同济大学(高等数学)_第四章_不定积分

第四章第四章不定积分不定积分前面讨论了一元函数微分学,从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法第第 1 1 节节不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质1.11.1 不定积分的概念不定积分的概念在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为s s(t),则质点在时刻t的瞬时速度表示为v s(t)实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t的瞬时速度v v(t),求出质点的位移函数s s(t)即已知函数的导数,求原来的函数这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在为了便于研究,我们引入以下概念1.1.1原函数原函数定义定义 1 1如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x)，即对任一xI，都有F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，那么函数F(x)就称为f f(x x)在区间 I 上的原函数例如，在变速直线运动中，s(t)v(t)，所以位移函数s(t)是速度函数v(t)的原函数；再如，(sin x)cos x，所以sin x是cosx在(,)上的一个原函数(ln x)所以ln x是1在(0,)的一个原函数x1x(x 0),一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件定理定理 1 1如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上一定存在可导函数F(x)，使对任一xI都有F(x)f(x)简言之，连续函数一定有原函数由于初等函数在其定义区间上都是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数定理 1 的证明，将在后面章节给出.关于原函数，不难得到下面的结论：关于原函数，不难得到下面的结论：若F(x)f(x)，则对于任意常数C，F(x)C都是f(x)的原函数也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个假设F(x)和(x)都是f(x)的原函数，则F(x)(x)0，必有F(x)(x)C,即一个1函数的任意两个原函数之间相差一个常数因此我们有如下的定理：定理定理 2 2若F(x)和(x)都是f(x)的原函数,则F(x)(x)C(C为任意常数）若F(x)f(x)，则F(x)C（C为任意常数）表示f(x)的所有原函数我们称集合F(x)C|C 为f(x)的原函数族由此,我们引入下面的定义1.11.1。2 2不定积分不定积分定义定义 2 2在区间I上,函数f(x)的所有原函数的全体，称为f(x)在I上的不定积分，记作f(x)dx其中称为积分号,f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量由此定义，若F(x)是f(x)的在区间I上的一个原函数，则f(x)的不定积分可表示为f(x)dx F(x)C注注（1）不定积分和原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素（2）求不定积分,只需求出它的某一个原函数作为其无限个原函数的代表，再加上一个任意常数C2例例 1 1求3x dx23解解因为(x3)3x2,所以3x dx x C例例 2 2求sinxcosxdx1解解（1）因为(sin2x)2sin xcosx,所以sin xcosxdx sin2xC21（2)因为(cos2x)2cos xsin x,所以sinxcosxdx cos2xC2(3）因为(cos2x)2sin2 x 4sin xcosx,所以1sin xcosxdx cos2xC4例例3 3求dx解解由于x 0时，(ln x)内，dx ln x C又当x 0时，ln(x)内,dx ln(x)C综上，dx ln x C21x11，所以ln x是在(0,)上的一个原函数,因此在(0,)xx1x11，所以ln(x)是在(,0)上的一个原函数，因此在(,0)xx1x1x例例 4 4在自由落体运动中，已知物体下落的时间为t,求t时刻的下落速度和下落距离解解设t时刻的下落速度为v v(t),则加速度a(t)因此v(t)a(t)dt gdt gt C，dv g(其中g为重力加速度)dt又当t 0时，v(0)0,所以C 0于是下落速度v(t)gt又设下落距离为s s(t)，则ds v(t)所以dts(t)v(t)dt gtdt 12gt C，21又当t 0时，s(0)0，所以C 0于是下落距离s(t)gt221.11.1。