ； ( ) ( 2 ) 一条直线与一个点确定一个平面 ； ( ) ( 3 ) 三点确定一个平面 ； ( ) ( 4 ) 两个相交平面只有有限个公共点 ( ) 答案 (1)对 (2)错 (3)错 (4)错 问题 2 设平面 与平面 相交于 l ， 直线 a ， 直线 b ， a b M ， 则点 M 一定不在直线 l 上 ( ) 解析 因为 a b M ， a ， b ， 所以 M 在 内 ， M 在 内 又因为平面 与平面 相交于 l ， 所以 M 在 l 上 答案 错 问题 4 若 OA O 1 A 1 ， OB O 1 B 1 ， 且 AOB 60 ， 则 A 1 O 1 B 1 60 . ( ) 解析 由等角定理可知 ， A 1 O 1 B 1 60 或 120 . 答案 错 问题 5 空间四边形 AB CD 中 ， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点 ， 则四边形 EFGH 是平行四边形 ( ) 解析 易证 EF AC G H ， EH BD FG ， 故四边形 EFGH 是平行四边形 答案 对 要点探究 探究点 1 空间点、线、面位置关系的判定 例 1 如图 38 1 ， 正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， P 、 Q 、 R 分别是 AB 、 AD 、 B 1 C 1 的中点 那么 ， 正方体的过 P 、 Q 、 R 的截面图形是 ( ) A 三角形 B 四边形 C 五边形 D 六边形 图 38 1 答案 D 探究点 2 三点共线与三线共点问题 例 2 如图 38 2 ， 正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， A 1 C 与截面 DBC 1 交于 O 点 ， AC ， BD 交于 M 点 ， 求证 ： C 1 ， O ， M 三点共 线 图 38 2 解答 证明 ： C 1 平面 A 1 ACC 1 ， 且 C 1 平面 DBC 1 ， C 1 是平面 A 1 ACC 1 与平面 DBC 1 的公共点 M AC ， M 平面 A 1 ACC 1 . 又 M BD ， M 平面 DBC 1 ， M 也是平面 A 1 ACC 1 与平 面 DBC 1 的公共点 ， C 1 M 是平面 A 1 ACC 1 与平面 DBC 1 的交线 O 为 A 1 C 与截面 DBC 1 的交点 ， O 平面 A 1 ACC 1 ， O 平 面 DBC 1 ， 即 O 也是两平面的公 共点 故 C 1 ， O ， M 三点共线 点评 证明三点共线的基本思路就是证明这三个点在某两 个平面的交线上 ， 一般是先从其中两个点是两平面的公共点入 手 ， 根据公理 3 ， 过这两点的直线就是这两个平面的交线 ， 再证 明第三个点也在这两个平面的交线上 ， 这个方法也可以推广为 证明四点 、 五点共线等 三线共点的基本证明方法是证明两条 直线的交点在第三条直线上 ， 这第三条直线可能就是两个平面 的交线 探究点 3 点、线共面问题 例 3 201 1 湖北重点中学二联 如图 38 3 ，平面 AB E F 平面 AB C D ，四边形 AB E F 与 ABCD 都是直角梯形， BAD F AB 90 ， BC 1 2 AD ， BE 1 2 AF ，证明： C ， D ， F ， E 四点共面 图 38 3 思路 只要证明直线 CD， EF相交或平行即可 解答 证明：延长 DC 交 AB 的延长线于点 G ，由 BC 1 2 AD ， 得 GB GA GC GD BC AD 1 2 . 延长 FE 交 AB 的延长线于 G ，同理可得 G E G F G B G A BE AF 1 2 . 故 G B G A GB GA ，即 G 与 G 重合，因此直线 CD 、 EF 相交于点 G ，即 C ， D ， F ， E 四点共面 点评 证明四点共面的基本方法是证明这四个点所确定的 两条直线共面 ， 根据就是确定平面的几个条件 ； 另一个主要的 证明方法就是先由不共线的三点确定一个平面 ， 再证明第四个 点也在这个平面内 ， 所使用的方法更有技巧性 ， 高考中对四点 共面要求不高 ， 我们不去深究 同样 ， 证明四线共面问题 ， 一 般先从两个方面证明三线共面 ， 而这些平面又具备被确定为一 个平面的公共条件 ， 这样从两个方面证明的三线共面的面重 合 ， 就达到了证明四线共面的目的 这个方法可以推广到证明 五线 ， 六线 ， 共面问题 探究点 4 异面直线所成的角的计算 例 4 (1) 2 010 全国卷 直三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 中，若 BAC 90 ， AB AC AA 1 ，则异面直线 BA 1 与 AC 1 所成的 角等于 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 (2) 等边三角形 ABC 与正方形 A BD E 有一公共边 AB ，二 面角 C AB D 的余弦值为 3 3 ， M ， N 分别是 AC ， BC 的中 点，则 EM ， AN 所成角的余弦值等于 _ 思路 (1) 只要通过平移的方法找到两条异面直线的夹角即 