中考数学总复习 第五章 图形的性质（一）第18讲 三角形与全等三角形课件.ppt

第 18讲 三角形与全等三角形 浙江专用 1 三角形的边、角关系 三角形的任意两边之和 _第三边；三角形的内角和等于 _三角 形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 _三角形具有稳定性 2 三角形的分类 按角可分为 _和 _， 按边可分为 _和 _ 大于 180 直角三角形 斜三角形 不等边三角形 等腰三角形 和 3 三角形的主要线段 定义 图形 性质 角 平 分 线 一个角的顶点和这个 角的平分线与对边的 交点之间的线段叫做 三角形的角平分线 1 2 中 线 连接三角形的一个顶 点和它对边中点的线 段叫做三角形的中线 BD DC 高 三角形的一个顶点和 它对边所在直线的垂 线段叫做三角形的高 AD BC 即 A DB ADC 90 中 位 线 连接三角形两边中点 的线段 ， 叫做三角形 的中位线 DE BC 且 DE 1 2 BC 4.全等三角形的性质和判定 (1)性质：全等三角形对应边相等 ， 对应角相等注意：全等三角形对应 边上的高、中线相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积 也相等 (2)判定： _对应相等的两个三角形全等 (SAS)； _对应相等的两个三角形全等 (ASA)； _对应相等的两个三角形全等 (AAS)； _对应相等的两个三角形全等 (SSS)； _对应相等的两个直角三角形全等 (HL) 两边和夹角 两角和夹边 两角和其中一角的对边 三边 斜边和一条直角边 1 判断三条线段能否构成三角形时 ， 要注意不能只考察任意两边之和 大于第三边就下结论 ， 应该按照较小两边的和是否大于最大边来判断 2 三角形的中位线与中线的区别：三角形的中线是连结顶点与对边中 点的线段 ， 而中位线是连结三角形两边中点的线段 3 三角形内外角性质的运用技巧 进行三角形角度计算时 ， 常常利用方程求解 4 构造三角形中位线 有关中点问题 ， 常作辅助线构造三角形中位线 ， 利用三角形中位线解决 问题 5 证明三角形全等的三种基本思路 (1)有两边对应相等时 ， 找夹角相等或第三边对应相等； (2)有一边和一角对应相等时 ， 找另一角相等或夹等角的另一边相等； (3)有两个角对应相等时 ， 找一对边对应相等 另外 ， 在寻求全等条件时 ， 要善于挖掘图形中公共边 、 公共角 、 对顶角 等隐含条件 1 (2016西宁 )下列每组数分别是三根木棒的长度 ， 能用它们摆成三角 形的是 ( ) A 3 cm， 4 cm， 8 cm B 8 cm， 7 cm， 15 cm C 5 cm， 5 cm， 11 cm D 13 cm， 12 cm， 20 cm 2 (2016金华 )如图 ， 已知 ABC BAD， 添加下列条件还不能判定 ABC BAD的是 ( ) A AC BD B CAB DBA C C D D BC AD D A 3 (2016丽水 )如图 ， 在 ABC中 ， A 63 ， 直线 MN BC， 且分别与 AB， AC相交于点 D， E， 若 AEN 133 ， 则 B的度 数为 _ 70 4 (2016金华 )如图 ， 已知 AB CD， BC DE， 若 A 20 ， C 120 ， 则 AED的度数是 _ 80 三角形的三边关系 【例 1 】 ( 1 ) ( 2 0 1 6 长沙 ) 若一个三角形的两边长分别为 3 和 7 ， 则第三边 长可能是 ( ) A 6 B 3 C 2 D 11 ( 2 ) ( 2 0 1 5 巴中 ) 若 a ， b ， c 为三角形的三边 ， 且 a ， b 满足 a 2 9 (b 2) 2 0 ， 则第三边 c 的取值范围是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ A 1 c 5 【 点评 】 三角形三边关系性质的实质是 “ 两点之间 ， 线段最短 ” 根据三角形的三边关系 ， 已知三角形的两边 a， b， 可确定三角形第三 边长 c的取值范围是 |a b| c a b. 