新课标理科数学第十章第二节排列与组合.ppt

菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 第二节 排列与组合 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1 排列与排列数 ( 1 ) 排列 从 n 个不同元素中取出 m ( m n ) 个元素， 按照一定的 _ _ _ _ _ _ _ _ 排成一列 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的一个排列 ( 2 ) 排列数 从 n 个不同元素中取出 m ( m n ) 个元素的 所有 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 _ 顺序 不同排列的个数 Amn 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 2 组合与组合数 ( 1) 组合 从 n 个不同元素中取出 m ( m n ) 个元素 _ _ ，叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 ( 2) 组合数 从 n 个不同元素中取出 m ( m n ) 个元素的 _ _ _ ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作 _ 组成一组 所有不 同组合的个数 Cmn 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 3 排列数 、 组合数的公式及性质 公式 ( 1 ) A m n _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ n ！ （ n m ）！ ( 2 ) C m n A m n A m m n （ n 1 ）（ n 2 ） （ n m 1 ） m ！ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( n ， m N * ，且 m n ) 特别地 C 0 n 1. 性质 ( 1 ) 0 ！ _ _ _ ； ( 2 ) A n n _ _ _ _ _ . (2 ) C m n C n m n ； C m n 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . n ( n 1 ) ( n 2) ( n m 1) n ！ m ！（ n m ）！ n！ C mn C m 1n 1 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1 如何区分某一问题是排列问题还是组合问题 ？ 【 提示 】 区分某一问题是排列问题还是组合问题 ， 关 键是看所选出的元素与顺序是否有关 ， 若交换某两个元素的 位臵对结果产生影响 ， 则是排列问题 ， 否则是组合问题 2 若 C xn C mn ，则 x m ，这个结论一定正确吗？ 【提示】 不正确由 C xn C mn 可得 x m 或 x n m . 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1 (人教 A版教材习题改编 )从 1， 2， 3， 4， 5， 6六个数 字中 ， 选出一个偶数和两个奇数 ， 组成一个没有重复数字的 三位数 ， 这样的三位数共有 ( ) A 9个 B 24个 C 36个 D 54个 【 答案 】 D 【解析】 选出符合题意的三个数字有 C 13 C 23 种方法， 这三个数可组成 C 13 C 23 A 33 54 个没有重复数字的三位数 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 2 A、 B、 C、 D、 E五人并排站成一排 ， 如果 B必须站 在 A的右边 (A、 B可以不相邻 )， 那么不同的排法共有 ( ) A 24种 B 60种 C 90种 D 120种 【 答案 】 B 【解析】 可先排 C 、 D 、 E 三人，共 A 35 种排法，剩余 A 、 B 两人只有一种排法，由 分步计数原理满足条件的排法 共 A 35 60( 种 ) 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 3 (2012浙江高考 )若从 1， 2， 3， ， 9这 9个整数中 同时取 4个不同的数 ， 其和为偶数 ， 则不同的取法共有 ( ) A 60种 B 63种 C 65种 D 66种 【 答案 】 D 【解析】 满足题设的取法可分为三类：一是四个奇 数相加，其和为偶数，在 5 个奇数 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 中，任意 取 4 个， 有 C 4 5 5( 种 ) ；二是两个奇数加两个偶数其和为偶 数，在 5 个奇数中任取 2 个，再在 4 个偶数 2 ， 4 ， 6 ， 8 中任取 2 个，有 C 2 5 C 2 4 60( 种 ) ；三是四个偶数相加，其和为偶 数， 4 个偶数的取法有 1 种，所以满足条件的取法共有 5 60 1 66( 种 ) 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 4 (2013广东六校联考 )某校开设 A类选修课 3门 ， B类 选修课 4门 ， 一位同学从中共选 3门 ， 若要求两类课程中各至 少选一门 ， 则不同的选法共有 _种 (用数字作答 ) 【解析】 分类讨论， A 类选修 1 门， B 类选 修 2 门，有 C 13 C 24 1 8 ( 种 ) ； A 类选修 2 门， B 类选修 1 门，有 C 23 C 14 1 2 ( 种 ) ， 所以一共有 30 种 【 答案 】 30 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 4个男同学 ， 3个女同学站成一排 (1)3个女同学必须排在一起 ， 有多少种不同的排法 ？ (2)任何两个女同学彼此不相邻 ， 有多少种不同的排 法 ？ (3)甲 、 乙两人相邻 ， 但都不与丙相邻 ， 有多少种不同 的排法 ？ 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【 尝试解答 】 (1)3个女同学是特殊元素 ， 共有 A种排 法；由于 3个女同学必须排在一起 ， 视排好的女同学为一整 体 ， 再与 4个男同学排队 ， 应有 A种排法 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 由分步乘法计数原理，有 A 3 3 A 5 5 720 种不同排法 ( 2) 先将男生排好，共有 A 4 4 种排法，再在这 4 个男生的 中间及两头的 5 个空档中插入 3 个女生有 A 3 5 种方法 故符合条件的排法共有 A 4 4 A 3 5 1 440 种不同排法 ( 3) 先排甲、乙和丙 3 人以外的其他 4 人，有 A 4 4 种排法； 由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有 A 2 2 种排法；最 后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的 4 人的 空档中有 A 2 5 种排法 总共有 A 4 4 A 2 2 A 2 5 960 种不同排法 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1 对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分 析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优 先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置， 对于分类过多的问题可以采用间接法 2 对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、 定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方 法 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 在本例中 ， 条件不变 ， 把第 (1)、 (2)小题改为下面两问 题： (1)甲不站排头 ， 乙不站排尾 ， 有多少种不同的排法 ？ (2)若甲乙两同学之间必须有 3人 ， 有多少种不同的排 法 ？ 【解】 ( 1) 用间接法， 4 名男生， 3 名女生站成一排的 方法共有 A 7 7 种 甲站排头的方法有 A 6 6 种，乙站排尾的方法有 A 6 6 种 甲站排头，乙站排尾的方法有 A 5 5 种 符合题意的排法有： A 7 7 2 A 6 6 A 5 5 3 720 种 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） ( 2) 先排甲、乙，有 A 22 种排法，再从其他 5 位同学中选 3 人排在甲、乙中间，有 A 35 种排法 ，最后把甲、乙及中间 3 人作为一个整体与剩余的 2 人全排列，有 A 33 种排法 所以共 有 A 22 A 35 A 33 720 种不同排法 . 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 男运动员 6名 ， 女运动员 4名 ， 其中男女队长各 1名 ， 选派 5人外出比赛 ， 在下列情形中各有多少种选派方法 ？ (1)至少有 1名女运动员； (2)既要有队长 ， 又要有女运动员 【 思路点拨 】 第 (1)问可以用直接法或间接法求 解 第 (2)问根据有无女队长分类求解 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【尝试解答】 ( 1) 法一 至少有 1 名女运动员包括以 下几种情况： 1 女 4 男， 2 女 3 男， 3 女 2 男， 4 女 1 男 由分类加法计数原理可得总选法数为 C 1 4 C 4 6 C 2 4 C 3 6 C 3 4 C 2 6 C 4 4 C 1 6 246( 种 ) 法二 “ 至少有 1 名女运动员 ” 的反面为 “ 全是男运动 员 ” 可用间接法求解 从 10 人中任选 5 人有 C 5 10 种选法，其中全是男运动员的 选法有 C 5 6 种 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 所以 “ 至少有 1 名女运动员 ” 的选法为 C 5 10 C 5 6 246( 种 ) ( 2) 当有女队长时，其他人选法任意，共有 