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第 20讲 直角三角形 1 了解直角三角形的概念 ， 掌握直角三角形的性质定理 ， 掌握有两个 角互余的三角形是直角三角形 2 掌握勾股定理及其逆定理 ， 并能用其解决一些简单的实际问题 1 直角三角形的判定和性质的应用 ， 以及运用勾股定理及其逆定理来 解决实际问题都是中考的重点 ， 在选择题 、 填空题 、 解答题中均有出 现 2 直角三角形是最常见的图形之一 ， 可单独 成题 ， 也常与平行四边形 、 圆 、 三角函数等渗透在综合题中 3 主要体现数形结合思想 、 化归思想以及分类思想 1 (2016湖州 )如图 ， 在 Rt ABC中 ， ACB 90 ， BC 6， AC 8 ， 分别以点 A， B为圆心 ， 大于线段 AB长度一半的长为半径作弧 ， 相交 于点 E， F， 过点 E， F作直线 EF， 交 AB于点 D， 连结 CD， 则 CD的长是 _ 5 【解析】 EF 是线段 AB 的垂直平分线 ， AD DB ， Rt A B C 中 ， A C B 90 ， BC 6 ， AC 8 ， AB AC 2 BC 2 6 2 8 2 10 ， AD DB ， A C B 90 ， CD 1 2 AB 5. 2 ( 2016 温州 ) 七巧板是我们祖先的一项卓越创造 ， 被誉为 “ 东方魔板 ” ， 小明利用七巧板 ( 如图 1 所示 ) 中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边 形 ( 如图 2 所 示 ) ， 则该凸六边形的周长是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ cm . 32 2 16 【解析】 如图 ， 图形 1 ：边长分别是： 16 ， 8 2 ， 8 2 ；图形 2 ：边长分别是： 16 ， 8 2 ， 8 2 ；图形 3 ：边长分别是： 8 ， 4 2 ， 4 2 ；图形 4 ：边长是： 4 2 ； 图形 5 ：边长分别是： 8 ， 4 2 ， 4 2 ；图形 6 ：边长分别是： 4 2 ， 8 ； 图形 7 ：边长分别是： 8 ， 8 ， 8 2 ， 凸六边形的周长 8 2 8 2 8 4 2 4 ( 32 2 16 ) cm . 3 ( 2 0 1 6 东营 ) 在 A B C 中 ， AB 10 ， AC 2 10 ， BC 边上的高 AD 6 ， 求另一边 B C . 解：在图 中 ， 由勾股定理 ， 得 BD AB 2 AD 2 10 2 6 2 8 ； CD AC 2 AD 2 （ 2 10 ） 2 6 2 2 ； BC BD CD 8 2 10. 在图 中 ， 由勾股定理 ， 得 BD AB 2 AD 2 10 2 6 2 8 ， CD AC 2 AD 2 （ 2 10 ） 2 6 2 2 ， BC BD CD 8 2 6. 综上所述 ， BC 的长 为 8 或 6 直角三角形的性质 1 如图 ， 在 A B C 中 ， C 90 ， B 30 ， AD 是 A B C 的角平 分线 ， DE AB ， 垂足为 E ， DE 1 ， 则 BC ( ) A. 3 B 2 C 3 D. 3 2 C 2 ( 2 0 1 7 预测 ) 如图 ， 在 AB C 中 ， AC B 90 ， M ， N 分别是 AB ， AC 的中点 ， 延长 BC 至点 D ， 使 CD 1 3 BD ， 连结 DM ， DN ， MN. 若 AB 6 ， 则 DN _ 3 【解析】 连结 CM ， 根据三角形中位线定理得到 NM 1 2 CB ， MN BC ， 证明四边形 DC MN 是平行四边形 ， 得到 DN CM ， 根据直角三角形的性 质得到 CM 1 2 AB 3 ， 即可求解 解：连结 CM ， M ， N 分别是 AB ， AC 的 中点 ， NM 1 2 CB ， MN BC ， 又 CD 1 3 BD ， MN CD ， 又 MN BC ， 四边形 DC M N 是平 行四边形 ， DN CM ， ACB 90 ， M 是 AB 的中点 ， CM 1 2 AB 3 ， DN 3 3 如图 ， 已知在 ABC中 ， ABC 90 ， AB BC， 三角形的顶点 在相互平行的三条直线 l1， l2， l3上 ， 且 l1， l2之间的距离为 2 , l2， l3之间 的距离为 3 ， 求 AC的长 解析：第 1题根据角平分线的性质即可求得 CD的长 ， 然后在直角 BDE 中 ， 根据 30 的锐角所对的直角边等于斜边的一半 ， 即可求得 BD长 ， 则 BC即可求得；第 2题构造平行四边形求解；第 3题分别过点 A， C作 AF l3, CE l3， 构造一对全等的三角形 解：分别过点 A ， C 作 AF l 3 ， CE l 3 ， 则有 AB F B CE ， BF CE 5 ， 在 Rt AB F 中 ， AB AF 2 BF 2 34 ， 在 Rt AB C 中 ， AC AB 2 BC 2 2 17 1 直角三角形的两锐角 _ 2 直角三角形中 ， 30 角所对的边等于斜边的 _ 3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 _ 答案 ： 1.