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第二章 方程 (组 )与不等式 (组 ) 综 合测试 (考试时间： 60分钟 满分： 100分 ) 一、选择题 ( 每小题 3 分，共 30 分 ) 1 下列说法不一定成立的是 ( C ) A 若 a b ，则 a c b c B 若 a c b c ，则 a b C 若 a b ，则 ac 2 bc 2 D 若 ac 2 bc 2 ，则 a b 2 一元二次方程 x 2 4 x 12 的根是 ( B ) A x 1 2 ， x 2 6 B x 1 2 ， x 2 6 C x 1 2 ， x 2 6 D x 1 2 ， x 2 6 3 不等式组 x 1 ， x 1 2 x 1 的解在数轴上表示为 ( ) A B C D 【解析】 不等式组 x 1 ， x 1 2 x 1 的解为 3 x 1. 在数 轴上表示 x 3 时，从表示 3 的点向右画，且用空心圆 圈；表示 x 1 时，从表示 1 的点向左画，且用实心圆点故 选 A 【答案】 A 4 已知不等式组 x 2 ， x a 的解中共有 5 个整数，则 a 的取值范围为 ( A ) A 7 a 8 B 6 a 7 C 7 a 8 D 7 a 8 【解析】 根据题意得出原不等式组的解为 2 x a ， 原不等式组的整数解是 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， a 的取值范围 为 7 a 8. 故选 A 5 ( 201 6 杭州文澜中学检测 ) 若 a 满足不等式组 2 a 1 1 ， 1 a 2 2 ， 则关于 x 的方程 ( a 2) x 2 (2 a 1) x a 1 2 0 的根的情况是 ( ) A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D 以上三种情况都有可能 【解析】 解得不等式组的解为 a 3. a 2 0. 故方 程 ( a 2) x 2 (2 a 1) x a 1 2 0 为一元二次方程， b 2 4 ac (2 a 1 ) 2 4( a 2) a 1 2 2 a 5 ， a 3 ， 2 a 5 1 ，即 b 2 4 ac 0 ， 方程没有实数根故选 C 【答案】 C 6 某运行程序如图所示，规定：从 “ 输入一个值 x ” 到 “ 结果是否 95” 为一次程序操作，如果程序操作进行了三 次才停止，那么 x 的取值范围是 ( ) A x 11 B 11 x 23 C 1 1 x 23 D x 23 【解析】 由题意得， 2 x 1 95 ， 2 ( 2 x 1) 1 95 ， 2 2 ( 2 x 1) 1 1 95 解不等式 得 x 4 7 , 解不等式 得 x 2 3 , 解不等式 得 x 1 1 , 所以 x 的取值范围是 11 x 23. 故选 C 【答案】 C 7 某加工车间共有 26 名工人，现要加工 2 10 0 个 A 零件， 1 20 0 个 B 零件，已知每人每天加工 A 零件 30 个或 B 零件 20 个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加 工任务 ( 每人只能加工一种零件 ) ？设安排 x 人加工 A 零件， 由题意列方程得 ( ) A 2 10 0 30 x 1 20 0 20 （ 26 x ） B 2 10 0 x 1 20 0 26 x C 2 10 0 20 x 1 20 0 30 （ 26 x ） D 2 10 0 x 30 1 20 0 26 x 20 【解析】 由题意，得有 ( 26 x ) 人加工 B 零件加工 A 零件用时 2 10 0 30 x 天，加工 B 零件用时 1 20 0 20 （ 26 x ） 天同时 完成两种零件的加工任务，即用时相等所以 2 10 0 30 x 1 20 0 20 （ 26 x ） . 故选 A 【答案】 A 8 若 x 0 是方程 ax 2 2 x c 0( a 0) 的一个根，设 M 1 ac ， N ( ax 0 1) 2 ，则 M 与 N 的大小关系正确的是 ( B ) A M N B M N C M N D 不确定 【解析】 x 0 是方程 ax 2 2 x c 0( a 0) 的一个根， ax 2 0 2 x 0 c 0 ，即 ax 2 0 2 x 0 c , 则 N M ( ax 0 1) 2 (1 ac ) a 2 x 2 0 2 ax 0 1 1 ac a ( ax 2 0 2 x 0 ) ac ac ac 0 ， M N .