3 3 不定积分的几何意义不定积分的几何意义设函数f(x)是连续的,若F(x)f(x)，则称曲线y F(x)是函数f(x)的一条积分曲线因此不定积分f(x)dx F(x)C在几何上表示被积函数的一族积分曲线积分曲线族具有如下特点（如图4。1)：（1）积分曲线族中任意一条曲线都可由其中某一条平移得到；（2）积分曲线上在横坐标相同的点处的切线的斜率是相同的,即在这些点处对应的切线都是平行的图 4-1例例 5 5设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程解解设曲线方程y f(x)，曲线上任一点(x,y)处切线的斜率一个原函数因为2xdx x2C，又曲线过(1,2)，所以2 1C，C 1dy 2x，即f(x)是2x的dx于是曲线方程为y x211.21.2 基本积分公式基本积分公式由定义可知,求原函数或不定积分与求导数或求微分互为逆运算，我们把求不定积分的运算称为积分运算 既然积分运算与微分运算是互逆的，那么很自然地从导数公式可以得到相应的积分公式3 x1x1C（1）例如，因=x，所以x dx 11类似可以得到其他积分公式，下面一些积分公式称为基本积分公式kdx kxC（k 是常数)；x1C(1)；x dx 1dx ln x C;sinxdx cosxC；cosxdx sinxC;1dx sec2xdx tan x C;2cos x1x1dx csc2xdx cot x C；2sin xsecxtanxdx secxC；cscxcotxdx cscxC;11dx arctan x C，dx arccot x C；21 x1 x211 x2dx arcsin xC,11 x2dx arccosxC;exdx exC;axa dx C；lnax以上 13 个基本积分公式，是求不定积分的基础，必须牢记下面举例说明积分公式的应用例例 6 6求不定积分x2xdx2xCx2Cxdxx dx5712525127解解x2以上例子中的被积函数化成了幂函数x的形式,然后直接应用幂函数的积分公式求出不定积分但对于某些形式复杂的被积函数,如果不能直接利用基本积分公式求解，则可以结合不定积分的性质和基本积分公式求出一些较为复杂的不定积分1.31.3 不定积分的性质不定积分的性质根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质4性质性质 1 1积分运算与微分运算互为逆运算f(x)dx f(x)dx（1）f(x)dx f(x)或d（2）F(x)dx F(x)C或dF(x)F(x)C性质性质 2 2设函数f(x)和g(x)的原函数存在，则f(x)g(x)dx f(x)dxg(x)dx易得性质 2 对于有限个函数的都是成立的性质性质 3 3设函数f(x)的原函数存在，k为非零的常数，则kf(x)dx kf(x)dx由以上两条性质，得出不定积分的线性运算性质如下:kf(x)lg(x)dx kf(x)dxlg(x)dx例例 7 7求3221 x21 xdx解解3221 x21 x11dx 3dx2dx221 x1 x3arctanx2arcsin xC1 x x2dx例例 8 8求x(1 x2)1(1 x2)x 1解解原式=dx2x(1 x2)x1 xx3dx xarctanxC3例例 9 9求2xexdx2xex1xC(2e)C 解解原式(2e)dx1 ln 2ln2ex例例 1010求解解1dx1sin x1dx1sin x1sin x1sin xdxcos1sin x1-sin xdx2x(sec2xsecxtanx)dx tanxsecxC例例 1111求tan2xdx解解tan2xdx=(sec2x1)dx tanx xC注注 本节例题中的被积函数在积分过程中，要么直接利用积分性质和基本积分公式,要么将函数恒等变形再利用积分性质和基本积分公式,这种方法称为基本积分法此外，积分运算的结果是否正确，可以通过它的逆运算（求导)来检验,如果它的导函数等于被积函数,那么5积分结果是正确的，否则是错误的下面再看一个抽象函数的例子：例例 1212设f(sin2x)cos2x,求f(x)?解解 由f(sin2x)cos2x 1sin2x，可得f(x)1 x，1从而f(x)xx2C2习题习题 4-14-11求下列不定积分（1)1dx;（2）x3xdx;4x（3）dh2gh；（4）ax2bdx；x2x4 x23（5）dx;（6）dx；221 xx 1x2 x x 3(7）dx；(8）3x2321 x21 xdxx2dx；3（9）2exdx;x1 x21 x4（10）x21；（11)dx；（12)tan2xdx；xcos2xdx（13）sin2dx;（14)；cos x sin x21cos2x（15）dx；（16）secxsecxtanxdx;1cos2xx x3ex x223x52xdx（17）dx；（18)x33x2已知某产品产量的变化率是时间t的函数，f(t)at b（a，b为常数）设此产品的产量函数为p(t)，且p(0)0，求p(t)3验证dxx x2 arcsin(2x1)C1 arccos(12x)C2 2arctanxC31 x4设f(x3)dx x3C，求f(x)？