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第二部分 空间与图形 课时 22 特殊的平行四边形 第四章 图形的认识（一） 知识要点梳理 1. 特殊平行四边形的定义： （ 1）矩形：有一个角是 _的平行四边形是矩形 . （ 2）菱形：有一组 _的平行四边形是菱形 . （ 3）正方形：有一组 _且有一个角为 _的 平行四边形叫做正方形 .它是最特殊的平行四边形，它既是平 行四边形，还是菱形，也是矩形 . 直角 邻边相等 邻边相等 直角 2. 特殊平行四边形的性质： （ 1）矩形的性质：边：对边 _且 _； 角：四个角都 _（ 90 ）、邻角 _； 对角线：对角线互相 _且 _；对称性： _. （ 2）菱形的性质：边： _都相等；角：对角 _、邻角 _；对角线：对角线 _且每条对角线 _每组对角； 对称性： _. 平行 相等 相等 互补 平分 相等 轴对称图形和中心对称图形 四条边 相等 互补 互相垂直平分 平分 轴对称图形和中心对称图形 （ 3）正方形的性质：边：四条边都 _；角：四 个角 _（ 90 ）；对角线：对角线 _，对角线与边的夹角为 _； 对称性： _. 3. 特殊平行四边形的判定： （ 1）矩形的判定（满足下列条件之一的四边形是矩形）： 有一个角是 _的平行四边形；对角线 _的平行四边形；四个角都 _的四边形 . 相等 相等 互相垂直平分且相等 45 轴对称图形和中心对称图形 直角 相等 相等 （ 2）菱形的判定（满足下列条件之一的四边形是菱形）： 有一组 _的平行四边形；对角线 _的平 行四边形；四条边都 _的四边形 . （ 3）正方形的判定（满足下列条件之一的四边形是正方形）： 有一组 _且有一个角为 _的平行四边形； 有一组 _的矩形；对角线 _的矩形； 有一个角是直角的 _；对角线 _的菱形 . 4. 特殊平行四边形的面积公式： （ 1）设矩形 ABCD的两邻边长分别为 a,b，则 S矩形 =_. 邻边相等 互相垂直 相等 邻边相等 直角 邻边相等 互相垂直 菱形 相等 ab （ 2）设菱形 ABCD的一边长为 a，高为 h，则 S菱形 =_; 若菱形的两对角线的长分别为 a,b，则 S菱形 =_. （ 3）设正方形 ABCD的一边长为 a，则 S正方形 =_； 若正方形的对角线的长为 b，则 S正方形 =_. ah a2 重要方法与思路 特殊平行四边形的说明方法： （ 1）矩形的说明方法（三种）： 先说明四边形 ABCD为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD 的任意一个角为直角； 先说明四边形 ABCD为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD 的对角线相等； 说明四边形 ABCD的三个角是直角 . （ 2）菱形的说明方法（三种）： 先说明四边形 ABCD为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD 的任一组邻边相等； 先说明四边形 ABCD为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD 的对角线互相垂直； 说明四边形 ABCD的四条边相等 . （ 3）正方形的说明方法（四种）： 先说明四边形 ABCD为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等； 先说明四边形 ABCD为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD 的对角线互相垂直且相等； 先说明四边形 ABCD为矩形，再说明矩形 ABCD的一组邻边相 等（或对角线互相垂直）； 先说明四边形 ABCD为菱形，再说明菱形 ABCD的一个角为直 角（或对角线相等） . 中考考点精练 考点 1 矩形的性质和判定 1. （ 2016兰州）如图 2-4-22-1，矩形 ABCD的对角线 AC与 BD相 交于点 O， CE BD， DE AC， AD= ， DE=2，则四边形 OCED 的面积 （ ） A 2. （ 2016广东）如图 2-4-22-2，矩形 ABCD中，对角线 AC= ,E为 BC边上一点， BC=3BE，将矩形 ABCD沿 AE所在的直 线折叠， B点恰好落在对角线 AC上的 B 处，则 AB=_. 3. （ 2016茂名）如图 2-4-22-3，已知矩形的对角线 AC与 BD相 交于点 O，若 AO=1，那么 BD=_. 2 4. （ 2015梅州）如图 2-4-22-4，将矩形纸片 ABCD折叠，使点 A 与点 C重合，折痕为 EF，若 AB=4， BC=2，那么线段 EF的长为 _. 5.