中考数学总复习 第三章 函数 第11讲 二次函数的综合应用课件.ppt

数学 陕西专用 第 11讲 二次函数的综合应用 1 (导学号 30042032)(2016陕西 )如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 点 O 为坐标原点 ， 抛物线 y ax2 bx 5经过点 M(1， 3)和 N(3， 5) (1)试判断该抛物线与 x轴交点的情况； (2)平移这条抛物线 ， 使平移后的抛物线经过点 A( 2， 0)， 且与 y轴交 于点 B， 同时满足以 A， O， B为顶点的三角形是等腰直角三角形 ， 请你 写出平移过程 ， 并说明理由 解： (1) 由抛物线过 M ， N 两点，把 M ， N 坐标代入抛物线解析式可 得 a b 5 3 ， 9a 3b 5 5 ， 解得 a 1 ， b 3. 抛物线解析式为 y x 2 3x 5 ，令 y 0 可得 x 2 3x 5 0 ，该方程的判别式为 ( 3) 2 4 1 5 9 20 11 0 ， 抛物线与 x 轴没有交点 (2) A OB 是等腰直角三角形， A( 2 ， 0) ，点 B 在 y 轴上， B 点坐标为 (0 ， 2) 或 (0 ， 2) ，可设平移后 的抛物线解析式为 y x 2 mx n ， 当抛物线过点 A( 2 ， 0) ， B ( 0 ， 2) 时，代入可得 n 2 ， 4 2m n 0 ， 解得 m 3 ， n 2. 平移后的抛物线为 y x 2 3x 2 ， 该抛物线的顶点坐标为 ( 3 2 ， 1 4 ) ，而原抛物线顶点坐标为 ( 3 2 ， 11 4 ) ， 将原抛物线先向左平移 3 个单 位，再向下平移 3 个单位即可获得符合条件的抛物线； 当抛物线过 A( 2 ， 0) ， B ( 0 ， 2) 时，代入可得 n 2 ， 4 2m n 0 ， 解得 m 1 ， n 2. 平移后 的抛物线为 y x 2 x 2 ， 该抛物线的顶点坐标为 ( 1 2 ， 9 4 ) ，而原抛 物线顶点坐标为 ( 3 2 ， 11 4 ) ， 将原抛物线先向左平移 2 个单位，再向下平 移 5 个单位即可获得符 合条件的抛物线 2 (导学号 30042033)(2013陕西 )在平面直角坐标系中 ， 一个二次函 数的图象经过点 A(1， 0)， B(3， 0)两点 (1)写出这个二次函数图象的对称轴； (2)设这个二次函数图象的顶点为 D， 与 y轴交于点 C， 它的对称轴与 x 轴交于点 E， 连接 AC、 DE和 DB， 当 AOC与 DEB相似时 ， 求这个二 次函数的表达式 提示：如果一个二次函数的图象与 x轴的交点为 A(x1， 0)， B(x2， 0)， 那么它的表达式可表示为 y a(x x1)(x x2) 解： ( 1) 二次函数的图象经过点 A(1 ， 0) ， B( 3 ， 0) 两点， 二次函 数图象的对称轴为直线 x 2 ( 2) 设二次函数的表达式为 y a( x 1)(x 3)(a 0) ，当 x 0 时， y 3a ，当 x 2 时， y a ， 点 C 坐标为 (0 ， 3a ) ， 顶点 D 坐标为 (2 ， a) ， OC |3a| ，又 A (1 ， 0) ， E(2 ， 0) ， AO 1 ， EB 1 ， DE | a| |a |，当 A OC 与 DEB 相似时， 假设 O CA EBD ，可得 AO DE OC EB ，即 1 |a | |3a| 1 ， a 3 3 或 a 3 3 ， 假设 OCA EDB ，可得 AO BE OC ED ， 1 1 |3a| |a | ，此方程无解，综上所述，所得二 次函数的表达式为： y 3 3 x 2 4 3 3 x 3 或 y 3 3 x 2 4 3 3 x 3 3.