6第第 2 2 节节换元积分法和不定积分法换元积分法和不定积分法2.12.1 换元积分法换元积分法上一节介绍了利用基本积分公式与积分性质的直接积分法，这种方法所能计算的不定积分是非常有限的因此，有必要进一步研究不定积分的求法这一节，我们将介绍不定积分的最基本也是最重要的方法-换元积分法,简称换元法其基本思想是：利用变量替换,使得被积表达式变形为基本积分公式中的形式,从而计算不定积分换元法通常分为两类，下面首先讨论第一类换元积分法2.1.12.1.1 第一类换元积分法第一类换元积分法定理定理 1 1设f(u)具有原函数，u(x)可导，则有换元公式f(u)duf(x)(x)dx u(x)（4.2。1)证明证明不妨令F(u)为f(u)的一个原函数，则f(u)duu(x)F(x)C由不定积分的定义只需证明(F(x)f(x)(x),利用复合函数的求导法则显然成立注注由此定理可见，虽然不定积分f(x)(x)dx是一个整体的记号,但从形式上看，被积表达式中的dx也可以当做自变量x的微分来对待从而微分等式(x)dx du可以方便地应用到被积表达式中例例 1 1求3e3xdx解解3e3xdx e3x(3x)dx e3xd(3x)eudu euC，最后,将变量u 3x代入,即得3e3xdx e3xC根据例 1 第一类换元公式求不定积分可分以下步骤：（1）将被积函数中的简单因子凑成复合函数中间变量的微分；（2）引入中间变量作换元；（3）利用基本积分公式计算不定积分；（4）变量还原显然最重要的是第一步 凑微分，所以第一类换元积分法通常也称为凑微分法例例 2 2求4x5dx99=4，这里缺少了中间（4x5）（4x 5）解解被积函数是复合函数，中间变量u 4x5，变量u的导数 4,可以通过改变系数凑出这个因子：99119999(4x5)dx(4x5)(4x5)dx(4x5)99d(4x5)441991 u100(4x5)100=u duC C44 1004007例例 3 3求解解2xdxx2 a21 2x，（x2 a2）为复合函数，u x2 a2是中间变量，且2x ax111122dx(x a)dx d(x2 a2)2222222x a2x ax a1111du ln u C ln(x2 a2)C2u22对第一类换元法熟悉后，可以整个过程简化为两步完成例例 4 4求x 1 x2dx11解解x 1 x dx 1 x2d(1 x2)(1 x2)2C2323注注如果被积表达式中出现f(ax b)dx，f(xm)xm-1dx,通常作如下相应的凑微分：1f(ax b)d(ax b)，a1 1f(axnb)xn1dx f(axnb)d(axnb)a nf(ax b)dx 例例 5 5求1dxx(12ln x)1x12解解因为dx dln x，亦即dx d(1+2ln x),所以1111dx dln x d(1+2ln x)x(1 2ln x)1 2ln x212ln x1x1ln1+2ln x C22arctanx例例 6 6求dx1 x2解解因为1dx darctan x，所以1 x22arctanx2arctanxarctanx1 x2dx 2darctan x ln2C例例 7 7求解解因为sinx2 xdx12 xdx d x，所以sinx2 xdx sinxd x cosx C在例 4 至例 7 中，没有引入中间变量，而是直接凑微分下面是根据基本微分公式推导出的常用的凑微分公式1dx 2d xx11dx d2xx8dx dln xexdx dexcos xdx dsin xsin xdx dcos x1dx sec2xdx dtan x2cos x1dx csc2xdx dcot x2sin x1x11 x2dx d(arcsin x)d(arccos x)1dx d(arctan x)d(arccot x)1 x2在积分的运算中,被积函数有时还需要作适当的代数式或三角函数式的恒等变形后，再用凑微分法求不定积分例例 8 8求1dxa x22解解将函数变形11.a2 x2a21 x 1a2，由dx ad，所以得到xa例例 9 9求解解1a2 x21a x2211dxa2 x2a1 x 1a2dx1xarctanCaaadxdx 1a1 x 1a2dx x d2 x a1a1 arcsinxCa例例 1010求tanxdx解解tanxdx=sin xdxdcos x ln cos x Ccos xcos x同理，我们可以推得cotxdx ln sinx C例例 1111求sin3xdx解解sin3xdx sin2xsinxdx sin2xdcos x (1-cos2x)dcos x1 cos x