对应训练 1 ( 1 ) ( 2 0 1 6 盐城 ) 若 a ， b ， c 为 A B C 的三边长 ， 且满足 |a 4| b 2 0 ， 则 c 的值可以为 ( ) A 5 B 6 C 7 D 8 ( 2 ) 若一个三角形三边长分别为 2 ， 3 ， x ， 则 x 的值可以为 _ _ ( 只需填 一个整数 ) A 4 三角形的内角、外角的性质 【 例 2】 (1)如图 ， 把一块含有 30 角 ( A 30 )的直角三角板 ABC 的直角顶点放在矩形 CDEF的一个顶点 C处 ， 矩形的另一个顶点 F与三 角板斜边相交于点 F， 如果 1 40 ， 那么 AFE ( ) A 50 B 40 C 20 D 10 D (2)一个零件的形状如图所示 ， 按规定 A 90 ， B和 C分别是 32 和 21 ， 检验工人量得 BDC 148 ， 就断定这个零件不合格 ， 请说明理由 解：延长 BD交 AC于 E(图略 ) DEC是 ABE的外角 ， DEC A B 90 32 122 .同理 BDC C DEC 21 122 143 148 ， 这个零件不合格 【 点评 】 有关求三角形角的度数的问题 ， 首先要明确所求的角和 哪些三角形有密切联系 ， 若没有直接联系 ， 可添加辅助线构建 “ 桥 梁 ” 对应训练 2 (1)(2016乐山 )如图 ， CE是 ABC的外角 ACD的平分线 ， 若 B 35 ， ACE 60 ， 则 A ( ) A 35 B 95 C 85 D 75 C (2)(2016大庆 )如图 ， 在 ABC中 ， A 40 ， D点是 ABC和 ACB角平分线的交点 ， 则 BDC _ 110 全等三角形的判定 【 例 3】 (1)(2016永州 )如图 ， 点 D， E分别在线段 AB， AC上 ， CD与 BE 相交于 O点 ， 已知 AB AC， 现添加以下的哪个条件仍不能判定 ABE ACD( ) A B C B AD AE C BD CE D BE CD D (2)(2016泉州 )如图 ， ABC， CDE均为等腰直角三角形 ， ACB DCE 90 ， 点 E在 AB上 求证： CDA CEB. 证明： A B C ， C DE 均为等腰直角三角形 ， A C B DC E 90 ， CE CD ， BC AC ， AC B AC E DC E AC E ， E C B DC A ， 在 C D A 与 C EB 中 ， BC AC ， ECB D C A ， EC DC ， C D A C EB ( S AS ) 【 点评 】 判定两个三角形全等的一般方法有： SSS， SAS， ASA ， AAS， HL.注意： AAA， SSA不能判定两个三角形全等 ， 判定两 个三角形全等时 ， 必须有边的参与 ， 若有两边一角对应相等时 ， 角 必须是两边的夹角 对应训练 3 (1)(2016济宁 )如图 ， ABC中 ， AD BC， CE AB， 垂足分别 为 D， E， AD， CE交于点 H， 请你添加一个适当的条件： _， 使 AEH CEB. AH CB等 (只要符合要求即可 ) (3 ， 4 ) 或 ( 9625 ， 7225 ) 或 ( 2125 ， 2825 ) (2)(2016丹东 )如图 ， 在平面直角坐标系中 ， A， B两点分别在 x轴、 y轴上 ， OA 3， OB 4， 连结 AB.点 P在平面内 ， 若以点 P， A， B为 顶点的三角形与 AOB全等 (点 P与点 O不重合 )， 则点 P的坐标为 _ 点拨：如图所示 ， OA 3 ， OB 4 ， P 1 ( 3 ， 4 ) ； 连结 OP 2 交 AB 于点 D ， 由题可知 A OB AP 2 B ， OB P 2 B ， OA P 2 A ， AB 垂直平分 OP 2 ， 过 P 2 作 PG x 轴于点 G. S AOB 1 2 OA OB 1 2 OD A B ， OD 12 5 ， OP 2 2 OD 24 5 ， 易知 A OB P 2 GO ， OG OB P 2 G AO OP 2 BA 24 5 5 ， OG 96 25 ， P 2 G 72 25 ， 故 P 2 坐标为 ( 96 25 ， 72 25 ) 过 P 3 作 P 3 H x 轴于 H ， 易知四边形 AP 2 BP 3 为矩形 ， P 2 AP 3 90 ， P 2 AG P 3 AH 90 . 又 AP 2 G P 2 AG 90 ， AP 2 G P 3 AH ， 又 P 3 HA P 2 GA 90 ， P 3 AH AP 2 G ， P 3 H AG AH P 2 G AP 3 P 2 A 4 3 ， P 3 H 28 25 ， AH 96 25 ， OH 96 25 3 21 25 ， 则 P 3 ( 21 25 ， 28 25 ) 综 上所述 ， P 点坐标为 ( 3 ， 4 ) 或 ( 96 25 ， 72 25 ) 或 ( 21 25 ， 28 25 ) 全等三角形的判定和性质的综合运用 【 例 4】 (2016常德 )已知四边形 ABCD中 ， AB AD， AB AD， 连结 AC， 过点 A作 AE AC， 且使 AE AC， 连结 BE， 过 A作 AH CD于 H， 交 BE于 F. (1)如图 ， 当 E在 CD的延长线上时 ， 求证： ABC ADE； BF EF； (2)如图 ， 当 E不在 CD的延长线上时 ， BF EF还成立吗 ？ 