(导学号 30042034)(2014陕西 )已知抛物线 C： y x2 bx c经过 A( 3， 0)和 B(0， 3)两点， 将这条抛物线的顶点记为 M， 它的对称轴与 x 轴的交点记为 N. (1)求抛物线 C的表达式； (2)求点 M的坐标； (3)将抛物线 C平移到抛物线 C， 抛物线 C的顶点记为 M， 它的对称轴 与 x轴的交点记为 N.如果以点 M， N， M， N为顶点 的四边形是面积为 16 的平行四边形， 那么应将抛物线 C怎样平移？为什么？ 解： ( 1) 抛物线 y x 2 bx c 经过 A( 3 ， 0) 和 B (0 ， 3) 两点， 9 3b c 0 ， c 3 ， 解得 b 2 ， c 3 ， 故此抛物线的解析式为 y x 2 2x 3 (2) 由 ( 1) 知抛物线的解析式为 y x 2 2x 3 ， 当 x b 2a 2 2 （ 1 ） 1 时， y 4 ， M( 1 ， 4) (3)由题意， 以点 M， N， M， N为顶点的平行四边形的边 MN的对边只 能是 MN， MN MN且 MN MN， MNNN 16， NN 4. 当 M， N， M， N为顶点的平行四边形是 MNNM时，将抛物线 C向左或向 右平移 4个单位可得符合条件的抛物线 C M， N， M， N为顶点的 平行四边形是 MNMN时， 将抛物线 C先向左或向右平移 4个单位， 再向 下平移 8个单位， 可得符合条件的抛物线 C， 上述的四种平移 ， 均可得 到符合条件的抛物线 C 【 例 1】 (2016葫芦岛 )某文具店购进一批纪念册 ， 每本进价为 20元 ， 出于营销考虑 ， 要求每本纪念册的售价不低于 20元且不高于 28元 ， 在 销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y(本 )与每本纪念册的售价 x(元 )之 间满足一次函数关系：当销售单价为 22元时 ， 销售量为 36本；当销售单 价为 24元时 ， 销售量为 32本 (1)请直接写出 y与 x的函数关系式； (2)当文具店每周销售这种纪念册获得 150元的利润时 ， 每本纪念册的 销售单价是多少元 ？ (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w元 ， 将该纪念册 销售单价定为多少元时 ， 才能使文具店销售该纪念册所获利润最大 ？ 最 大利润是多少 ？ 解： (1 ) 设 y kx b ，把 ( 22 ， 36) 与 (2 4 ， 32) 代入得 22k b 36 ， 24k b 32 ， 解 得 k 2 ， b 80. 则 y 2x 80( 20 x28) ( 2) 设当文具店每周销售这种纪念 册获得 150 元的利润时，每本纪念册的销售单价是 x 元，根据题意得 (x 20)y 150 ，则 (x 20 )( 2x 80) 150 ，整理得 x 2 60 x 875 0 ， (x 25) (x 35) 0 ，解得 x 1 25 ， x 2 35( 不合题意舍去 ) ，答：每本纪念册 的销售单价是 25 元 ( 3) 由题意可得 w (x 20 )( 2x 80) 2x 2 120 x 1600 2( x 30) 2 200 ，此时当 x 30 时， w 最大，又 售价不低于 20 元且不高于 28 元， x 30 时， y 随 x 的增大而增大，即当 x 28 时， w 最大 2(28 30) 2 200 192( 元 ) ，答：该纪念册销售单价定为 28 元时， 才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是 192 元 对应训练 1 (导学号 30042035)(2016内江 )某中学课外兴趣活动小组准备围建 一个矩形苗圃园， 其中一边靠墙 ， 另外三边用长为 30米的篱笆围成， 已 知墙长为 18米 (如图所示 )， 设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x米 (1)若苗圃园的面积为 72平方米， 求 x； (2)若平行于墙的一边长不小于 8米， 这个苗圃园的面积有最大值和最 小值吗？