可求出，过点 A 1 作 AC 1 的平行线，根据三棱柱的特点，只要延 长 CA 到 D 使得 AD CA ，连接 DA 1 ，即出现了平行四边形，就 找到了两条相交直线，它们的夹角就是所求的两条异面直线所 成的角 (2) 先根据已知条件求出所涉及的线段的数量关系，再根据 异面直线所成角的概念，把两异面直线所成的角转化为两相交 直线所成的角 答案 ( 1 ) C ( 2 ) 1 6 解析 ( 1 ) 如图 ， 延长 CA 到 D ， 使得 AD AC ， 连接 A 1 D ， 则四边形 ADA 1 C 1 为平行四边形 ， 则 A 1 D AC 1 ， 则 DA 1 B 就是异面直线 BA 1 与 AC 1 所成的角 又三角形 A 1 DB 为等边三角形 ， 所以 DA 1 B 60 . (2) 如图，设 AB 2 ，作 CO 平面 ABDE 于 O ， OF AB 于 F ，则 CF AB ， CFO 为二面角 C AB D 的平面角， CF 3 ， OF CF cos CFO 1 ，结合等边三角形 ABC 与正方形 AB DE 可知此四棱锥 C ABDE 为正四棱锥，则 AN EM CF 3 . 取 DE 中点 G ，连接 GN ， GA ，则 GE 綊 1 2 AB ，又 MN 綊 1 2 AB ，故 MN 綊 GE ，故四边形 MNG E 为平行四边形，故 ME 綊 NG ， ANG 就是异面直线 AN ， EM 所成的角或其补角在 ANG 中， AN NG 3 ， AG 5 ，由余弦定理得 cos ANG 3 2 3 2 5 2 2 3 3 1 6 . 点评 找中点是立体几何中寻找平行线的重要技巧，在求 解异面直线所成的角时，这往往就是化解难点的关键找中点 一般是为了构造平行四边形、三角形的中位线等，要根据题目 的实际情况灵活处理 规律总结 1 空间的平行关系都是以没有公共点进行定义的 ； 空间的 相交关系中 ， 直线与直线 、 直线与平面是有一个公共点 ， 平面与 平面相交是有一条公共直线 2 平行的传递性公理是解决空间平行关系的重要依据之 一 ， 这个公理也是定义两条异面直线所成角的依据之一 ； 等角定 理中要注意什么情况下两个角 相等 ， 什么情况下两个角互补 3 两直线异面是指这两条直线不同在任何一个平面内 ， 注 意这里的 “ 任何一个平面内 ” ， 两异面直线所成的角是通过平移 直线使之相交 ， 利用这两条相交直线所成的角定义的 ， 这个角的 范围是大于 0 而小于或者等于 90 . 求解两条异面直线所成的角的 基本步骤是 ： 平移 ， 找角 ， 求角 备用例题 例 1 若 P 为两条异面直线 l ， m 外的任意一点 ， 则 ( ) A 过点 P 有且仅有一条直线与 l ， m 都平行 B 过点 P 有且仅有一条直线与 l ， m 都垂直 C 过点 P 有且仅有一条直线与 l ， m 都相交 D 过点 P 有且仅有一条直线与 l ， m 都异面 答案 B 解析 设过点 P 的直线为 n ， 若 n 与 l ， m 都平行 ， 则 l ， m 平行 ， 与已知矛盾 ， 故选项 A 错误 ； B 正确 ； 过点 P 与 l 相交的直 线必在点 P 与 l 所确定的平面 内 ， 如果直线 m 与平面 相交于点 Q ， 则直线 PQ 就是和直线 l ， m 都相交的直线 ， 如果直线 m 与平 面 平行 ， 则不存在这样的直线 ， 故选项 C 错误 ； 过点 P 和直线 l 作平面 ， 过点 P 和直线 m 作平面 ， 根据平面的性质 ， 平面 ， 相交于过点 P 的直线 ， 并且点 P 不在直线 l ， m 上 ， 只要在平面 ， 外任找一点 R ， 根据异面直线的判定定理 ， 直线 RP 与直线 l ， m 均异面 ， 故过点 P 与直线 l ， m 都异面的直线有无数条 ， 选 项 D 错误 例 2 异面直线 a ， b 成 80 角 ， P 为 a ， b 之外的一个定点 ， 若过 P 有且仅有两条直线与 a ， b 所成的角相等 ( 都等于 ) ， 则 ( ) A | 0 40 B | 40 50 C | 40 90 D | 50 90 答案 B 解答 过点 P 作直线 a a ， b b ，由于 a ， b 的夹角为 80 ，故与这两条直线成等角的直线，只有当所成的角至少是 40 时 才可能存在，当这个角是 40 时，就是在 a ， b 所确定的平面 内 这个 80 角的平分线，只有一条；过这个角的平分线上异于点 P 的 任意一点作平面 的垂线，垂线上的点与点 P 的连线都与这两条直 线成等角，其范围是 40 到 90 . 当根据两条直线所成角的补角 (100 ) 作直线时，只有当等角为 50 时才有可能，同理过这个角的平分线 上异于点 P 的任意一点作平面 的垂线，垂线上的点与点 P 的连线都 与这两条直线成等角，其范围是 50 到 90 . 当过点 P 的直线垂直于平 面 时，这个等角为 90 ，这样的直线也只有一条上述情况考虑对 称性，在 80 的情况下，成等角在 40 到 90 范围的有两条，在 100 的情况下，成等角在 50 到 90 范围的有两条 综上所述 ， 当 0 40 时这样的直线不存在 ， 当 40 时 仅有一条 ， 当 40 50 时有两条 ； 当 50 时有三条 ， 当 50 90 时有四条 ， 当 90 时有一条 正确选项 B.