故选 B 9 我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题， 大意是：有 100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知 1 匹大马能 拉 3 片瓦， 3 匹小马能拉 1 片瓦，问有多少匹大马、多少 匹小马？若设大马有 x 匹，小马有 y 匹，那么可列方程组 为 ( ) A x y 100 ， 3 x 3 y 100 B x y 100 ， x 3 y 100 C x y 100 ， 3 x 1 3 y 100 D x y 100 ， 3 x y 100 【解析】 根据 100 匹马恰好拉了 100 片瓦，可列方程 为 x y 100 .又根据 1 匹大马能拉 3 片瓦， 3 匹小马能拉 1 片瓦，可列方程为 3 x 1 3 y 100. 所以可列方程组为 x y 100 ， 3 x 1 3 y 100. 故选 C 【答案】 C 10 对于两个不相等的实数 a ， b ，我们规定符号 M ax a ， b 表示 a ， b 中的较大值，如 M ax 2 ， 4 4 ，按照这个规 定，方程 M ax x ， x 2 x 1 x 的解为 ( ) A x 1 2 B x 2 2 C x 1 2 或 1 2 D x 1 2 或 1 【解析】 当 x x ，即 x 0 时，所求方程变形为 x 2 x 1 x ，即 x 2 2 x 1 0 ，解得 x 1 ；当 x x ， 即 x 0 时，所求方程变形为 x 2 x 1 x ，即 x 2 2 x 1 0 ， 解得 x 1 2 或 x 1 2 ( 舍去 ) 检验：当 x 1 或 x 1 2 时， x 0 ， x 1 与 x 1 2 都为分式方程的解故选 D 【答案】 D 二、填空题 ( 每小题 4 分，共 20 分 ) 11 已知 x 2 是关于 x 的方程 a ( x 1) 1 2 a x 的解， 则 a 的值是 4 5 12 已知一元二次方程 x 2 3 x 4 0 的两根为 x 1 ， x 2 ， 则 x 2 1 x 1 x 2 x 2 2 13 【解析】 根据题意得 x 1 x 2 3 ， x 1 x 2 4 , 所以 x 2 1 x 1 x 2 x 2 2 ( x 1 x 2 ) 2 x 1 x 2 ( 3) 2 ( 4) 13 . 13 已知关于 x 的分式方程 k x 1 x k x 1 1 的解为负 数，则 k 的取值范围是 k 1 2 且 k 0 【解析】 去分母，得 k ( x 1) ( x k )( x 1) ( x 1 ) ( x 1) 整理，得 (2 k 1) x 1. 由于关于 x 的分式方程 k x 1 x k x 1 1 的解为负数，所以 2 k 1 0 且 x 1 , 即 2 k 1 0 且 2 k 1 1 ，解得 k 1 2 且 k 0. 14 ( 201 6 台州初级中学检测 ) 已知实数 x ， y 满足 2 x 3 y 4 ，并且 x 1 ， y 2 ，现有 k x y ，则 k 的取值范 围是 1 k 3 【解析】 解方程组 2 x 3 y 4 ， x y k ， 得 x 3 k 4 ， y 2 k 4. x 1 ， y 2 ， 3 k 4 1 ， 2 k 4 2. 解得 1 k 3. k 的取值范 围为 1 k 3. 15 关于 m 的一元二次方程 7 nm 2 n 2 m 2 0 的一 个根为 2 ，则 n 2 n 2 26 【解析】 把 m 2 代入方程，得 4 7 n 2 n 2 2 0 ， 方 程两边同时除以 2 n ，得 n n 1 2 7 0 ，即 n n 1 2 7 ，两边平方，得 n 2 n 2 26. 三、解答题 ( 共 50 分 ) 16 ( 1 ) ( 5 分 ) 解方程： 3 x 2 9 x x 3 1. 解： 去分母，得 3 x ( x 3) x 2 9. 去括号，得 3 x 2 3 x x 2 9. 移项、合并同类项，得 3 x 12. 系数化为 1 ， 得 x 4. 检验：当 x 4 时， x 2 9 0. 原分式方程的 解是 x 4. ( 2 ) ( 6 分 ) 解不等式组： 2 ( )x 1 1 ， 2 x 3 1 ， 并把它的 解在数轴上表示出来 解： 由 得， x 1 2 . 由 得， x 1. 不等式组的解是 1 x 1 2 . 