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新课程理念下中考“压轴题”的风韵 一、函数、几何综合型压轴题风光依然 二、 几何操作型压轴题备受青睐 三、图表信息型压轴题占一席之地 四 、 方案设计型压轴题初露锋芒 五、阅读探究型压轴题崭露头角 六、立体图形压轴题初露端倪 新课程理念下中考“压轴题”的风 韵 一、函数、几何综合型压轴题风光依然 例 1. （ 2003年杨州市中考题） 已知点 P是抛物线 的任意一点，记点 P 到 X 轴的距离为 d1 点 P 与点 F （ 0， 2）的距离为 d 2 （图 1） （ 1）猜想 d1、 d 2 的大小关系，并证明； （ 2）若直线 PF交此抛物线于另一点 Q（异于 P点）。 试判断以 PQ为直径的圆与 x轴的位置关系，并。 21 1 4 yx 理由。 以 PQ 为直径的圆与 y 轴的交点为 A 、 B， OAOB =1 ，求直线 PQ 对应的函数解析式。 P Q 图 2 x y A C B M F O Q P 图 1 x y F O Q P 二、 几何操作型压轴题备受青睐 例 2（ 2003年绍兴市中考题） 已知 ABC=90 .OM 是 ABC的平分线，按以下要求解答问题： （ 1）将三角板的直角顶点 P在射线 OM上移动，两直 角边分别与 OA、 OB交于点 C、 D。 在图 3（ 1）中，证明 PC = PD; 在图 3（ 2）中，点 G是 CD与 OP的交点，且 求 POD与 PDG的面积比。 （ 2）将三角板的直角顶点 P放在射线 OM上移动，一直 角边与边 OB交于点 D， OD = 1，另一直角边与直线 OA、 直线 OB分别交于点 C 、 E，使以 P 、 D、 E为顶点的三 形与 OCD相似，在图 3（ 3）中作出图形，试求 OP 的长。 （ 1 ） M P DO C A （ 2 ） M P D O C A G （ 3 ） M B O A 图 4 DE M P O C B A 图 5 M O P H G F E D C B A 图 3 例 3 (04年江西省中考压轴题 )如图 6, 在矩形 ABCD中， AB=3， AD=2，点 E、 F分别在 AB、 CD上， AE=DF=2. 现 把一块直径为 2的量角器（圆心为 O）放置在图形上，使其 0 线 MN与 EF重合；若将量角器 0 线上的端点 N固定在点 F上 , 在 把量角器绕点 F 顺时针方向旋转 (0 0 ，所以 d 1 = y 0 ；由勾股定理得 ，而 0 , 0 xy 21 1 4 yx 2 00 1 1 4 yx 22 2 0 0 2)d P F x y 2 04 4 ,oxy 2 214 4 4 4o o o od y y y y d （ 2 ） 以 PQ为直径的圆与 x 轴相切（图 2）。 P Q 图 2 x y A C B M F O Q P 设 PQ的中心为 M ,分别 Q、 M、 P作 x 轴的垂线， 垂足分别为 Q 、 C 、 P 。 易证 MC 为梯形 P Q QP 的中位线。 1 1 12 2 2M C P P Q Q P F Q F P Q 以 PQ为直径的圆与 x 轴相切。 设直线 PQ 对应的函数解析式为 y =k x +b ，因为点 F（ 0， 2）在 PQ上，所以 b = 2 ,所以 y = k x + 2 . y =kx + 2, 联立 消去 y 得： x 2 - 4kx-4=0 ( * ) 记点 P（ ）、 Q（ ），则 是 方程 ( * )的两个实数根， . 21 1 4 yx 0 , 0 xy 1, 1xy 0, 1 xx 01 4x x k M切 x 轴于点 C，与 y 轴交于点 A、 B ， OC 2 = OA OB =1, OC 0 ,OC =1 , 点 C的坐标为 C（ 1， 0）或（ -1， 0），又点 C是线段 PQ 的中点， 故当点 C坐标为（ 1， 0）时， X 0 - 1 =1 X1 , X 0 + X 1 =2 ， 即 4 k =2 , k = ; 当点 C的坐标为（ -1， 0）时， X 0 -（ - 1） =（ -1） X 1 X 0 + X 1 = - 2 ， 1 2 即 4k =-2 ,k = ; 所求直线 PQ对应的函数解析式为： 或 此类题型是以直角坐标系为载体，融函数、方程、几 何为一体的探究性试题，注重在初中数学主干知识的交汇 点进行命题，背景知识丰富，综合性强，解决本题，还需 拥有数形结合思想、方程思想、分类思想。 二、 几何操作型压轴题备受青睐 所谓几何操作题，就是指利用指定的工具和材料，动 手操作，自主探究，得出猜想，而后验证猜想，最终解决 问题的一种题型。 