如果有 ， 求出最大值和最小值；如果没有 ， 请说明理由； (3)当这个苗圃园的面积不小于 100平方米时， 直接写出 x的取值范围 解： ( 1) 根据题意得 ( 30 2x ) x 72 ， 解得 x 1 3 ， x 2 12 ， 30 2x 18 ， x 12 ( 2) 设苗圃园的面积为 y ， y x(3 0 2x) 2x 2 30 x ， a 2 0 ， 苗圃园的面积 y 有最大值 ， 当 x 15 2 时 ， 即平行于墙的 一边长 15 8 米 ， y 最大 1 12.5 平方米 ， 6 x 11 ， 当 x 11 时 ， y 最小 88 平方米 (3) 由题意得 2x 2 30 x 100 ， 30 2x 18 ， 解得 6 x 10 2.(导学号 30042036)(2016潍坊 )旅游公司在景区内配置了 50辆观光 车供游客租赁使用 ， 假定每辆观光车一天内最多只能出租一次 ， 且每辆 车的日租金 x(元 )是 5的倍数 发现每天的营运规律如下：当 x不超过 100 元时 ， 观光车能全部租出；当 x超过 100元时 ， 每辆车的日租金每增加 5元 ， 租出去的观光车就会减少 1辆 已知所有观光车每天的管理费是 1100元 (1)优惠活动期间 ， 为使观光车全部租出且每天的净收入为正 ， 则每辆 车的日租金至少应为多少元 ？ (注：净收入租车收入管理费 ) (2)当每辆车的日租金为多少元时 ， 每天的净收入最多 ？ 解： (1) 由题意知 ， 若观光车能全部租出 ， 则 0 x 100 ， 由 50 x 1 10 0 0 ， 解得 x 22 ， 又 x 是 5 的倍数 ， 每辆车的日租金至少应为 25 元 ( 2) 设每天的净收入为 y 元 ， 当 0 x 100 时 ， y 1 50 x 1 100 ， y 1 随 x 的增大而增大 ， 当 x 100 时 ， y 1 的最大值为 50 100 1 10 0 3900 ， 当 x 100 时 ， y 2 ( 50 x 100 5 )x 1 100 1 5 x 2 70 x 1 100 1 5 (x 175) 2 50 25 ， 当 x 175 时 ， y 2 的最大值为 5025 ， 5025 39 0 0 ， 故当每 辆车的日租金为 175 元时 ， 每天的净收入最多是 5025 元 【 例 2】 (2015陕西 )在平面直角坐标系中 ， 抛物线 y x2 5x 4的顶 点为 M， 与 x轴交于 A， B两点 ， 与 y轴交于 C点 (1)求点 A， B， C的坐标； (2)求抛物线 y x2 5x 4关于坐标原点 O对称的抛物线的函数表达式 ； (3)设 (2)中所求抛物线的顶点为 M， 与 x轴交于 A， B两点 ， 与 y轴交于 C点 ， 在以 A， B， C， M， A， B， C， M这八个点中的四个点为顶点 的平行四边形中 ， 求其中一个不是菱形的平行四边形的面积 解： ( 1) 令 y 0 ，得 x 2 5x 4 0 ， x 1 4 ， x 2 1 ，令 x 0 ， 得 y 4 ， A( 4 ， 0) ， B( 1 ， 0) ， C ( 0 ， 4) ( 2) A ， B ， C 关于坐标 原点 O 对称后的点为 (4 ， 0) ， (1 ， 0) ， (0 ， 4) ， 设所求抛物线的函数 表达式为 y ax 2 bx 4 ，将 (4 ， 0) ， (1 ， 0) 代入上式，得 16a 4b 4 0 ， a b 4 0 ， 解得 a 1 ， b 5 ， y x 2 5x 4 (3 ) 取四点 A ， M ， A ， M ，连接 AM ， MA ， A M ， MA ， MM ， AA ，由中心对称性可知， MM ， A A 过点 O ， OA O A ， OM OM ， 四边形 AMA M 为平行四边形，又知 AA 与 MM 不垂直， 平行四边形 AMA M 不是菱形，过点 M 作 MD x 轴于 点 D ， y x 2 5x 4 (x 5 2 ) 2 9 4 ， M( 5 2 ， 9 4 ) ，又 A( 4 ， 0) ， A(4 ， 0) ， A A 8 ， MD 9 4 ， S 平行四边形 AMA M 2S AMA 2 1 2 8 9 4 18 【 点评 】 本题考查了二次函数的性质与图象 、 中心对称 、 平行四边形 的判定 、 菱形的判定 ， 综合性较强 ， 解决本题的关键是根据中心对称 ， 求出抛物线的解析式 ， 在 (3)中注意菱形的判定与数形结合思想的应用 对应训练 3 ( 导学号 300420 37 )( 201 1 陕西 ) 如图，二次函数 y 2 3 x 2 1 3 x 的图 象经过 AOB 的三个顶点，其中 A( 1 ， m) ， B(n ， n) (1) 求 A ， B 的坐标； (2) 在坐标平面上找点 C ，使以 A ， O ， B ， C 为顶点的四边形是平行 四边形 这样的点 C 有几个？ 能否将抛物线 y 2 3 x 2 1 3 x 平移后经过 A ， C 两点？若能，求出平 移后经过 A ， C 两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由 解： ( 1) y 2 3 x 2 1 3 x 的图象过点 A( 1 ， m) ， m 2 3 ( 1) 2 1 3 ( 1) ， 即 m 1 ，同理： n 2 3 n 2 1 3 n ，解得 n 0( 舍 ) 或 n 2 ， A( 1 ， 1) ， B(2 ， 2) (2) 由题意可知，这样的 C 点有 3 个如图，当 OA 是对角线时， C 是过 O 平行于 AB 的直线，以及过 A 平行于 OB 的直线的交点，设直 线 OB 的解析式是 y kx ，则 2 2k ，解得 k 1 ，设直线 AC 的解析式是 y x c ，则 1 c 1 ，解得 c 2 ，直线的解析式是 y x 2 ，设直线 AB 的解析式是 y mx n ，则 m n 1 ， 2m n 2 ， 解得 m 1 3 ， n 4 3 ， 即直线的解析 式是 y 1 3 x 4 3 ，则直线 OC 的解析式是 y 1 3 x ， 解方程组 y x 2 ， y 1 3 x ， 解得 x 3 ， y 1 ， 则 C 的坐标是 ( 3 ， 1) ；同理， 当 AB 是对角线时， C 的坐标是 (1 ， 3) ； OB 是对角线时， C 的坐标是 (3 ， 1) 故： C 1 ( 3 ， 1) ， C 2 (1 ， 3) ， C 3 (3 ， 1) 能，当平移后的抛物线经 过 A ， C 1 两个点时，将 B 点向左平移 3 个单位再向下平移 1 个单位，使点 B 移到 A 点，这时点 O 随着原抛物线平移到 C 1 点， 经过 A ， C 1 两点的 抛 物线的解析式为 y 1 2 3 (x 3) 2 1 3 (x 3) ，即 y 2 3 x 2 11 3 x 4. 附：另两条平移后抛物线的解析式分别为： i 经过 A ， C 2 两点的抛物 线的解析式为 y 2 3 x 2 x 4 3 ii 设经过 A ， C 3 两点的抛物线的解析式为 y 2 3 x 2 bx c ， OC 3 可看作线段 AB 向右平移 1 个单位再向下平移 1 个单 位得到，则 C 3 (3 ， 1) ，依题意，得 1 2 3 （ 1 ） 2 b c ， 1 2 3 3 2 3b c ， 解得 b 4 3 ， c 1 ， 故经过 A ， C 3 两点的抛物线的解析式为 y 2 3 x 2 4 3 x 1