C 4 9 种选法 不选女队长时，必选男队长，共有 C 4 8 种选法其中不含女 运动员的选法有 C 4 5 种，所以不选女队长时共有 C 4 8 C 4 5 种选 法， 所以既有队长又有女运动员的选法共有 C 4 9 C 4 8 C 4 5 191( 种 ) 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1 本题中第 (1)小题，含 “ 至少 ” 条件，正面求解情况 较多时，可考虑用间接法第 (2)小题恰当分类是关键 2 组合问题常有以下两类题型变化 (1)“ 含有 ” 或 “ 不含有 ” 某些元素的组合题型： “ 含 ” ， 则先将这些元素取出 ， 再由另外元素补足； “ 不 含 ” ， 则先将这些元素剔除 ， 再从剩下的元素中去选取 (2)“ 至少 ” 或 “ 最多 ” 含有几个元素的题型：若直接 法分类复杂时 ， 逆向思维 ， 间接求解 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） (2012陕西高考 )两人进行乒乓球比赛 ， 先赢 3局者获 胜 ， 决出胜负为止 ， 则所有可能出现的情形 (各人输赢局次 的不同视为不同情形 )共有 ( ) A 10种 B 15种 C 20种 D 30种 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【 答案 】 C 【解析】 由题意知比赛场数至少为 3 场，最多为 5 场分三类 ： 当为 3 场时，情况为甲或乙连赢 3 场，共 2 种 当为 4 场时，若甲赢，则前 3 场中甲赢 2 场，最后一场甲 赢，共有 C 2 3 3( 种 ) 情况；同理，若乙赢也有 3 种情况共 有 6 种情况 当为 5 场时，前 4 场，甲、乙各赢 2 场，最后 1 场胜出 的 人赢，共有 2 C 2 4 12( 种 ) 情况 由上综合知，共有 20 种情况 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） ( 1 ) ( 2 0 1 2 北京高考 ) 从 0 ， 2 中选一个数字，从 1 ， 3 ， 5 中选两个数字，组成无重复 数字的三位数，其中奇数的个 数为 ( ) A 24 B 18 C 12 D 6 ( 2 ) 某校高二年级共有 6 个班级，现从外地转入 4 名学 生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的 安排方案种数为 ( ) A A 2 6 C 2 4 B. 1 2 A 2 6 C 2 4 C A 2 6 A 2 4 D 2A 2 6 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【 思路点拨 】 (1)0是特殊元素 ， 不能排在百位和个 位 ， 按选出的数字是否含 0分类 (2)可将 4名同学分成两组 (每组 2人 )， 再分配到两个班级 【尝试解答】 ( 1) 根据所选偶数为 0 和 2 分类讨论求 解 当选数字 0 时，再从 1 ， 3 ， 5 中取出 2 个数字排在个位 与百位 排成的三位奇数有 C 2 3 A 2 2 6 个 当取出数字 2 时，再从 1 ， 3 ， 5 中取 2 个数字有 C 2 3 种 方法 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 然后将选中的两个奇数数字选一个排在个位，其余 2 个 数字全排列 排成的三位奇数有 C 2 3 A 1 2 A 2 2 12 个 由加法计数原理，共有 A 2 3 A 1 2 A 2 3 18 个三位奇 数 ( 2) 法一 将 4 人平均分成两组有 1 2 C 2 4 种方法，将此两组 分配到 6 个班级中的 2 个班有 A 2 6 种，所以不同的安排方法有 1 2 C 2 4 A 2 6 种 法二 先从 6 个班级中 选 2 个班级有 C 2 6 种不同方法，然 后安排学生有 C 2 4 C 2 2 种，故有 C 2 6 C 2 4 1 2 A 2 6 C 2 4 种 【答案】 ( 1 ) B ( 2 ) B 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1 解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素 (或位 置 )的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具 体地说，解排列组合问题常以元素 (或位置 )为主体，即先满 足特殊元素 (或位置 )，再考虑其他元素 (或位置 ) 2 不同元素的分配问题 ， 往往是先分组再分配 在分 组时 ， 通常有三种类型： (1)不均匀分组 (2)均匀分组 (3) 部分均匀分组 ， 注意各种分组类型中 ， 不同分组方法的求 法 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） (2013惠州模拟 )已知集合 A 5， B 1， 2， C 1， 3， 4， 从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐 标系中点的坐标 ， 则确定的不同点的个数为 ( ) A 33 B 34 C 35 D 36 【解析】 ( 1) 若从集合 B 中取元素 2 时，再从 C 中任取 一个元素，则确定的不同点的个数为 C 13 A 33 . ( 2) 当从集合 B 中取元素 1 ，且从 C 中取元素 1 ，则确定的 不同点有 C 13 1 C 13 . 