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题型三 规律探索题 典例精讲 类型一 数式规律 例 1（ 2015省卷 15， 4分 ）观察下列一组数： ， ， ， ， ， ，根据该组数的排列规律，可推出第 10个数是 _. 1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 【 思维教练 】 观察式子，分子为连续的正整数，且分子与分数 序号相同，分母为从 3开始的连续的奇数，且分母比分子的 2倍 多 1，由此可推出第 10个数 . 【 解析 】 观察各个分数，不难发现：分子与分数序号相同，分母 比序号的 2倍多 1，所以第 10个数为 . 10 10= 2 10 + 1 21 10 21 例 2（ 2016恩施州 ）观察下列等式： 1+2+3+4+ +n= n(n+1)； 1+3+6+10+ + n（ n+1） = n(n+1)(n+2)； 1+4+10+20+ + n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)(n+3)； 则有： 1+5+15+35+ + n(n+1)(n+2)(n+3)=_. 1 21 2 1 61 6 1 241 24 【 思维教练 】 观察等式右边存在一组有规律的因式： n(n+1)， n(n+1)(n+2)， n(n+1)(n+2)(n+3)， ，因式项依次多加一项； 其系数的规律是第 n个等式的系数是上一个等式的系数乘 ， 由此可推出所求式子结果 . 1 1n 【 解析 】 观察所给等式可以发现，第一个等式的右边系数 为 =1 ，因式为 n(n+1)；第二个等式的右边系数为 = ，因式为 n(n+1)(n+2)；第三个等式的右边系数 为 = ，因式为 n(n+1)(n+2)(n+3)，所以第四个等 式的右边系数为 = ，因式为 n(n+1)(n+2) (n+3) (n+4)，结果为 . 1 2 1 6 1 6 1 24 1 24 1 2 1 2 1 3 1 4 1 5 1 120 1 1 2 3 4120 n n n n n 1 1 2 3 4120 n n n n n 【 答案 】 满 分 技 法 数式规律探索主要有以下 3类： 1.数字规律探索： （ 1）当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然 数列、正整数列、奇数列、偶数列还是正整数数列经过 平方、平方加 1或减 1等运算后的数列，然后再看这组数 字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现 一种符号，如果是交替出现的可用 (-1)n或 (-1)n-1表示数字 的符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到 结果； （ 2）当数字是分数和整数结合的时候，先把这组数据 的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的数 字规律（其方法同（ 1），从而得出分子和分母的规 律，最后得到该组第 n项的规律 . 2.数阵规律探索： 此类题目中的数据与有序数对是对应的，设问方式有已 知有序数对求数值和表示某个数值的有序数对，本质上 讲，这两种方式是相同的 .此类型题的解决方法有： （ 1）分析数阵中的数字排列方式：每行的个数； 每列的个数；相邻数据的变化特点，并且观察是否某 一行或者某一列数据具有某些特别的性质（如完全平方 数，正整数）等； （ 2）找出该行或列上的数字与其所在的行数或列数的 关系； （ 3）使用中找出的具有特殊性质的数字，根据（ 2） 中的性质定位，求得答案 . 3.等式规律探索： 第一步：标序数； 第二步：对比式子与序数，即分别比较等式中各部分与 序数（ 1， 2， 3， 4， ， n）之间的关系，把其蕴含的规 律用含序数的式子表示出来 .通常方法是将式子进行拆分， 观察式子中数字与序数是否存在倍数或者乘方的关系； 第三步：根据找出的规律得出第 n个等式，并进行检验 . 类型二 图形规律 一、图形累加规律探索 典例精讲 例 3（ 2016山西 ）如图是一组有规律的图案，它们是由边 长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依 此规律，第 n个图案中有 个涂有阴影的小正方形（用 含有 n的代数式表示） . 例 3题图 【 思维教练 】 观察图形，易知后一个图案比前一个图案多 4个涂有阴影的小正方形，依此规律即可求出第 n个图案中 涂有阴影的小正方形的个数 . 