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数学 三角形与全等三角形 第五章 图形的性质 (一 ) 1 三角形的边、角关系 三角形的任意两边之和 _第三边；三角形的内角和等于 2 三角形的分类 按角可分为 和 ， 按边可分为 和 大于 180 直角三角形 斜三角形 不等边三角形 等腰三角形 4.全等三角形的性质和判定 (1)性质：全等三角形对应边相等 ， 对应角相等注意：全等三角 形对应边上的高、中线相等；对应角的平分线相等；全等三角形的 周长、面积也相等 (2)判定： 对应相等的两个三角形全等 (SAS)； 对应相等的两个三角形全等 (ASA)； 对应相等的两个三角形全等 (AAS)； _对应相等的两个三角形全等 (SSS)； 对应相等的两个直角三角形全等 (HL) 两边和夹角 两角和夹边 两角和其中一角的对边 三边 斜边和一条直角边 1 证明三角形全等的三种基本思路 (1)有两 边对应 相等 时 ， 找 夹 角相等或第三 边对应 相等； (2)有一 边 和一角 对应 相等 时 ， 找另一角相等或 夹 等角的另一 边 相等； (3)有两个角 对应 相等 时 ， 找一 对边对应 相等 另外 ， 在 寻 求全 等条件 时 ， 要善于挖掘 图 形中公共 边 、公共角、 对顶 角等 隐 含条 件 2 证明几何题的四种思考方法 (1)顺 推分析：从已知条件出 发 ， 运用相 应 的定理 ， 分 别 或 联 合 几个已 知条件加以 发 展 ， 一步一步地去靠近欲 证 目 标 ； (2)逆推分析：从欲 证结论 入手 ， 分析达到欲 证 的可能 途径 ， 逐 步沟通它与已知条件的 联 系 ， 从而找到 证 明 方法； (3)顺 推分析与逆推分析相 结 合； (4)联 想分析： 对 于一道与 证 明 过 的 题 目有 类 似之 处 的新 题 目 ， 分析它 们 之 间 的相同点与不同点 ， 尝试 把 对 前 一道 题 的思考 转 用 于 现 在的 题 目中 ， 从而找到它的解法 1 ( 2015 大连 ) 下列长度的三条线段能组成三角形的是 ( ) A 1 ， 2 ， 3 B 1 ， 2 ， 3 C 3 ， 4 ， 8 D 4 ， 5 ， 6 2 ( 2015 长沙 ) 如图 ， 过 A BC 的顶点 A ， 作 BC 边上的高 ， 以下作法正 确的是 ( ) , A) , B) , C) , D) D A 3 ( 2015 柳州 ) 如图 ， 图中 1 的大小等于 ( ) A 40 B 50 C 60 D 70 4 ( 20 15 柳州 ) 如图 ， 下列条件中 ， 不能证明 ABC DCB 的是 ( ) A AB DC ， AC DB B AB DC ， ABC DCB C BO CO ， A D D AB DC ， DBC ACB D D 5 (2015泰安 )如图 ， AD是 ABC的角平分线 ， DE AC， 垂 足为点 E， BF AC交 ED的延长线于点 F， 若 BC恰好平分 ABF， AE 2BF.给出下列四个结论： DE DF； DB DC； AD BC； AC 3BF， 其中正确的结论共有 ( ) A 4个 B 3个 C 2个 D 1个 A 【例 1 】 ( 1) ( 2015 泉州 ) 已知 ABC 中 ， AB 6 ， BC 4 ， 那么边 AC 的长可能是下列哪个值 ( ) A 1 1 B 5 C 2 D 1 (2) ( 2015 巴中 ) 若 a ， b ， c 为三角形的三边 ， 且 a ， b 满足 a 2 9 (b 2) 2 0 ， 则第三边 c 的取值范围是 B 1 c 5 【 点评 】 三角形三 边 关系性 质 的 实质 是 “ 两点之 间 ， 线 段最 短 ” 根据三角形的三 边 关系 ， 已知三角形的两 边 a， b， 可确 定三角形第三 边长 c的取 值 范 围 |a b| c a b. 对应训练 1 (1)(2014宜昌 )已知三角形两边长分别为 3和 8， 则该三角形 第三边的长可能是 ( ) A 5 B 10 C 11 D 12 (2)(2014淮安 )若一个三角形三边长分别为 2， 3， x， 则 x的值可 以为 _ (只需填一个整数 ) B 4 【 例 2】 (1)(2014赤峰 )如图 ， 把一块含有 30 角 ( A 30 ) 的直角三角板 ABC的直角顶点放在矩形桌面 CDEF的一个顶点 C处 ， 桌面的另一个顶点 F与三角板斜边相交于点 F， 如果 1 40 ， 那么 AFE ( ) A 50 B 40 C 20 D 10 (2)一个零件的形状如图所示 ， 按规定 A 90 ， B和 C分别 是 32 和 21 ， 检验工人量得 BDC 148 ， 就断定这个零件不 合格 ， 请说明理由 D 解：延长 BD交 AC于 E. DEC是 ABE的外角 ， DEC A B 90 32 122 .