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【 答案 】 A ( 3) 当从 B 中取元素 1 ，且从 C 中取出元素 3 或 4 ，则确 定 的不同点有 C 12 A 33 个 由分类计数原理，共确定不同的点有 C 13 A 33 C 13 C 12 A 33 33 个 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 排列与组合最根本的区别在于 “ 有序 ” 和 “ 无序 ” 取 出元素后交换顺序 ， 如果与顺序有关是排列 ， 如果与顺序无 关即是组合 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1. 先特殊后一般 2 先组合后排列 3 先分组再分配 1. 排列数公式 A mn n ！ （ n m ）！ . 2 组合数公式 C mn n ！ m ！（ n m ）！ . 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 求解排列组合问题的思路： “ 排组分清 ， 加乘明确；有 序排列 ， 无序组合；分类相加 ， 分步相乘 ” 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 从近两年的高考试题来看 ， 排列 、 组合及排列与组合的 综合应用是高考的热点 ， 题型以选择题 、 填空题为主 ， 中等 难度 ， 在解答题中 ， 排列 、 组合常与概率 、 分布列的有关知 识结合在一起考查 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 易错辨析之十七 实际意义理解不清导致计数错误 (2012山东高考改编 )现有 16张不同的卡片 ， 其中红 色 、 黄色 、 蓝色 、 绿色卡片各 4张 ， 从中任取 3张 ， 要求这 3 张卡片不能是同一种颜色 ， 且红色卡片至多 1张 ， 不同取法 的种数为 ( ) A 232 B 256 C 472 D 484 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【 答案 】 B 【错解】 第一类，含有一张红色卡片，取出红色卡 片有 C 1 4 种方法，再从黄、蓝、绿三色中选出两色并各取一 张卡片有 C 2 3 C 1 4 C 1 4 种方法，因此满足条件的取法有 C 1 4 C 2 3 C 1 4 C 1 4 192 种 第二类，不含有红色卡片，从其余三色卡片中各取一 张有 C 1 4 C 1 4 C 1 4 64 种取法 由分类计数原理，不同的取法共有 192 64 256 种 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 错因分析： (1)错解的原因是没有理解 “ 3张卡片不能是 同一种颜色 ” 的含义 ， 误认为 “ 取出的三种颜色不同 ” (2)运用间接法求 “ 不含有红色卡片 ” 时 ， 忽视 “ 3张卡 片不能是同一种颜色 ” ， 误求为 C， 导致错选 D. 防范措施： (1)准确理解题意 ， 抓住关键字词的含义 ， “ 3张卡片不能是同一种颜色 ” 是指 “ 两种颜色或三种颜 色 ” 都满足要求 (2)选择恰当分类标准 ， 避免重复遗漏 ， 出现 “ 至少 、 至多 ” 型问题 ， 注意间接法的运用 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【 答案 】 C 【正解】 第一类，含有 1 张红色卡片，共有不同的取 法 C 1 4 C 2 12 264( 种 ) 第二类，不含有红色卡片，共有 不同的取法 C 3 12 3 C 3 4 220 12 208( 种 ) 由分类加法计数原理知不同的取法有 264 208 472( 种 ) 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1 (2012辽宁高考 )一排 9个座位坐了 3个三口之家 ， 若 每家人坐在一起 ， 则不同的坐法种数为 ( ) A 3 3! B 3 (3！ )3 C (3！ )4 D 9! 【 解析 】 把一家三口看作一个排列 ， 然后再排列这 3 家 ， 所以有 (3！ )4种 【 答案 】 C 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 2 (2013汕头质检 )若一个三位数的十位数字比个位数 字和百位数字都大 ， 称这个数为 “ 伞数 ” 现从 1， 2， 3， 4， 5， 6这六个数字中取 3个数 ， 组成无重复数字的三位数 ， 其中 “ 伞数 ” 有 ( ) A 120个 B 80个 C 40个 D 20个 【解析】 分类讨论：若十位数为 6 时，有 A 25 20( 个 ) ；若十位数为 5 时，有 A 24 1 2 ( 个 ) ；若十位数为 4 时，有 A 23 6( 个 ) ；若十位数为 3 时，有 A 22 2( 个 ) ， 因此一共有 40 个 【 答案 】 C 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 课后作业（六十五）