中考数学总复习 第五章 四边形 第20讲 矩形、菱形与正方形课件1.ppt

第 20讲 矩形、菱形与正方形 山西专用 1 矩形、菱形、正方形的性质 矩形 菱形 正方形 边 两组对边 分别 . 两组对边分别 _， 四条边都 _ 两组对边分别 _， 四条边都 _ 角 四个角都是 _ 对角相等 ， 邻角_ 四个角都是 _ 对角 线 互相平分； 相等 互相平分； 互相垂直； 每 条对角线平分一 组对角 互相平分； 互相垂直； 相 等； 每条对角 线平分一组对角 平行且相等 平行 相等 平行 相等 直角 互补 直角 对称性 中心对称； 轴对称且 有 2 条对称轴 中心对称； 轴对称且 有 2 条对称轴 中心对称； 轴 对称且有 4 条对 称轴 面积 S ab(a 、 b 表 示长与宽 ) S 1 2 mn(m 、 n 表示两条对 角线的长 ) S a 2 (a 表示边 长 ) 2.矩形、菱形、正方形的判定 矩形 有一个角是直角的 ； 对角线 _的平行四边形； 有三个角是 _的四边形 菱形 有一组邻边 _的平行四边形； 对角线 的平行四边形； 四条边都相等的四边形 正方形 一组邻边相等的 _； 有一个角是直角的菱形； 对角线 且 _的平行四边形 平行四边形 相等 直角 相等 互相垂直 矩形 互相垂直 相等 3.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 命题点 1 ：矩形的性质与判定 1 ( 2013 山西 17 题 3 分 ) 如图 ， 在矩形纸片 ABCD 中 ， AB 12 ， BC 5 ， 点 E 在 AB 上 ， 将 DAE 沿 DE 折叠 ， 使点 A 落在对角线 BD 上的点 A 处 ， 则 AE 的长为 _ _ . ( 导学号 020523 37 ) 10 3 2 ( 2012 山西 18 题 3 分 ) 如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 矩 形 OABC 的对角线 AC 平行于 x 轴 ， 边 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 30 ， OC 2 ， 则点 B 的坐标是 (2 ， 2 3 ) 命题点 2 ：菱形的性质与判定 1 ( 2012 山西 11 题 2 分 ) 如图 ， 已知菱形 ABC D 的对角线 AC 、 BD 的长分别 为 6 cm 、 8 cm ， AE BC 于点 E ， 则 AE 的长是 ( ) A 5 3 cm B 2 5 cm C . 48 5 cm D . 24 5 cm ( 导学号 0205 2338) D 命题点 3 ：正方形的性质与判定 1 ( 2014 山西 10 题 3 分 ) 如图 ， 点 E 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上 ， 且 CE 2 AE ， 直角三角形 FE G 的两直角边 EF 、 EG 分别交 BC ， DC 于点 M ， N ， 若正方形 AB CD 的边长为 a ， 则重叠部分四边形 EMC N 的面积为 ( ) A . 2 3 a 2 B . 1 4 a 2 C . 5 9 a 2 D . 4 9 a 2 ( 导学号 0205 2339) D 2 ( 2015 山西 16 题 3 分 ) 如图 ， 将正方形纸片 ABCD 沿 MN 折叠 ， 使点 D 落在边 AB 上 ， 对应点为 D ， 点 C 落在 C 处 ， 若 AB 6 ， AD 2 ， 则折痕 MN 的长为 . ( 导学号 020 52340) 2 10 【例 1 】 ( 2016 威海 ) 如图 ， 在矩形 ABCD 中 ， AB 4 ， BC 6 ， 点 E 为 BC 的中点 ， 将 ABE 沿 AE 折叠 ， 使点 B 落在矩形内点 F 处 ， 连接 CF ， 则 CF 的长为 ( ) A . 9 5 B . 12 5 C . 16 5 D . 18 5 【分析】 连接 BF 交 AE 于点 M ， 构造 BCF . 