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第二部分 空间与图形 课时 31 锐角三角函数及其应用 第六章 图形与变换、坐标 知识要点梳理 1. 锐角三角函数的定义：如图 2-6-31-1，在 Rt ABC中， C 90 ，则有 （ 1）正弦： sinA _ _. （ 2）余弦： cosA _ _. （ 3）正切： tanA _ _. 2. 特殊角的三角函数值： 3. 解直角三角形的关系公式 （如图 2-6-31-2）： （ 1）三边关系： _. （ 2）角关系： A+ B=_. （ 3）边角关系： sinA=_， sinB=_， cosA=_, cosB=_， tanA=_， tanB=_. a2+b2=c2 90 4. 解直角三角形的应用的有关概念 : （ 1）如图 2-6-31-3,仰角是 _，俯角是 _. （ 2）如图 2-6-31-4,方向角： OA： _， OB： _， OC： _， OD： _. BOA AOC 北偏东 60 东南方向 正东 南偏西 20 （ 3）如图 2-6-31-5,AB的坡度 iAB=_， 叫 _， tan =iAB=_. 坡角 重要方法与思路 解直角三角形的应用问题的有关要点 : （ 1）应用范围： 通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问题， 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，解此类问题 关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的 长度，计算出所要求的物体的高度或长度 . （ 2）一般步骤： 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角 三角形，转化为解直角三角形的问题） ; 根据题目的已知条件选用适当的锐角三角函数或边角关系 去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问 题的答案 . 中考考点精练 考点 1 锐角三角函数、解直角三角形 1. （ 2016沈阳）如图 2-6-31-6，在 Rt ABC中， C=90 ， B=30 ， AB=8，则 BC的长是 （ ） D 2. （ 2014汕尾）在 Rt ABC中， C=90 ，若 sinA= ，则 cosB的值是 （ ） 3. （ 2014广州）如图 2-6-31-7，在边长为 1 的小正方形组成的网格中， ABC的三个顶 点均在格点上，则 tanA等于 （ ） B D 4. （ 2015广州）如图 2-6-31-8， ABC中， DE是 BC的垂直平 分线， DE交 AC于点 E，连接 BE.若 BE=9， BC=12，则 cosC=_. 解题指导： 本考点的题型一般为选择题或填空题，难度较低 . 解此类题的关键在于画出直角三角形的图形，利用锐角三角 函数的定义进行计算，要熟练掌握锐角三角函数包括正弦、 余弦、正切等概念的定义和计算公式（注意：相关要点请查 看“知识要点梳理”部分，并认真掌握） . 考点 2 解直角三角形的应用 1.（ 2014广东）如图 2-6-31-9，某数学兴趣小组想测量一棵树 CD的高度，他们先在点 A处测得树顶 C的仰角为 30 ，然后沿 AD 方向前行 10 m，到达 B点，在 B处测得树顶 C的仰角高度为 60 （ A， B， D三点在同一直 线上） .请你根据他们的测量 数据计算这棵树 CD的高度 （结果精确到 0.1 m） . （参考数据： 1.414， 1.732） 解： CBD= A+ ACB， ACB= CBD- A=60 -30 =30 . A= ACB. BC=AB=10（ m） . 在 Rt BCD中， 答：这棵树 CD的高度为 8.7米 . 2. （ 2014珠海）如图 2-6-31-10，一艘渔船位于小岛 M的北偏 东 45 方向、距离小岛 180海里的 A处，渔船从 A处沿正南方向 航行一段距离后，到达位于小岛南偏东 60 方向的 B处 . （ 1）求渔船从 A到 B的航行过程中与小岛 M之间的最小距离 （结果用根号表示）； （ 2）若渔船以 20海里 /小时的速度从 B沿 BM方向行驶，求渔船 从 B到达小岛 M的航行时间（结果精确到 0.1 小时） .（参考数据： ） 解：（ 1）如答图 2-6-31-1， 过点 M作 MD AB于点 D. AME=45 ， AMD= MAD=45 . AM=180海里， MD=AMcos45 = （海里） . 答：渔船从 A到 B的航行过程中与小岛 M间 的最小距离是 海里 . （ 2）在 Rt DMB中， BMF=60 ， DMB=30 . MD= 海里， 答：渔船从 B到达小岛 M的航行时间约为 7.4小时 . 解题指导： 本考点的题型一般为解答题，难度中等 . 解此类题的关键在于借助实际问题中的俯角、仰角或方向角 等构造直角三角形并解直角三角形 . 熟记以下解直角三角形 的应用问题的一般过程： （ 1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直 角三角形转化为解直角三角形问题）； （ 2）根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去 解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题 的答案 . 考点巩固训练 考点 1 锐角三角函数、解直角三角形 1. 在 Rt ABC中， C=90 ， AB=13， AC=12，则 cosA=（ ） 2. 如图 2-6-31-11，在网格中，小正方形的边 长均为 1，点 A， B， C都在格点上，则 ABC 的正切值是 （ ） C D 3. 如图 2-6-31-13，在平面直角坐标系中，直线 OA过点（ 2， 1），则 sin 的值是 （ ） B 4. 在 Rt ABC中， C=90 ，如果 AC=4， sinB= ，那么 AB=_. 5. 如图 2-6-31-13， ABC中， ACB=90 ， sinA= ， BC=8， D是 AB的中点，过点 B作直线 CD的垂线，垂足为点 E. （ 1）求线段 CD的长； （ 2）求 cos DBE的值 . 6 考点 2 解直角三角形的应用 6. 如图 2-6-31-14，小山岗的斜坡 AC的坡度是 tan = ，在 与山脚 C距离 200 m的 D处，测得山顶 A的仰角为 26.6 ，求小山 岗的高 AB.（结果取整数，参考数据： sin26.6 =0.45， cos26.6 =0.89， tan26.6 =0.50） 解： 在直角三角形 ABC中， 在直角三角形 ADB中， BD-BC=CD=200, 解得 AB=300（ m） . 答：小山岗的高 AB为 300米 . 7. 如图 2-6-31-15，甲、乙两条轮船同时从港口 A出发，甲轮 船以每小时 30海里的速度沿着北偏东 60 的方向航行，乙轮船 以每小时 15海里的速度沿着正东方向行进， 1小时后，甲船接 到命令要与乙船会和，于是甲船改变了行进的方向，沿着东南 方向航行，结果在小岛 C处与乙船相遇 .假设乙船的速度和航向 保持不变，求港口 A与小岛 C之间的距离 . 解：如答图 2-6-31-2. 由题意，得 1=60 ， 2=30 ， 4=45 ， AB=30海里 . 过点 B作 BD AC于点 D， 则 1=3=60 . 在 Rt BCD中， 4=45 ， CD=BD. 在 Rt ABD中， 2=30 ， AB=30海里， 8. 某国发生 8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区 参与抢险工作，如图 2-6-31-16，某探测对在地面 A， B两处均 探测出建筑物下方 C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角 分别是 25 和 60 ，且 AB=4 m，求该生命迹象所在位置 C的深 度 . （结果精确到 1 m，参考数据： sin25 0.4 ， cos25 0.9， tan25 0.5 ， 1.7） 解：如答图 2-6-31-3，作 CD AB交 AB的延长线于点 D. 设 CD为 x m. 在 Rt ADC中， DAC=25 ， 在 Rt BDC中， DBC=60 ，而 AB=4 m, 解得 x3 （ m） . 答：生命迹象所在位置 C的深度约为 3 m.
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