【 解析 】 4n+1 序数 1 2 3 n 涂阴影的小 正方形个数 5 9 13 图形之间的 变化规律 5 5+4 1 5+4 2 5+4（ n-1） 4n+1 【 答案 】 满 分 技 法 解答图形累加规律探索的方法： 第一步 ,写序号：记每组图形的序数为“ 1， 2， 3， ， n” 第二步 ,数图形个数：在图形数量变化时，要记出每组图 形的表示个数； 第三步 ,寻找图形数量与序数 n的关系：针对寻找第 n个图 形表示的数量时，先将后一个图形的表示个数与前一个图 形的个数进行比对，通常作差来观察是否有恒定量的变化， 然后按照定量变化推导出具体某个图形的个数； 第四步 ,验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确 . 二、图形成倍递变规律探索 典例精讲 例 4（ 2011省卷 10， 4分 ）如图，将一个正六边形各边 延长，构成一个正六角星形 AFBDCE，它的面积为 1， 取 ABC和 DEF各边中点，连接成正六角星形 A1F1B1D1C1E1，如图中阴影部分；取 A1B1C1和 D1E1F1各边中点，连接成正六角星形 A2F2B2D2C2E2， 如图中阴影部分；如此下去 ，则正六角星形 AnFnBnDnCnEn的面积为 _. 例 4题图 【 思维教练 】 要得到第 n个正六角星形的面积，通过观 察前一个正六角星形与后一个正六角星形之间的面积关 系，由于前后两个正六角星形相似，可根据相似图形面 积之比等于相似比的平方得到面积关系，找出规律即可 . 【 解析 】 很容易知道正六角星形 A1F1B1D1C1E1与正六角星 形 AFBDCE相似，且相似比是 1 2，所以它们的面积比为 1 4，同理，正六角星形 A2F2B2D2C2E2与正六角星形 A1F1B1D1C1E1也相似，且相似比是 1 2，所以它们的面积 比为 1 4，由这些规律得正六角星形 AnFnBnDnCnEn的面积 为 1 ( )n= . 14 14n 【 答案 】 14n 满 分 技 法 图形成倍递变规律探索的常考类型有： 1.点坐标成倍递变： （ 1）根据图形的变换规律分别求出第 1个点，第 2个点， 第 3个点，第 4个点的坐标，归纳出后一个点的坐标与前 一个点的坐标之间存在的倍分关系； （ 2）根据（ 1）中得到的倍分关系，得到第 M个点坐标 . 2.线段（面积）成倍递变 : 已知一个几何图形的边长（面积），通过递推确定第 M 次变换后的图形的边长（面积） . （ 1）根据题意可得出第一次变换前的边长（面积） 为 b； （ 2）通过计算得到第一次变换后的边长（面积）， 第二次变换后的边长（面积），第三次变换后的边长 （面积），第四次变换后的边长（面积），归纳出后 一个边长（面积）与前一个边长（面积）之间存在的 倍分关系是 n； （ 3）第 M次变换后，求得线段的长度（面积）为 nMb. 三、图形循环规律探索 典例精讲 例 5如图，弹性小球从点 P（ 0， 3）出 发，沿所示方向运动，每当小球碰到 矩形 OABC的边时反弹，反弹时反射 角等于入射角，当小球第 1次碰到矩 形的边时的点为 P1，第 2次碰到矩形 的边时的点为 P2， ，第 n次碰到矩形的边时的点为 Pn， 则点 P3的坐标是 _，点 P2016的坐标是 _. 例 5题图 【 思维教练 】 要确定点 P3的坐标，可根据入射角与反射角 的定义作出图形，依次确定 P1,P2，进而得到 P3的坐标， 继续作图，可知每 6次反弹为一个循环组依次循环，根据 循环规律即可确定 P2016的坐标 . 【 解析 】 如解图，经过 6次反弹后小球回到出发点 P（ 0， 3），当点 P第 3次碰到矩形的边时，点 P3的坐标为（ 8， 3）， 2016 6 336， 当点 P第 2016次碰到矩形的边 时为第 336个循环组的第 6次反弹，此时，点 P2016的坐标 为（ 0， 3） . 例 5题解图 （ 8， 3），（ 0， 3） 【 答案 】 满 分 技 法 图形循环规律探索主要考查类型有 3种： 1.点坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化，求第 M个点的坐标； 2.图形循环变换类，求经过 M次变换后对应的点坐标或 图形； 3.几何图形循环旋转变换，通过 M次变换后，求起始点 到终点的线段长 . 对于此类问题，一般解题思路为： 先观察点坐标（图形）变化的规律是顺时针（逆时 针）循环交替出现，找出循环一周的变换次数，记为 n； 用 M n=W q（ 0q n)，则第 M次变换后的点 坐标（图形）就是一个循环变换中第 q次变化对应的 点坐标（图形），或存在一定的倍分关系； 根据题意找出第 q次变换后对应的点坐标（图形）， 即可推断出第 M个（次）变换后对应的点坐标（图 形） .
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