cos3x C39例例 1212求sin2xcos3xdx解解sin2xcos3xdx sin2xcos2xcosxdx sin2xcos2xdsin x sin2x(1sin2x)dsin x(sin2xsin4x)dsin x11sin3x sin5x C35例例 1313求sin2xdx解解sin2xdx 1cos2x11dx xsin2xC224例例 1414求secxdx解解sec xdx 11dx cos1xdx cos2xdsin x dsin xcos x1sin2x1sin x1lnC ln secx tan x C2sin x1同理,我们可以推得cscxdx ln cscxcotx C注注对形如sinmxcosnxdx的积分，如果m，n中有奇数，取奇次幂的底数(如n是奇数，则取cosx）与dx凑微分,那么被积函数一定能够变形为关于另一个底数的多项式函数,从而可以顺利的计算出不定积分;如果m，n均为偶数，则利用倍角（半角）公式降幂，直至将三角函数降为一次幂，再逐项积分例例 1515求sin2xcos3xdx解解sin2xcos3xdx=1111cos5 x cos x C=sin5xdxsin xdx10222121cos5 x C10=cos x 一般的，对于形如下列形式sinmxcosnxdx,sinmxsinnxdx，cosmxcosnxdx，的积分（m n），先将被积函数用三角函数积化和差公式进行恒等变形后，再逐项积分例例 1616求1dxx2 a2解解因为所以111 11,2(xa)(xa)2ax ax ax a211111 11dx dxdxdx 22axaxa2axaxax a2101 11d(xa)d(xa)2axaxa11xaln xa ln xaC lnC2a2axaP(x)的函数称为有理函数,P(x)，Q(x)均为多项式）的积分，Q(x)这是一个有理函数(形如将有理函数分解成更简单的部分分式的形式，然后逐项积分，是这种函数常用的变形方法 下面再举几个被积函数为有理函数的例子例例 1717求x 3dxx 5x 62解解先将有理真分式的分母x25x6因式分解，得x25x 6 (x2)(x 3)然后利用待定系数法将被积函数进行分拆设A(x3)B(x2)x 3AB=，(x2)(x3)x25x 6x 2x 3从而x 3 A(x 3)B(x 2)，分别将x 3,x 2代入x 3 A(x 3)B(x 2)中,易得6 5故原式=dx=5ln x2 6ln x3 Cx2x3A 5B 6例例 1818求3dxx31解解由x31(x1)(x2 x1)，令3ABx C，x31x 1x2 x 1两边同乘以x31，得3 A(x2 x1)(BxC)(x1)令x 1,得A1；令x 0,得C 2;令x 1，得B 1所以31x 2x31x 1x2 x 1故3x2 12x131dx dx ln x1 dx2x 1x1x x12x2 x131dx1d(x x1)32=ln x1 2222x x113x242=ln x1 12x 1ln(x2 x 1)3 arctan C.23112.12.1。2 2第二类换元积分方法第二类换元积分方法定理定理 2 2设x(t)是单调，可导的函数,并且(t)0，又设f(t)(t)具有原函数，则有换元公式,f(t)(t)dtf(x)dx t1(x)，其中，1(x)是x(t)的反函数1证明证明设f(t)(t)的原函数为(t)记(x)F(x)，利用复合函数及反函数求导法则得F(x)ddt1 f(t)(t)f(t)f(x),dtdx(t)则F(x)是f(x)的原函数所以f(x)dx F(x)C 1(x)C f(t)(x)dt1t(x)利用第二类换元法进行积分，重要的是找到恰当的函数x(t)代入到被积函数中，将被积函数化简成较容易的积分，并且在求出原函数后将t 1(x)还原常用的换元法主要有三角函数代换法、简单无理函数代换法和倒代换法一、三角函数代换法一、三角函数代换法例例 1919求a2 x2dx(a 0)解解设x asint,t,，a2 x2 acost,dx acostdt，2 2于是a x dx=acostacostdt a222 a2a2cos tdt t sintcost C222因为x asint,t,，所以t arcsin,a2 2x为求出cost，利用sint 作辅助三角形（图 42）,求得cost a xa2 x2,a所以a x dx 22a2x1a x dx arcsinx a2 x2C2a222图 4212例例 2020求dxx a22(a 0)解解令x atant,t,dx asec2tdt，2 2 1adxx2a2=costasec2tdt sectdt ln sect tant Cx2a2,t,a2 2x利用tan t 作辅助三角形（图 43），求得sect a所以x ln22ax adxx2 a2ac ln xx2 a2C1图 43例例 2121求dxx a22(a 0)解解当x a时，令x