根据已知条件易求得 AE 的长在 Rt ABE 中 ， 利用面积公式求出 BM 的长 ， 由折叠的性质知 EF BE 且 BE EC ， 根据斜边上的中线等于斜边的一半可得 BCF 是直角三角形 ， 最后由勾 股定理即可求解 D 解析：如图 ， 连接 BF 交 AE 于点 M ， 由折叠的性质可知 ABE AFE, B 、 F 关于 AE 对称 ， AE 垂直平分 BF ， 即 BF 2B M ， 由勾股定理得： AE AB 2 BE 2 4 2 3 2 5 ， S ABE 1 2 AB BE 1 2 AE BM ， 即 4 3 5 BM, BM 12 5 ， BF 24 5 ， E 为 BC 的中点 ， 又 EF BE 1 2 BC ， BFC 是直角三角形 ， CF BC 2 BF 2 6 2 （ 24 5 ） 2 18 5 ， 故选 D 【 方法指导 】 与矩形有关的计算： (1)若题目中涉及矩形的折叠 ， 要注意 折叠前后对应线段相等、对应角相等 ， 即被折叠的角折叠之后在任何位置 依旧是直角； (2)因为矩形四个角都是直角 ， 则想到将所求或涉及的线段放在直角三角形 中 ， 常用到勾股定理 ， 特殊角三角函数的计算； (3)常结合矩形对角线相等且互相平分的性质 ， 故可根据矩形对角线的关系 应用全等三角形的判定和性质或等腰三角形的性质进行求解 对应训练 1 如图 ， 四边形 ABCD的对角线互相平分 ， 要使它成为矩形 ， 那么需要添 加的条件是 ( ) A AB CD B AD BC C AB BC D AC BD D 2 ( 2016 苏州改编 ) 矩形 OAB C 在平面直角坐标系中的位置如图所示 ， 点 B 的坐标为 (3 ， 4 ) ， D 是 OA 的中点 ， 点 E 在 AB 上 ， 当 CDE 的周长最小时 ， 点 E 的坐标为 ( 导学号 0205 2341) (3， 43) 【例 2 】 如图 ， 菱形 ABCD 中 ， 点 O 是对角线 AC 的三等分点 ， 连接 OB 、 OD ， 且 OB OC OD. 已知 AC 3 ， 那么菱形的边长为 ( ) A . 3 B 2 C . 5 1 2 D . 3 2 【分析】 由菱形的性质易得 CAB ACB ， 根据已知条件得 OB OC 1 3 AC ， 由等腰三角形的性质得 BOC ABC ， 根据对应边成比例列比例式即可求出线段的长 A 【 方法指导 】 1.菱形判定的一般思路：首先判定四边形是平行四边形 ， 然 后根据平行四边形的邻边相等判定是菱形 ， 这是判定菱形的最基本思路 ， 同时也可以考虑其他判定方法 ， 例如若能判定平行四边形对角线垂直即可 判定为菱形等； 2 应用菱形性质计算的一般思路：菱形四边相等；菱形对角线相互垂直 ：常借助勾股定理和锐角三角函数来求线段的长 ， 有一个角为 60 的菱 形 ， 60 所对的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形也可以根据 菱形既是轴对称图形 ， 又是中心对称图形 ， 结合它的对称性得出的一些结 论 对应训练 1 (2016遵义 )如图 ， 在 ABCD中 ， 对角线 AC与 BD交于点 O， 若增加 一个条件 ， 使 ABCD成为菱形 ， 下列给出的条件不正确的是 ( ) A AB AD B AC BD C AC BD D BAC DAC C 2. 如图 ， 菱形 AB CD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， AC 8 ， BD 6 ， 过点 O 作 OH AB ， 垂足为 H ， 则点 O 到边 AB 的距离 OH 等于 ( ) A 2 B . 9 4 C . 7 3 D . 12 5 ( 导学号 0205 2342) D 【 例 3】 (2016毕节 )如图 ， 正方形 ABCD的边长为 9， 将正方形折叠 ， 使 顶点 D落在 BC边上的点 E处 ， 折痕为 GH.若 BE EC 2 1， 则线段 CH的长 是 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 【 分析 】 设 CH为 x， 则可得 DH、 EH的长由正方形边长为 9.BE EC 2 1可得 CE的长在 Rt ECH中根据勾股定理列方程求解即可 B 对应训练 1 如图 ， 正方形 ABC D 和正方形 CE FG 中 ， 点 D 在 CG 上 ， BC 1 ， CE 3 ， H 是 AF 的中点 ， 那么 CH 的长是 _ _ . ( 导学号 020523 43 ) 5 2 如图为正三角形 ABC 与正方形 DEFG 的重叠情形 ， 其中 D 、 E 两点分别 在 AB 、 BC 上 ， 且 BD BE. 若 AC 18 ， GF 6 ， 则 F 点到 AC 的距离为 ( 导学号 0205 2344) 6 3 6