（ 2016广州）如图 2-4-22-5，矩形 ABCD的对角线 AC， BD相交 于点 O，若 AB=AO，求 ABD的度数 . 解： 四边形 ABCD是矩形， OA=OC， OB=OD， AC=BD. AO=BO. AB=AO， AB=AO=BO. ABO是等边三角形 . ABD=60 . 解题指导： 本考点是广东中考的次高频考点，其题型不固定，难度中等 . 解此类题的关键在于熟练掌握矩形的性质和判定定理（注意： 相关要点请查看“知识要点梳理”部分，并认真掌握） . 考点 2 菱形的性质和判定 1. （ 2015广东）如图 2-4-22-6，菱形 ABCD的边长为 6， ABC= 60 ，则对角线 AC的长是 _. 2. （ 2014珠海）边长为 3 cm的菱形的周长是 （ ） A. 6 cm B. 9 cm C. 12 cm D. 15 cm 6 C 3.（ 2016梅州）如图 2-4-22-7，在平行四边形 ABCD中，以点 A 为圆心， AB长为半径画弧交 AD于点 F，再分别以点 B， F为圆心， 大于 BF长为半径画弧，两弧交于一点 P，连接 AP并延长交 BC 于点 E，连接 EF. （ 1）四边形 ABEF是 _； （ 2） AE， BF相交于点 O，若四边形 ABEF的周长为 40， BF=10， 则 AE的长为 _， ABC=_. 菱形 120 4. （ 2016聊城）如图 2-4-22-8，在 Rt ABC中， B=90 ，点 E是 AC的中点， AC=2AB， BAC的平分线 AD交 BC于点 D，作 AF BC，连接 DE并延长交 AF于点 F，连接 FC. 求证：四边形 ADCF是菱形 . 证明： AF CD， AFE= CDE. 在 AFE和 CDE中， AEF CED. AF=CD. AF BC， 四边形 ADCF是平行四边形 . B=90 ， AC=2AB, ACB=30 . CAB=60 . AD平分 CAB， DAC= DAB=30 = ACD. DA=DC. 四边形 ADCF是菱形 . 解题指导： 本考点是广东中考的次高频考点，其题型不固定，难度中等 . 解此类题的关键在于熟练掌握菱形的性质和判定定理（注意： 相关要点请查看“知识要点梳理”部分，并认真掌握） . 考点 3 正方形的性质和判定 1.（ 2016广东）如图 2-4-22-9，正方形 ABCD的面积为 1，则以 相邻两边中点的连线 EF为边的正方形 EFGH的周长为 （ ） B 2. （ 2015深圳）如图 2-4-22-10，已知正方形 ABCD的边长为 12， BE=EC，将正方形边 CD沿 DE折叠到 DF，延长 EF交 AB于点 G，连接 DG，现在有如下 4个结论： ADG FDG； GB=2AG； GDE BEF； S BEF= .在以上 4个结论中，正确的有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 3. （ 2016广州）如图 2-4-22-11，正方形 ABCD的边长为 1， AC， BD是对角线 . 将 DCB绕着点 D顺时针旋转 45 得到 DGH， HG 交 AB于点 E，连接 DE交 AC于点 F，连接 FG. 则下列结论：四 边形 AEGF是菱形； AED GED； DFG= 112.5 ; BC+FG=1.5. 其中正确的结论有 _（填序号） . 4. （ 2014梅州）如图 2-4-22-12，在 正方形 ABCD中， E是 AB上一点， F是 AD延长线上一点，且 DF=BE. （ 1）求证： CE=CF； （ 2）若点 G在 AD上，且 GCE=45 ， 则 GE=BE+GD成立吗？为什么？ （ 1）证明： 四边形 ABCD为正方形， 在 CBE和 CDF中， CBE CDF（ SAS） . CE=CF. （ 2）解： GE=BE+GD成立 .理由如下 : 由（ 1）得 CBE CDF, BCE= DCF. BCE+ ECD= DCF+ ECD， 即 ECF= BCD=90 . 又 GCE=45 ， GCF= GCE=45 . 在 ECG和 FCG中， ECG FCG（ SAS） . GE=GF. GE=DF+GD=BE+GD. 解题指导： 本考点在 2016、 2015年广东中考中均有出现，是中考的高频 考点，其题型不固定，难度中等 . 解此类题的关键在于熟练掌握正方形的性质和判定定理（注 意：相关要点请查看“知识要点梳理”部分，并认真掌握） . 考点巩固训练 考点 1 矩形的性质和判定 1. 在四边形 ABCD中， AC,BD相交于点 O，在下列各组条件中， 不能判定四边形 ABCD为矩形的是 （ ） A. AB=CD， AD=BC， AC=BD B. AO=CO， BO=DO， A=90 C. A= C， B+ C=180 ， AC BD D. A= B=90 ， AC=BD C 2. 