asect,t0,dx asecttantdt，2dxx2a2=cottasecttantdt sectdt ln sect tant C1x2a2，a1aa利用cost 作辅助三角形（图 44）,求得tant x所以x lnax2a2dxx2a2C1 ln xx2a2C，(C C1lna)a当x a时，令x u则u a，由上面的结果，得dxx2a2 duu2a2 ln u u2a2C1 ln xx2a2C1 =xx2a2C,(C C12ln a)综上，dxx2a2 ln xx2a2C13图 4-4注注当被积函数含有形如a2 x2,a2 x2,x2a2的二次根式时,可以作相应的换元：x asint，x atant，x asect将根号化去但是具体解题时，要根据被积函数的具体情况，选取尽可能简捷的代换,不能只局限于以上三种代换二、简单无理函数代换法二、简单无理函数代换法例例 2222求dx12xu2解解令u 2x,x,dx udu，2udu11duuln1u C 2x ln 12x C12x1u1udx例例 2323求3(1+x)xdx=解解被积函数中出现了两个不同的根式，为了同时消去这两个根式，可以作如下代换：令t 6x,则x t6，dx 6t5dt,从而6t5t2112(1+3x)x(1t2)t3dt 61t2dt 61tdxdt 6(t arctant)C 6(6x arctan6x)C例例 2424求11 xdxxx22t1 x1dt,从而,则x 2，dx 2x(t 1)2t 1解解为了去掉根式，作如下代换：t 11 x2t22dx(t 1)tdt 2t2dt22x2x(t 1)t3C C33x一般的，如果积分具有如下形式（1）R(x,naxb)dx,则作变换t naxb;p（2）R(x,naxb,maxb)dx，则作变换t axb，其中p是m，n的最小公倍数；221 x 3214(3）R(x,nax b)dx，则作变换t cx dnax bcx d运用这些变换就可以将被积函数中的根数去掉，被积函数就化为有理函数三、倒代换法三、倒代换法在被积函数中如果出现分式函数,而且分母的次数大于分子的次数，可以尝试利用倒代换，即令x，利用此代换，常常可以消去被积函数中分母中的变量因子x例例 2525求dxx(x61)1t1dt，t21t解解令x,dx 1dt2dx1d(t61)1t5t ln 1t6C=dtx(x61)1 11t66661t61tt11 ln16C6x 例例 2626求1ta2 x2dxx41dt,t2解解设x,则dx 于是当x 0时，有a xdx x422a211t21 dt (a2t21)2t dt，21t t4a x1(a x)2 22 2dx (a t 1)d(a t 1)Cx42a23a2x322122322x 0时,结果相同本例也可用三角代换法，请读者自行求解四、指数代换四、指数代换例例 2727求dxex(e2x1)1t解解设ex t,则 dx dt,于是dx12x2e(e1)t(1t2)dtx11 1-x-x earctaneC2dt arctant C2tt1t注注本节例题中,有些积分会经常遇到，通常也被当作公式使用承接上一节的基本积15分公式，将常用的积分公式再添加几个(a 0）：tanxdx ln cosx C；cotxdx ln sinx C;cscdx=ln cscxcotx C;secxdx ln secxtanx C;11xdx arctanC;2aaa x21xa1dx=lnC;x2 a22axa1a2 x2dxx2 a2dxx a22dx arcsinx;C（a 0）a ln xx2 a2C；ln xx2a2Cdx5 4x x2例例 2828求解解dxd(x2)x2C35 4x x2dx=32(x2)2 arcsin例例 2929求解解dx4x 921d2x1ln(2x4x29)C2(2x)2322dx4x29=例例 3030求解解dxx22x3x22x3=d(x1)(x1)222 ln x1x22x3 Cx3dx例例 3131求2(x 2x 2)2解解被积函数为有理函数，且分母为二次质因式的平方，把二次质因式进行配 方:(x1)21，令x1 tant,t,，则2 2x22x2 sec2t，dx sec2tdt所以x3(1 tant)32dx sec tdt224(x 2x2)sec t16(sint cost)3dtcos t(1tant)dtcost23(sin3tcos1t 3sin2t 3sintcost cos2t)dt lncost cos2t 2t sintcost C图 45 按照变换x1 tantt,作（辅助三角形图 4-5），则有2 2cost 1x 2x22，sint x1x 2x22，于是x31x2(x22x 2)2dx 2ln(x 2x 2)2arctan(x1)x22x 2C2.22.2 分部积分法分部积分法前面我们得到了换元积分法 现在我们利用“两个函数乘积的求导法则”来推导求积分的另一种基本方法分部积分法定理定理 