1 2 1 2 2yx 1 2 2yx 例 2（ 2003年绍兴市中考题）已知 ABC=90 .OM 是 ABC的平分线，按以下要求解答问题： （ 1）将三角板的直角顶点 P在射线 OM上移动，两直角边 分别与 OA、 OB交于点 C、 D。 在图 3（ 1）中，证明 PC = PD; 在图 3（ 2）中，点 G是 CD与 OP的交点，且 求 POD与 PDG的面积比。 3 2 P G P D （ 1 ） M P DO C A （ 2 ） M P D O C A G （ 3 ） M B O A （ 2）将三角板的直角顶点 P放在射线 OM上移动，一 直角边与边 OB交于点 D， OD = 1，另一直角边与直线 OA、直线 OB分别交于点 C 、 E，使以 P 、 D、 E为顶 点的三角形与 OCD相似，在图 3（ 3）中作出图形， 试求 OP的长。 略解（ 1）略。 （ 2）只要用三角板绕点 P（ P在 OM上是动点）按逆时 针方向转动，并保持一条边始终与 OB相交于 D，则会 发现另一边与 OA或 OA的反向延长线相交，易见， OP 的长需分两种情形去求解。 当另一边与 OA相交时，如图 4， PDE CDO , 又要使以 P、 D、 E为顶点的三角形与 OCD相似， 图 4 DE M P O C B A 图 5 M O P H G F E D C B A COD = PED, CE = CD CO DE, OE = OD. EPD = 90, OP = 1 1 2 E D O D 当另一边与 OA的反向延长线相交时，如图 5， PED CDO , 要使以 P、 D、 E为顶点的三角形与 OCD相似， PDE = ODC, 过点 P作 PG OB, PH OA, 垂足分别为 G、 H。 设 OP = x ， AOB = 90 , OM为 AOB的平分线， PG = PH = OH = OG = . 此时，易证 PCH PDG, 2 2 X CH =DG = 1 - , PC = PD. CPD = 90 , PDE = ODC = 22.5 , OCP = PDE = 22.5 , OPC = 22.5 , OC = OP = x , CH= OC + OH = X + , 1 - = x + , X = - 1 , OP = - 1 . 2 2 X 2 2 X 2 2 X 2 2 X 2 2 综上所述， OP = 1 ,或 - 1 . 这道 题设计新颖，构思精巧，可谓独具匠心，通过 对三角板的操作，探索图形中存在的变化规律，让学生 亲身经历知识的发生、发展及应用的过程，有效地考查 了学生发现问题和解决问题的能力，同时，也使学生在 探索和解决问题的过程中感受到数学的美妙，领略了数 学的魅力。几何操作型压轴题备受青睐，如 04年江西省 及大连市中考压轴题。 （ 04年江西省中考压轴题）如图 24，在矩形 ABCD中， AB=3， AD=2，点 E、 F分别在 AB、 CD上， AE=DF=2。 现把一块直径为 2的量角器（圆心为 O）放置在图形上， 使其 0 线 MN与 EF重合；若将量角器 0 线上的端点 N 固定在点 F上，在把量角器绕点 F顺时针方向旋转 （ 0 90 ），此时量角器的半圆弧与 EF相交于点 P， 设点 P处量角器的读数为 n 2 (1)用含 n 的代数式表示 的大小 (2)当 n 等于多少时，线段 PC与 MF 平行？ （ 3）在量角器的旋转过程中，过点 M 作 GHMF ， 交 AE于点 G，交 AD于点 H。设 GE =x， AGH的面积为 S，试 求出 S关于 x的函数关系式， 并写出自变量 x的取值范围。 （ 04年大连市中考压轴题） 如图， O1 和 O2内切于点 P， C是 O1上任一点（与点 P不重合）。实验操作：将直 角三角形的直角顶点放在点 C 上，一条直角边经过点 O1， a 150 120 90 60 30 P O H G O F C D E A B M 另一条直角边所在直线交 O2 于点 A、 B，直线 PA， PB 分别交 O1 于点 E、 F，连结 CE （图 15是实验操作备用 图）。 探究：（ 1）你发现 有什么关系？用 你学过的数学知识证明你的发现 ; （ 2）你发现线段 CE 、 PE、 BF有怎样的比 例关系？证明你的发现。 附加题 ：如图 16，若将上述问题的 O1 和 O2由 内切变为处切，其它条件不变，请你探究线段 CE 、 O 2 O 1 P O 2 O 1 P O 2O 1 P C E 、 CF PE、 BF有怎样的比例关系？