同理 BDC C DEC 21 122 143 148 ， 这个零件不合格 【 点评 】 有关求三角形角的度数的 问题 ， 首先要明确所求的角 和哪些三角形有密切 联 系 ， 若没有直接 联 系 ， 可添加 辅 助 线 构建 “ 桥 梁 ” 对应训练 2 (1) ( 2015 绵阳 ) 如图 ， 在 ABC 中 ， B 、 C 的平分线 BE ， CD 相 交于点 F ， ABC 42 ， A 60 ， 则 BFC ( ) A 1 18 B 1 19 C 120 D 121 , 第 ( 1) 题图 ) , 第 ( 2) 题图 ) (2) 如图 ， P 是 ABC 内一点 ， 延长 BP 交 AC 于点 D ， 用 “ ” 表示 BPC ， B DC ， BA C 之间的关系 C 解： BPC是 PCD的外角 ， BPC BDC， 同理 BDC BAC， BPC BDC BAC 【 例 3】 (1)(2015莆田 )如图 ， AE DF， AE DF， 要使 EAC FDB， 需要添加下列选项中的 ( ) A AB CD B EC BF C A D D AB BC A (2) ( 2015 云南 ) 如图 ， B D ， 请添加一个条件 ( 不得添加辅助线 ) ， 使得 ABC A DC ， 并说明理由 解：添加 BAC DAC . 理由如下：在 ABC 与 A DC 中 ， B D ， BAC D A C ， AC AC ， ABC A DC ( AAS ) 【 点评 】 判定两个三角形全等的一般方法有： SSS， SAS， ASA， AAS， HL.注意： AAA， SSA不能判定两个三角形全等 ， 判定两个三角形全等 时 ， 必 须 有 边 的参与 ， 若有两 边 一角 对应 相等 时 ， 角必 须 是两 边 的 夹 角 对应训练 3 (1)(2015泰州 )如图 ， ABC中 ， AB AC， D是 BC的中点 ， AC的垂直平分线分别交 AC， AD， AB于点 E， O， F， 则图中全等 三角形的对数是 ( ) A 1对 B 2对 C 3对 D 4对 D (2)(2014邵阳 )如图 ， 已知点 A， F， E， C在同一直线上 ， AB CD ， ABE CDF， AF CE. 从图中任找两组全等三角形； 从 中任选一组进行证明 ( 2 ) ABE CDF ， AFD CEB ； AB CD ， 1 2 ， AF CE ， AF EF CE EF ， 即 AE FC ， 在 ABE 和 CDF 中 ， 1 2 ， ABE C DF ， AE CF ， ABE CDF ( AA S ) 【例 4 】 已知：如图 ， 在 ABC 中 ， D 是 BC 的中点 ， ED DF ， 求 证： BE CF EF . 解：证明：延长 ED 到 M ， 使 DM ED ， 连接 CM ， FM. D 是 BC 的 中点 ， BD CD. 在 E D B 与 MDC 中 ， BD DC ， EDB CDM ， ED DM ， EDB MDC ( SAS ) ， BE CM. 在 FMC 中 ， CF CM MF ， 又 ED DF ， ED DM ， EF FM. CF CM EF ， 即 CF BE EF 【点评】 利用中 线 加倍延 长 法 ， 把 BE ， CF ， EF 集中在一个 三角形中 ， 利用三角形的两 边 之和大于第三 边 来 证 对应训练 4 (2015黑龙江 )如图 ， 四边形 ABCD是正方形 ， 点 E在直线 BC 上 ， 连接 AE.将 ABE沿 AE所在直线折叠 ， 点 B的对应点是点 B， 连接 AB并延长交直线 DC于点 F. (1)当点 F与点 C重合时如图 ， 易证： DF BE AF(不需证明 )； (2)当点 F在 DC的延长线上时如图 ， 当点 F在 CD的延长线上时如 图 ， 线段 DF， BE， AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想 ， 并选择一种情况给予证明 解： (1)由折叠可得 AB AB， BE BE， 四边形 ABCD是正方 形 ， AB DC DF， BCE 45 ， BE BF， AF AB BF， 即 DF BE AF (2)图 的结论： DF BE AF；图 的结论： BE DF AF； 图 的证明：延长 CD到点 G， 使 DG BE， 连接 AG， 需证 ABE ADG， CB AD， AEB EAD， BAE BAE， BAE DAG， GAF DAE， AGD GAF， GF AF， BE DF AF；图 的证明：在 BC上取 点 M， 使 BM DF， 连接 AM， 需证 ABM ADF， BAM FAD， AF AM ABE ABE BAE EAB， MAE DAE， AD BE， AEM DAE， MAE AEM， ME MA AF， BE DF AF 留心 “ 边边角 ” 试题 如图 ， 已知 D 是 A BC 的边 BC 上的一点 ， E 是 AD 上的一点 ， EB EC ， 1 2. 求证： BAE CAE. 错解 证明：在 AE B 和 AEC 中 ， AE AE ， EB EC ， 1 2 ， AEB AEC ( SSA ) ， BAE CAE. 剖析 先看一个事 实 ， 如 图 ， 将等腰 ABC 的底 边 BC 延 长线 上的任一点和 顶 点 A 相 连 ， 所得的 DAB 和 D AC 无疑是不全等的 ， 由此可知 ， 有两 边 及 其一 边 的 对 角 对应 相等的 两个三角形 ( 简 称 “ 边边 角 ” ) 不 一定全等 因此 ， 在判定三角形全等 时 ， 一定要留心 “ 边边 角 ” ， 别 上当 哟 正解 证明： EB EC， 3 4.又 1 2， 1 3 2 4， 即 ABC ACB， AB AC.在 AEB和 AEC中 ， EB EC， 1 2， AB AC， AEB AEC(SAS)， BAE CAE
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