1 1设函数u u(x)，v v(x)具有连续的导数，则udv uvvdu证明证明微分公式d(uv)udvvdu两边积分得uv udv vdu,（4.2.2）移项后得udv uvvdu我们把公式（4.2.2）称为分部积分公式分部积分公式它可以将不易求解的不定积分udv转化成另一个易于求解的不定积分vdu例例 3232求xcosxdx解解根据分部积分公式，首先要选择u和dv，显然有两种方式，我们不妨先设u x,cosxdx dv,即v sin x，则xcosdx xdsin x xsinxsinxdx xsinxcosxC采用这种选择方式，积分很顺利的被积出，但是如果作如下的选择：设u cos x,xdx dv,即v 12x,则217xcosxdx 112122cosxdx x cosxx sinxdx,22212x sin xdx，显然后面的积分变得更加复杂难以2比较原积分xcosxdx与新得到的积分解出由此可见利用分部积分公式的关键是恰当的选择u和dv如果选择不当，就会使原来的积分变的更加复杂在选取u和dv时一般考虑下面两点:（1）v要容易求得;（2)vdu要比udv容易求出例例 3333求xexdx解解令u x,exdx dv,v ex,则例例 3434求x2exdxxexdx xdex xex exdx xexexC解解令u x2,exdx dv,v ex，则利用分部积分公式得x e dx x de2x2x x2ex exdx2 x2ex2 xexdx，这里运用了一次分部积分公式后,虽然没有直接将积分积出，但是x的幂次比原来降了一次,xexdx显然比x2exdx容易积出,根据例 4.3.2,我们可以继续运用分部积分公式，从而得到x e dx x e2x2x2 xexdx x2ex2 xdex x2ex2(xexex)C ex(x22x 2)C注注当被积函数是幂函数与正（余）弦或指数函数的乘积时，幂函数在d的前面,正（余）弦或指数函数至于d的后面例例 3535求xlnxdx11解解令u ln x,xdx dx2，v x2，则221121212221xlnxdx lnxdx x lnxx dxx lnxxC2x222x2ln x12x C24在分部积分公式运用比较熟练后，就不必具体写出u和dv，只要把被积表达式写成udv18的形式，直接套用分部积分公式即可例例 3636求xarctanxdx112x22解解xarctanxdx arctanxdx x arctan xdx221 x21(x2arctanx xarctanx)C2注注 当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，对数函数或反三角函数在d的前面，幂函数至于d的后面下面再来举几个比较典型的分部积分的例子例例 3737求exsinxdx解解（法一）（法一）exsinxdx sinxdex exsinxexcosxdx exsinx cosxdex =exsinxexcosxexsinxdx,1exsinxdx ex(sinxcosx)C2（法二）（法二）exsinxdx exd(cosx)ex(cosx)cosxd(ex)=excosxcosxexdx excosxexdsin x =excosxexsinxsinxdex =excosxexsinxexsinxdx，1exsinxdx ex(sinxcosx)C2当被积函数是指数函数与正（余）弦函数的乘积时，任选一种函数凑微分,经过两次分部积分后,会还原到原来的积分形式，只是系数发生了变化，我们往往称它为“循环法”“循环法”,但要注意两次凑微分函数的选择要一致例例 3838求sec3xdx解解sec3xdx secxdtanx secxtanxsecxtan2xdxsecxtanx secxdx sec3xdx，利用secxdx ln secxtanx C1并解方程得1sec3xdx=(secxtan xln secxtan x)+C219在求不定积分的过程中，有时需要同时使用换元法和分部积分法例例 3939求exdx解解令t x,x t2,dx 2tdt，exdx et2tdt 2tdet 2tet2 etdt 2tet2etC 2 xex2exC例例 4040求cos(lnx)dx解解令t ln x,x et,dx etdt,1xcos(lnx)dx=costetdt etsint costC sinln xcosln xC22sin x，求xf(x)dx？