互余 2.一半 3.一半 4 如图 ， 在 A B C 中 ， AC B 90 ， BE 平分 A B C ， ED AB 于 D. 如果 A 30 ， AE 6 cm ， 那么 CE 等于 ( ) A. 3 cm B 2 c m C 3 c m D 4 cm 【解析】 易知 DE 12 AE 3 ， BED BE C ， CE DE, CE 3. C 5 如图 ， 在 Rt AB C 中 ， AB BC ， B 90 ， AC 10 2 ， 四边形 BDE F 是 ABC 的内接正方形 ( 点 D ， E ， F 在三角形的边上 ) 则此正方 形的面积是 _ 25 【 解析 】 易知 AB BC 10， 四边形 BDEF为正方形 ， EF DE AF DC， 正方形的周长为 AB BC 20， 正方形边长为 5， S 正方形 EFBD 5 5 25. 1 构造全等的直角三角形是解决与直角三角形有关问题常用的方法 2 特殊直角三角形的边角关系：在 A B C 中 ， C 90 ， 若 A 30 ， 则 a b c 1 3 2 ； 若 a 1 2 c ， 则 A 30 ； 若 A 45 ， 则 a b c 1 1 2 ； 若 a 2 2 c ， 则 A 45 . 利用比例关系 ， 转化为方程解决 ， 是解决问题的思路 勾股定理及其逆定理 6 ( 2 0 1 7 预测 ) 如图 ， 在矩形 A B C D 中 ， 点 E ， F 分别在边 CD ， BC 上 ， 且 DC 3 DE 3a ， 将矩形沿直线 EF 折叠 ， 使点 C 恰好落在 AD 边上的 点 P 处 ， 求 FP 的长 【解析】 根据折叠的性质 ， 知 EC EP 2a 2 DE ；则 DP E 30 ， DEP 60 ， 得出 P EF C EF 1 2 ( 180 60 ) 60 ， 从而 P FE 30 ， 得出 EF 2 EP 4a ， 再由勾股定理 ， 得出 FP 的长 解： DC 3 DE 3a ， DE a ， EC 2a. 根据折叠的性质 ， EC EP 2a ； PEF CE F ， E PF C 90 . 根据矩形的性质 ， D 90 ， 在 Rt DPE 中 ， EP 2 DE 2a ， DPE 30 ， DE P 60 . PEF CE F 1 2 ( 180 60 ) 60 . 在 Rt E PF 中 ， PFE 30 ， EF 2 E P 4 a . 在 Rt E PF 中 ， E PF 90 ， EP 2a ， EF 4a ， 根据勾股定理 ， 得 FP EF 2 EP 2 2 3 a 7 如图 ， 四边形 ABCD为矩形 ， 过点 D作对角线 BD的垂线 ， 交 BC的延 长线于点 E， 取 BE的中点 F， 连结 DF， DF 4.设 AB x， AD y， 求 x2 (y 4)2的值 解析：根据矩形的性质得到 CD AB x， BC AD y， 然后利用直角 BDE的斜边上的中线等于斜边的一半得到： BF DF EF 4， 则在直 角 DCF中 ， 利用勾股定理求得结果 解： 四边形 ABCD是矩形 ， AB x， AD y， CD AB x， BC AD y， BCD 90 .又 BD DE， 点 F是 BE的中点 ， DF 4， BF DF EF 4. CF 4 BC 4 y. 在直角 DCF中 ， DC2 CF2 DF2， 即 x2 (y 4)2 42 16 直角三角形两直角边长分别为 a， b， 斜边长为 c. 1 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ， 即有 _ 2 勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的 _(即满足式子 _)， 那么这个三角形是直角三角形 答案 ： 1.a2 b2 c2 2.平方和； a2 b2 c2 8 (2017预测 )如图 ， 将一矩形纸片 ABCD折叠 ， 使两个顶点 A， C重合 ， 折痕为 FG.