如图 2-4-22-13，在矩形 ABCD中（ AD AB），点 E是 BC上一 点，且 DE=DA， AF DE，垂足为点 F，在下列结论中，不一定 正确的是 （ ） B 3. 如图 2-4-22-14，在 ABCD中， ABD的平分线 BE交 AD于点 E， CDB的平分线 DF交 BC于点 F，连接 BD. （ 1）求证： ABE CDF； （ 2）若 AB=DB，求证：四边形 DFBE是矩形 . 证明：（ 1）在 ABCD中， AB=CD， A= C. AB CD， ABD= CDB. BE平分 ABD， DF平分 CDB， ABE= ABD， CDF= CDB. ABE= CDF. 考点 2 菱形的性质和判定 4. 如图 2-4-22-15，过矩形 ABCD的对角线 AC的中点 O作 EF AC， 交 BC边于点 E，交 AD边于点 F，分别连接 AE， CF.若 AB= ， DCF=30 ，则 EF的长为 （ ） A 5. 如图 2-4-22-16，矩形 ABCD中， O为 AC中点，过点 O的直线分 别与 AB， CD交于点 E， F，连接 BF交 AC于点 M，连接 DE， BO.若 COB=60 ， FO=FC，则下列结论： FB OC， OM=CM; EOB CMB; 四边形 EBFD是菱形 ,其中正确结论的个数有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 B 6. 如图 2-4-22-17，已知 ABC中， ACB=90 ， EC是中线， ACD与 ACE关于直线 AC对称 . （ 1）求证：四边形 ADCE是菱形； （ 2）求证： BC=ED. 证明：（ 1） ACB=90 ， EC是中线， EA=EC. ACD与 ACE关于直线 AC对称 , ACD ACE. EA=EC=DA=DC. 四边形 ADCE是菱形 . （ 2） 四边形 ADCE是菱形， CD AE且 CD=AE. AE=EB， CD EB且 CD=EB. 四边形 BCDE为平行四边形 . BC=ED. 考点 3 正方形的性质和判定 7. 已知四边形 ABCD，则下列说法正确的是 （ ） A. 若 AB CD， AB=CD，则四边形 ABCD是平行四边形 B. 若 AC BD， AC=BD，则四边形 ABCD是矩形 C. 若 AC BD， AB=AD， CB=CD,则四边形 ABCD是菱形 D. 若 AB=BC=CD=AD，则四边形 ABCD是正方形 A 8. 如图 2-4-22-18，正方形 ABCD和正方形 CEFG中，点 D在 CG上， BC=1， CE=3， H是 AF的中点，那么 CH的长是 _. 9. 如图 2-4-22-19所示，在 Rt ABC中， BAC=90 ， AD=CD， 点 E是边 AC的中点，连接 DE， DE的延长线与边 BC相交于点 F， AG BC，交 DE于点 G，连接 AF,CG. （ 1）求证： AF=BF； （ 2）如果 AB=AC，求证：四边形 AFCG是正方形 . 证明：（ 1） AD=CD， 点 E是边 AC的中点， DE AC， 即 DE是线段 AC的垂直平分线 . AF=CF. FAC= ACF. 在 Rt ABC中，由 BAC=90 ， 得 B+ ACB=90 ， FAC+ BAF=90 . BAF= B. AF=BF. （ 2） AG CF， AGE= CFE. 又 点 E是边 AC的中点， AE=CE. 在 AEG和 CEF中， AEG CEF（ AAS） . AG=CF. 又 AG CF， 四边形 AFCG是平行四边形 . AF=CF， 四边形 AFCG是菱形 . 在 Rt ABC中，由 AF=CF， AF=BF，得 BF=CF, 即点 F是边 BC的中点 . 又 AB=AC， AF BC,即 AFC=90 . 四边形 AFCG是正方形 . 10. 如图 2-4-22-20，在正方形 ABCD中， P是对角线 BD上的一 点，点 E在 AD的延长线上，且 PA=PE， PE交 CD于点 F. （ 1）求证： PC=PE； （ 2）求 CPE的度数 . （ 1）证明：在正方形 ABCD中， AB=BC， ABP= CBP=45 . 在 ABP和 CBP中， ABP CBP（ SAS） . PA=PC. PA=PE， PC=PE. （ 2）由（ 1）知， ABP CBP， BAP= BCP. DAP= DCP. PA=PE， DAP= E. DCP= E. CFP= EFD， 180 - PFC- PCF=180 - DFE- E， 即 CPE= EDF=90 .
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