并证明。 三、图表信息型压轴题占一席之地 所谓图表信息题，是指题目中的信息大多以函数 图像或表格形式给出的一类数学问题，其目的是考查学 生将实际问题抽象成函数等数学问题的能力及获取数据 的能力。这类题型充分体现了新课标的 “ 数学作为一种 普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息， 建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值 ” 的理念。如 2003年吉林省中考压轴题： 例 3 如图 6（ 1）所示，在矩形 ABCD中， AB=10cm, BC=8cm.点 P从 A出发 ,沿 ABC D 路线运动 D停止 . 点 Q从 D出发 ,沿 DCBA 路线运动 ,到 A停止 .若点 P、 点 Q同时出发 ,P的速度为每秒 1cm,点 Q的速度每秒 2cm,a 秒时 ,点 P、点 Q同时改变速度 ,点 P的速度变为每秒 bcm, 点 Q的速度变为每秒 dcm.图 6(2)是点 P出发 x(S)后 (1)求 d的值； (2)设点离开点的路程为 y1(cm),点到点还需 走的路程为 y2(cm),请分别写出动点、改变速 度后 y1、 y2与出发后的运动时间 x(s)的函数关系式， 并求出、相遇是 x的值。 (3)当点出发秒时，点、点在运动 线上相距的路程为 25cm. CD A BP Q x y 0 40 24 a 8 c x y 0 40 22 APD的面积 S1(cm2)与 x(s)的函数关系图象 ;图 6(3)是点 Q 出发 x(s)后 AQD的面积 S2(cm2)与 x(s)的函数图象 . （ 04年重庆市中考压轴题）如图，正方形 ABCD的边长 为 12，划分成 12 12个小正方形格，将边长 n（ n为整数， 且 2n11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式 黑白相 间地摆放，第一张 n n的纸片正好盖住正方形 ABCD左上 角的 n n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的 部分恰好为（ n 1） （ n 1）的正方形。如此摆放下去， 最后直到纸片盖住正方形 ABCD的右下角为止。 请你认真观察思考后回答下列问题： （ 1）由于正方形纸片边长 n的取值不同，完成摆放时 所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：（ 3分） 纸片的边长 n 2 3 4 5 6 使用的纸片张数 （ 2）设正方形 ABCD被纸片盖 住的面积（重合 部分只计一次） 为 S1，未被盖住 的面积为 S2。 四 .方案设计型压轴题初露锋芒 方案设计型题，是指根据问题提供的信息需要设计 出各种上天堂同的方案，然后通过分析、计算、证明等， 才能确定出最佳方案的一类数学问题。 C DA B 新课标总目标中就要求学生 “ 初步学会运用数学思维 方式去观察、分析现实社会、去解决日常生活中和其它学 科学习中的问题，增强数学的应用意识 ” 方案设计型试题 充分体现了这一新课标理念。如 2004年陕西省中考题。 例 4（ 2004年陕西省中考题）李大爷有一个边长为 a的 正方形鱼塘（图 4），鱼塘四个角的顶点 A， B， C， D上 各有一棵大树，现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆 形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大），又不想把 挖掉（四棵大树要在新建鱼塘的边沿上）。 （ 1）图若按圆形设计，利用图 4画出你所设计的图形， 并求出圆形鱼塘的面积； （ 2）若按正方形设计，利用图 5画出你所设计的正方 形鱼塘示意图； （ 3）你在（ 2）中所设计的正方形鱼塘，有无最大面 积？为什么？ （ 4）李大爷想使新建的鱼塘面积最大，你认为新建 鱼塘的最大面积是多少？ 解：（ 1）如图 4所示，圆形鱼塘的面积 S= 。 （ 2）如图 5所示。 （ 3）有最大面积。 如图 5. Rt ABE， Rt BFC， Rt CDG， 和 Rt AHD 为四个全等 的三解形。 因此，只要 Rt ABE 的面积最大，就有正方形 EFGH的面积最大，而 Rt ABE 的斜边 AB=a定值，点 E在以 AB为直径的半圆上，当点 E 正好落在线段 AB的中垂线上时，面积最大， 图 5图 4 A CB C B D A E H D G F 21 2 a 其最大面积为 。