把不等式组的解表示在数轴上如图所示 17 (7 分 ) ( 2 0 1 6 温州外国语中学调研 ) 若关于 x ， y 的 二元一次方程组 2 x y 3 m 2 ， x 2 y 4 的解满足 x y 3 2 ，求出满足条件的 m 的所有正整数值 解： 2 x y 3 m 2 ， x 2 y 4 ， ，得 3( x y ) 3 m 6 ， x y m 2. x y 3 2 ， m 2 3 2 ， m 7 2 . m 的所有正整数值为 1 ， 2 或 3. 18 ( 10 分 ) 已知关于 x 的一 元二次方程 ( x 3 ) ( x 2) | |m . ( 1) 求证：对于任意实数 m ，方程总有两个不相等的实 数根； 证明： 原方程可化为 x 2 5 x 6 | |m 0 ， b 2 4 ac 25 24 4 | |m 1 4 | |m ， | |m 0 ， 1 4 | |m 0 ，即 b 2 4 ac 0 ， 对于任意实数 m ，方程总有两个不相等的 实数根 ( 2 ) 若方程的一个根是 1 ，求 m 的值及方程的另一根 解： 当 x 1 时，代入原方程，得 | |m 2 ， m 2. 当 | |m 2 时，原方程可化为 x 2 5 x 4 0 ，解得 x 1 1 ， x 2 4 ， 方程的另一个根是 4. 19 ( 10 分 ) 某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进 行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如下表： 蔬菜品种 西红柿 青 椒 西兰花 豆 角 批发价 ( 元 / k g) 3. 6 5. 4 8 4. 8 零售价 ( 元 / k g) 5. 4 8. 4 14 7. 6 请解答下列问题： ( 1) 第一天，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共 300 k g ，用去了 1 520 元钱，这两种蔬菜当天全部售完后一 共能赚多少元钱？ 解： 设批发西红柿 x k g ，西兰花 y k g ，由题意，得 x y 300 ， 3 . 6 x 8 y 1 5 2 0 ， 解得 x 200 ， y 100. 200 ( 5 . 4 3 . 6 ) 100 ( 1 4 8) 960( 元 ) 答：这两种蔬菜当天全部售完后一共能赚 9 6 0 元 ( 2) 第二天，该经营户用 1 52 0 元钱仍然批发西红柿和 西兰花，要想当天全部售完后所赚钱数不少于 1 05 0 元， 则该经营户最多能批发西红柿多少千克？ 解： 设批发西红柿 x k g ，由题意，得 ( )5. 4 3 . 6 x ( )14 8 1 52 0 3 . 6 x 8 1 05 0 ，解得 x 100. 答：该经营户最多能批发西红柿 10 0 k g . 20 ( 12 分 ) 某蛋糕产销公司 A 品牌产销线， 2015 年的 销售量为 9. 5 万份，平均每份获利 1 . 9 元，预计以后四年每 年销售量按 5 000 份递减，平均每份获利按一定百分数逐 年递减；受供给侧改革的启发，公司早在 2014 年底就投入 资金 10. 89 万元，新增一条 B 品牌产销线，以满足市场对 蛋糕的多元需求， B 品牌产销线 20 15 年的销售量为 1 . 8 万 份，平均每份获利 3 元，预计以后四年销售量按相同的份 数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的 2 倍逐年递 增；这样， 2016 年， A 、 B 两品牌产销线销售量总和将达 到 1 1 . 4 万份， B 品牌产销线 2017 年销售获利恰好等于当初 的投入资金数 ( 1 ) 求 A 品牌产销线 2 0 1 8 年的销售量； 解： 9 . 5 ( 2 0 1 8 2 0 1 5 ) 0 . 5 8( 万份 ) 答： A 品牌产销线 2 0 1 8 年的销售量为 8 万份 ( 2) 求 B 品牌产销线 2016 年平均每份获利增长的百分 数 解： 设 A 品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为 x ， B 品牌产销线的年销售量递增相同的份数为 k 万份根 据题意得 （ 9. 5 0 . 5 ）（ 1. 8 k ） 1 1. 4 ， （ 1. 8 2 k ）（ 1 2 x ） 2 10 . 89 ， 解得 k 0. 6 ， x 45 % 或 k 0. 6 ， x 145 % ( 不合题意，舍去 ) ， 2 x 90 % . 答： B 品牌产销线 2016 年平均每份获利增长的百分数 为 90 %.
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