x下面再看一个抽象函数的例子例例 4141已知f(x)的一个原函数是解解因为f(x)的一个原函数是且f(x)sin xsin xC，,所以f(x)dx xxsin x xcosxsin x从而2xxxcos x 2sin xCx原式xf(x)dx xdf(x)xfxf(x)dx习题习题 4-24-2一、求下列不定积分1(2x3)2014dx；3(abx)kdx（b 0）；5cosxdx；7e3xdx；192exdx;x123dx;(12x)24sin3xdx;6tan5xdx；8102xdx；10dx；19x211dxsin22x4;12x 1 x2dx；2013(2x 3)dxx23x 8；15exsinexdx；17ln xxdx；19dx(arcsin x)22；1 xx2213 xdx；23cos2xdx;251 tan xsin 2xdx；27cos3xdx;29sec4xdx；31dxsin2xcos2x；33dxx2x2；935x3dx3；(1 x2)237dx3；(x2 a2)239dxx21 x2；41dx；116x243x133x1dx;45dxx4 x2；二、求下列不定积分1xsin2xdx；3x2cosxdx；14xdx；4 x416xex2dx；18cotsind；(arctanx)2201 x2dx;22x 1x2 4x 13dx；24sin4xdx；26cos2xsin2xdx；28sin3xcos5xdx;30tan4xdx；32x4dx;(1 x2)334dx3;(1 x2)2236x;a2 x2dx38x2a2xdx;40dx;125x242dx2；4x 9441dx；1ex46dxx(x21)2x2(exe-x)dx;4x2axdx；215lnxdx；6xnlnxdx（n 1）;7arctanxdx；8arccosxdx；9eaxcosnxdx;10 x2ln(1 x)dx；ln3x112dx；x12(arcsinx)2dx；14xtan2xdx；lncos xdx；cos2x313xcos2xdx；15x2cos2xdx；17ln xdx；x31618exdx2三、已知f(x)的一个原函数是e-x，求xf(x)dx。22第第 3 3 节节有理函数的积分有理函数的积分3.13.1 有理函数的积分有理函数的积分有理函数的形式有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数即具有如下形式的函数：P(x)a0 xna1xn1an1xan其中m和n都是非负整数a0a1a2an及b0b1b2bm都是Q(x)b0 xmb1xm1bm1xbm实数并且 a00b00当 nm 时称这有理函数是真分式而当 nm 时称这有理函数是假分式假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式例如x3x1x(x21)1x1x21x21x21真分式的不定积分求真分式的不定积分时如果分母可因式分解则先因式分解然后化成部分分式再积分例例 1 1求解解x3dxx25x6x3x25x6dx(x2)(x3)dx(x3x2)dx6dx5dx6lnx3|5lnx2Cx3x2x365提示提示(AB)x(2A3B)x3AB13A2B3A6B5AB(x2)(x3)x3x2(x2)(x3)分母是二次质因式的真分式的不定积分例例 2 2求解解x2dxx 2x32x22x3dx(2 x22x33x22x3)dx122x2dx321dx2 x 2x3x 2x3d(x22x3)d(x1)1232x 2x3(x1)2(2)21ln(x22x3)3arctanx1C222x212x211(2x2)312x2321提示提示 2x222x 2x3x 2x32 x 2x3x 2x3例例 3 3求解解11dxx(x1)2111x(x1)2dxxx1(x1)2dx1dx1dx12dxxx1(x1)23ln|x|ln|x1|1Cx1提示提示 11xx1121xx12111222x(x1)(x1)x(x1)(x1)xx1(x1)x(x1)x(x1)3.23.2 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算由于各种三角函数都可以用sin x 及 cos x 的有理式表示故三角函数有理式也就是sin x、cos x 的有理式用于三角函数有理式积分的变换:把 sin x、cos x 表成tanx的函数然后作变换utanx222tanx2tanx222usinx2sinxcosx22sec2x1tan2x1u2221tan2x21u22x2xcosxcossin22sec2x1u22变换后原积分变成了有理函数的积分例例 4 4 求1sin xdxsin x(1cosx)2解解令utanx则sinx2u2cosx1u2x2arctan udx22du21u1u1u(12u2)2du 1(u21)du1u于是1sin xdx2sin x(1cosx)2u2u(11u)1u2221u1u21xx1x1(u2uln|u|)Ctan2tanln|tan|C422222 2说明说明:并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分1sinx)C例如cosxdx1d(1sinx)ln(1sinx1sinx习题习题 4 43 3求下列不定积分24x x32x x 3dxdx;2.21.dxdx；x x 3x x 3x x 103。