从而得到正方形 EFGH的最大面 积 4 +a2=2a2 (4)由图 4可知，所设计的圆形鱼塘面积为 2a2。 所以，李大爷新建鱼塘的最大面积为 2a2。它是一个正 方形鱼塘。 例 5(2003年大连中考题） 问题：要将一块直径为 2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底和一个圆锥 的底面。 21 4a 21 4a 21 2 a 图 8图 7 OOA B BA 操作：方案一：在图 7中，设计一个使圆锥底面最大，半 圆铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）； 方案二：在图 8中，设计一个使圆柱两个底面最大， 半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）； 探究：（ 1）求方案一中圆锥底面的半径； （ 2）求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径； （ 3）设方案二中半圆圆心为 O，圆柱两个底面的圆心 为 O1、 O2，圆锥底面的圆心为 O3，试判断以 O1、 O2、 O3、 O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明。 A O B O 2O 1 O 3 D CA O B O 3 O 2 O 1 数学来源于生活，又服务于生活，能用数学的眼光 认识世界，并用数学的知识和方法处理周围的问题，是我 们每一个人应具备的基本素养。 五、阅读探究型压轴题崭露头角 所谓阅读探究题，是指给出一文字或给出某个数学 概念或命题或解题过程等，在阅读的基础上要求对其本质 作描述性的回答或进行判断、概括或让学生在变化了的新 环境中运用新知识解决新问题。 这类题型 充分体现了 “ 学生是数学学习的主人，教 师是数学学习的组织者、引导者和合作者 ” 这一新课程 理念。通过这类题型的教学有助于培养学生阅读理解、收 集信息、处理信息及自学能力。 例 6（ 2004吉林省）已知抛物线 l： y=ax2 + bx + c（其 中 a , b , c都不等于 0），它的顶点 P的坐标是 （ ），与 y轴的交点是 M（ 0， c） .我 们称 M为顶点，对称轴是 y 轴且过点 P的抛物线为抛物线 L 的伴随抛物线，直线 PM为 l的伴随直线。 （ 1）请直接写出抛物线 y=2x2 4x + 1的伴随抛物线和 伴随直线的解析式。 伴随抛物线的解析式是 ； 伴随直线的解析式是 。 （ 2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是 Y = x2 3和 y = x 3，则这条抛物线的解析式 是 。 24 , 24 b a c b aa （ 3）求抛物线 l： y=ax2 + bx + c（其中 a , b , c都不等于 0） 的伴随抛物线和伴随直线的解析式。 （ 4）若抛物线 l与 x轴交于点 A（ x1， 0）， B（ x2， 0）两点， x1 x2 0,它的伴随抛物线与 x轴交于 C， D两点，且 AB=CD，请求出 a、 b、 c应满足的条件。 略解（ 1） y= 2x2 + 1 , y= 2x + 1. （ 2） y=x2 2x 3. （ 3） 伴随抛物线的顶点是（ 0， c）， 设它 的解析式为 y=m(x 0)2+c(m0)。 此抛物线过 P （ ），解得 m= a 伴随抛物线的解析式是 y= ax2 + c. 24 , 24 b a c b aa 设伴随直线的解析式是 y=kx+c(k0), P（ ）在此直线上， k= , 伴随直线的解析式是 y = x + c. （ 4） 抛物线 l与 x轴由两个交点， 1=b2 4ac 0, b2 4ac. x2 x1 0, x1 + x2= 0, x1 x2 0,ab 0,ac 0. 对于伴随抛物线的解析式是 y = ax2 + c， 有 1=4 ac 0。 由 ax2 + c=0，解得 x= C（ ， 0）， D（ ， 0）， CD=2 . 24 , 24 b a c b aa 2 b 2 b 2 b c a c a c a c a 又 AB= x2 x1= ,由 AB=CD， 得 =2 ， b2=8ac. a,b,c应满足的条件为 b2=8ac且 ab 0或 b2=8ac且 bc 0. 例 7（ 2003年安徽省中考压轴题） 如图，这些等腰三 角形与正三角形的形状有些差异，我们把它与正三角形的 接近程度称为 “ 正度 ” 。