若 AB 4， BC 8， 求 ABF的面积 解： 将一矩形纸片 AB CD 折叠 ， 使两个顶点 A ， C 重合 ， 折痕为 FG ， FG 是 AC 的垂直平分线 ， AF CF ， 设 AF FC x ， 在 Rt AB F 中 ， 由勾股定理得 AB 2 BF 2 AF 2 ， 4 2 ( 8 x ) 2 x 2 ， 解得 x 5 ， 即 CF 5 ， BF 8 5 3 ， AB F 的面积为 1 2 3 4 6 9 如图 ， 矩形 ABCD中 ， AD 2， AB 3， 过点 A， C作相距为 2的平 行线段 AE， CF， 分别交 CD， AB于点 E， F， 求 DE的长 解：过 F 作 FH AE 于 H ， 设 DE x ， 四边形 AB C D 是矩形 ， AB CD ， AB CD ， AE CF ， 四边形 AE CF 是平行四边形 ， AF CE ， DA FH 2 ， FH A D DAF 90 ， AF H H AF DAE F AH 90 ， DA E AFH ， ADE FH A ， AE AF 3 x ， 在 Rt ADE 中 ， 2 2 x 2 ( 3 x ) 2 ， 解得 x 5 6 10 如图 ， 在边长为 1 的小正方形组成的网格中 ， AB C 的三个顶点在 格点上 ， 请按要求完成下列各题： ( 1 ) 画线段 AD BC 且使 AD BC ， 连结 CD ； ( 2 ) 线段 AC 的长为 _ ， CD 的长为 _ ， AD 的长为 _ _ _ _ ； ( 3 ) A C D 为 _ _ _ 三角形 ， 四边形 A B C D 的面积为 _ ； ( 4 ) 若 E 为 BC 中点 ， 则 ta n C A E 的值是 _ _ 2 5 5 5 直角 10 1 2 解： (1)图略 勾股定理的作用： (1)已知直角三角形的两边求第三边； (2)已知直角三角 形的一边求另两边的关系； (3)用于证明平方关系的问题 因此 ， 当已知直角三角形的两边时 ， 可以求出第三边；当只知道直角三 角形的一边时 ， 列出关系式 ， 转化为方程解决 . 求解时应注意辨别哪一 边是斜边 勾股定理及其逆定理的实际应用 11 (2017预测 )如图 ， 已知点 C(1， 0)， 直线 y x 7与两坐标轴分 别交于 A， B两点 ， D， E分别是 AB， OA上的动点 ， 求 CDE周长的最 小值 【 解析 】 作点 C关于 y轴的对称点 C1( 1， 0)， 点 C关于 AB的对称点 C2 ， 连结 C1C2交 OA于点 E， 交 AB于点 D， 则此时 CDE的周长最小 ， 且 最小值等于 C1C2的长 解： OA OB 7 ， CB 6 ， AB C 45 . AB 垂直平分 CC 2 ， C B C 2 90 ， C 2 的坐 标为 ( 7 ， 6 ) 在 Rt C 1 BC 2 中 ， C 1 C 2 C 1 B 2 C 2 B 2 8 2 6 2 10 ， 即 CDE 周长的 最小值是 10 12 一住宅小区有一块草坪如图所示 ， 已知 AB 3米 ， BC 4米 ， CD 12米 ， DA 13米 ， 且 AB BC， 这块草坪的面积是 ( ) A 24平方米 B 36平方米 C 48平方米 D 72平方米 B 【解析】 连结 AC ， AC 5 ， 而 DC 12 ， AD 13. AC 5 恰好满足勾 股定理 AC 2 CD 2 AD 2 . AC CD ， S 1 2 3 4 1 2 5 12 6 30 36. 13 如图 ， 长方体的底面边长分别为 1 cm 和 3 cm ， 高为 6 cm . ( 1 ) 如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B ， 那么所用 细线最短的长度需要多少厘米？ ( 2 ) 如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 n 圈到达点 B ， 那么所用细线最短的 长度需要多少 cm ? 解： ( 1 ) 展开侧面 ， 如图 . 绕一周即从 A 到 B ， 最短长 度为 8 2 6 2 10 ( cm ) ( 2 ) 绕 n 圈时最短长度为 6 2 （ 8n ） 2 36 64n 2 2 9 1 6 n 2 ( cm ) 14 如图 ， A， B是公路 l(l为东西走向 )两旁的两个村庄 ， A村到公路 l的 距离 AC 1 km， B村到公路 l的距离 BD 2 km， B村在 A村的南偏东 45 方向上 (1)求出 A， B两村之间的距离； (2)为方便村民出行 ， 计划在公路边新建一个公共汽车站 P， 要求该站到 两村的距离相等 ， 请用尺规在图中作出点 P的位置 (保留清晰的作图痕 迹 ， 并简要写明作法 ) 解： ( 1 ) 过点 B 作直线 l 的平行线交 AC 的延长线于 E. CE BD 2. 在 Rt AE B 中 ， 由 A 45 ， 可得 BE EA 3 ， AB 3 2 3 2 3 2 ， A ， B 两村的距离为 3 2 km ( 2 ) 如图 ， 作法： 分别以点 A ， B 为圆心 ， 以大于 1 2 AB 的长为半径作弧 ， 两弧交于两点 M ， N ， 作直线 MN ； 直线 MN 交 l 于点 P ， 点 P 即为 所求 勾股定理及其逆定理的实际应用 ， 关键是构造直角三角形 ， 将问题中 的数据在图中标出 ， 把实际问题转化为数学问题 ， 建立勾股定理或逆 定理的数学模型 ， 有些需进一步转化为方程 ， 从而解决该实际问题
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