dxdxx x 1;4.dxdx x x(x x2 1)；x x2 2x x 5x x2 1(x x 1)25。dxdx；6。2dxdx；22(x x 1)(x x 1)7.dxdx3 sin2x x；9。dxdx2 sin x x；11。dxdx2sin x x cos x x 5;(x x 1)8.dxdx3 cos x x；10。dxdx1 sin x x cos x x；12。dxdx1 3x x 1。25第第 4 4 节节 MATLAB MATLAB 软件的应用软件的应用在高等数学中，经常利用函数图形研究函数的性质,在此,我们应用 MATLAB命令来实现这一操作.MATLAB 符号运算工具箱提供了int 函数来求函数的不定积分，该函数的调用格式为：Int(fx，x)求函数 f(x)关于 x 的不定积分参数说明:fx 是函数的符号表达式，x 是符号自变量，当 fx 只含一个变量时,x 可省略.例计算下面的不定积分.I I x x sin x xdxdx.1 cos x xsymsxI=int（(x+sin(x)/（1+cosx）)）I=Xtan(x/2)说明说明：由上述运行结果可知，int 函数求取的不定积分是不带常数项的，要得到一般形式的不定积分，可以编写以下语句：symsxcfx=f(x);int（fx,x）+c以I I x x sin x x 1 cos x xdxdx为例，编写如下语句可以得到其不定积分：symsxcfx=（x+sin（x)/(1+cos(x)）；I=int(fx，x)+cI=C+xtan（x/2）在上述语句的基础上再编写如下语句即可观察函数的积分曲线族：ezplot（fx，-2，2）hf=ezplot（fx，2，2）;xx=linspace（2,2)；plot(xx,subs(fx,xx）,k，LineWidth，2)holdonforc=0：6Y=inline(subs（I，C,c)；Plot(xx,y(xx），LineStyle,）;Endlegend(函数曲线,积分曲线族，4).26总习题总习题 4 4（A A）一、填空题1若f(x)的一个原函数为cosx，则f(x)dx=2设f(x)dx sinxC,则xf(1x2)dx3x2exdx 41dx 1cos2x(arctanx)25dx1 x2二、选择题1曲线y f(x)在点(x,f(x)处的切线斜率为（A)y ln x（C）y 1,且过点(e2,3)，则该曲线方程为x(B）y ln x 111x22（D）y lnx32设f(x)的一个原函数是ex，则xf(x)dx（A）2x2exC(C）ex(2x21)C22（B)2x2ex（D)xf(x)f(x)dx23设F(x)是f(x)的一个原函数,则(A)(C)f(x)dx F(x)dF(x)F(x)(B）1xf(x)dx f(x)（D)F(x)dx f(x)（B）（C）1x24设f(x)的原函数为（A)ln x1，则f(x)等于x（D）2x35x2xdx（A）2 x 2 C(C）2 xln x(ln2)2 Cx2xxx2xx2xC(B）ln2(ln2)22xx2C(D)2三、计算下列各题271arcsinxxdx；21exexdx;3ln(1+x2)dx；4dxx2 2x 3;5esin xcosxdx；6x7dx(1 x4)2；7e12xdx；8dx；52x x291xex1dx;10(1 x)3dx；11xexdx;12a xex1a xdx；13dx14dxx41；x x215x3ln2xdx；16dxx 3x；17x 2x3dx；18dx；916x219dx;20 x 1 x2sin4x2dx;221(tan2xtan4x)dx；22secx1 tan xdx;23sin(lnx)dx;24x5dx；1 x225(9 x2)3x6dx；26tan5tsec4tdt；27sin3x cosxdx；28tan xcos6xsin4xdx；29dx1sin xsin4xcos4x；301sin xdx；312xdx；3214xarctan xdx；33xex(x1)dx；34arcsinx1 xdx；35xln(1 x2)dx；36ln(x1)x1dx（B B）1。（1999、数学一）设f f(x x)是连续函数F F(x x)是f f(x x)的原函数,则(（A）当f f(x x)是奇函数时,必是偶函数。28.）（B）当f f(x x)是偶函数时，F F(x x)必是奇函数.(C）当f f(x x)是周期函数时，F F(x x)必是周期函数.（D)当f f(x x)是单调增函数时，F F(x x)必是单调增函数.arctane ex xdxdx.2.(2006、数学二）求 e ex x3。(2003、数学二)计算不定积分xearctan x(1 x)232dx.4.(2009、数学三）计算不定积分ln(11 x)dx(x 0).x29