在研究 “ 正度 ” 时， 应保证相似 三角形的 “ 正度 ” 相等。 2 4 | b ac a 2 4 | b ac a c a 设等腰三角形的底和腰分别为 a、 b，底角和顶角分 别为 ，要求 “ 正度 ” 的值是非负数 . 同学甲认为：可用式 |a-b|来表示 “ 正度 ” ， |a-b| 的值越小，表示等腰三角形越接近三角形 同学乙认为：可用式 |-|来表示 “ 正度 ” ， |-| 的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形； 探究：（）他们的方案哪个较为合理，为什么？ （）对你认为不够合理的方案，请加以改 正（给出式子即可）； （）请再给出一种衡量 “ 正度 ” 的表达式。 六、立体图形压轴题初露端端俾 所谓立体图形压轴题是指对一些基本的立体几何体 （如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等）与其展开图 之间数与形之间关系的探究或在日常生活中的应用的探 究。 例 11（ 2004年淮安市）如图 6，一个无盖的正方体盒 子的棱长为 10厘米，顶点 C1处有一只昆虫甲，在盒子的内 部顶点 A处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）。 （ 1）假设昆虫甲在顶点 C1处静止不动，如图 6，在盒 子内部我们先取棱 BB1的中点 E，再连结 AE， EC1。昆虫 如果沿路径 AEC1爬行，那么可以在最短的时间内捕 捉到昆虫甲。仔细体会其中的道理，并在图 7中画出另一 条路径，使昆虫乙从顶点 A沿这条路径爬行，同样可以在 最短的时间内捕捉到昆虫甲。（请简要说明画法） （ 2）如图 8，假设昆虫甲从顶点 C1，以 1厘米 /秒的速 度在盒子的内部沿棱 C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点 A 以 2厘米 /秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多 长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到 1秒） 略解（ 1）路径为： AE1C1， AE2C1， A E3C1， A E4C1中任一种。 （ 2）由（ 1）可知，当昆虫甲从顶点 C1沿棱 C1C向顶点 C 爬行的同时，昆虫乙可以沿下列四种路径中的任意一种爬 行： 可以看出，图 81与图 82中的图径相等，图 83与图 8 4中的路径相等。 设昆虫甲从顶点 C1沿棱 C1C向顶点 C爬行的同时，昆虫 乙从顶点 A按路径 AEF爬行捕捉到昆虫甲需 x秒钟， C C 1 D 1 D B 1 A 1 E C C 1 D 1 D B 1 A 1 A B B A E 4 E 2 E 3 E 1 E C C 1 D 1 D B 1 A 1 B A 在 Rt ACF中，（ 2x） 2=(10 x)2+202,解得 x=10 设昆虫甲从顶点 C1沿棱 C1C向顶点 C爬行的同时，昆 虫从顶点 A按路径 AE2F 爬行捕捉到昆虫甲需 y秒钟， 如图 84在 Rt ABF中， (2y)2=(20 y)2+102,解得 y=8。 所以昆虫乙从顶点 A爬行捕 捉到昆虫甲至少需 8秒钟。 2X 2X X X E 3E F D D 1A 1 F B B 1A 1 B 1 A A C C 1 C 1 y 2y y 2y D 1 E 2 C C 1 D E 4 B CD A B 1 A C 1 F B F 例 12（ 2003年山东省中考题）图 822是由五个边长 都是 1 的正方形纸片拼接而成的，过点 A1的直线分别与 BC1、 BE交于点 M、 N，且图 822被直线 MN分成面积 相等的上、下两部分。 （ 1）求 的值 ; （ 2）求 MB、 NB的长； （ 3）将图 822沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图 823）后，求点 M、 N间的距离。 11 MB NB 图 8 -2 2 D D 1 C 1 C A 1 B 1 N D 1 C 1 B 1 A 1 D 2 C 2 F C ADE B BA M M 这类试题的背景形象、生动、富有情趣、内涵丰富、 立意新颖，把相似形、方程等数学知识与立体图形及其展 开图、视图等有机地结合起来，体现了二维与三维的相互 转换与对应，融考查数学知识、基本技能及数学思想方法、 空间想象能力及应用探究能力与一体。