请证明你的 结论 证明： ( 1 ) 如图 ， AB AD ， AE AC ， B AD 90 ， C A E 90 ， 1 2 ， 在 A B C 和 ADE 中 ， AB AD ， 1 2 ， AC AE ， A B C A DE ( S AS ) ； 如图 ， A B C ADE ， A E C 3 ， 在 Rt AC E 中 ， AC E A EC 90 ， B C E 90 ， AH CD ， AE AC ， CH HE ， A HE B C E 90 ， BC FH ， BF FE CH H E 1 ， BF EF ； ( 2 ) 结论仍然成立 ， 理由是：如图 所示 ， 过 E 作 MN AH ， 分别交 BA ， CD 的延长线于 M ， N ， C A E 90 ， B A D 90 ， 1 2 90 ， 1 C A D 90 ， 2 C A D ， MN AH ， 3 H A E ， A C H C A H 90 ， C A H H A E 90 ， AC H H A E ， 3 AC H ， 在 M A E 和 D A C 中 ， 2 C AD ， AE AC ， 3 A C H ， M A E D AC ( AS A ) ， AM AD ， AB AD ， AB AM ， AF ME ， BF EF AB AM 1 ， BF EF . 【 点评 】 本题的关键是能正确找出全等三角形；在几何图形中证明线 段相等的一般思路是： 证明相等线段所在的三角形全等； 利用相等 线段的比值为 1证相等 对应训练 4 (2016长春 )感知：如图 ， AD平分 BAC， B C 180 ， B 90 ， 易知： DB DC. 探究：如图 ， AD平分 BAC， ABD ACD 180 ， ABD 90 ， 求证： DB DC. 应用：如图 ， 四边形 ABDC中 ， B 45 ， C 135 ， DB DC a， 则 AB AC _ (用含 a的代数式表示 ) 2a 探究： 证明：如图 ， 作 DE AB 于 E ， DF AC 于 F ， DA 平分 B A C ， DE AB ， DF AC ， DE DF ， B A C D 180 ， AC D FC D 180 ， B F C D ， 在 DF C 和 DEB 中 ， F DEB ， FC D B ， DF DE ， DFC DEB ( AAS ) ， DC DB . 应用： 解；如图 ， 连结 AD ， 作 DE AB 于 E ， DF AC 于 F ， B AC D 180 ， AC D FC D 180 ， B FC D ， 在 DF C 和 DEB 中 ， F DEB ， FC D B ， DC DB ， DF C DEB ( AAS ) ， DF DE ， CF BE ， 在 Rt ADF 和 Rt ADE 中 ， AD AD ， DE DF ， ADF A DE ( HL ) ， AF AE ， AB AC ( AE B E) ( A F C F) 2 B E ， 在 Rt DEB 中 ， B 45 ， EDB 45 ， 又 BD a ， BE 2 2 a ， AB AC 2 a. 故答案为 2 a. 18.留心 “ 边边角 ” 试题 如图 ， 已知 D是 ABC的边 BC上的一点 ， E是 AD上的一点 ， EB EC， 1 2.求证： BAE CAE. 错解 证明：在 AEB和 AEC中 ， AE AE， EB EC， 1 2， AEB AEC(SSA)， BAE CAE. 剖析 先看一个事实 ， 如图 ， 将等腰 ABC的底边 BC延长线上的任一点 和顶点 A相连 ， 所得的 DAB和 DAC无疑是不全等的 ， 由此可知 ， 有 两边及其一边的对角对应相等的两个三角形 (简称 “ 边边角 ” )不一定全 等 因此 ， 在判定三角形全等时 ， 一定要留心 “ 边边角 ” ， 别上当哟 正解 证明： EB EC， 3 4.又 1 2， 1 3 2 4， 即 ABC ACB， AB AC.在 AEB和 AEC中 ， EB EC， 1 2， AB AC， AEB AEC(SAS)， BAE CAE.