晶体的对称性理论

1第三章 晶体的对称性理论23.1 对称性概念，对称动作和对称要素3.1 对称性概念，对称动作和对称要素3.1.1 基本概念1、等同图形：1、等同图形：几何学上，将具有对称形象的物体的各部分称为等同图形。等同图形分为相等图形和不相等图形2、相等图形：2、相等图形：完全迭合的等同图形。(或称全等图形，例如花瓣)3、不相等图形：3、不相等图形：互成镜像的等同而不相等图形。(例如左右手)4、对称图形：4、对称图形：由两个或两个以上的等同图形构成，并且很有规律地重复着。对称图形中既包括相等图形又包括不相等图形。35、对称动作：将对称图形中某一部分中的任意点带到一个等同部分中的相应点上去，使新图形与原图形重合的动作。如：旋转、反映、倒反、平移6、对称要素：进行对称动作时必须依据的几何元素，如点、线、面等。7、对 称 性：物体中各等同部分在空间排列的特殊规律性。8、阶次：对称图形中所包括的等同部分的数目，它代表着对称程度的高低。4举例：一朵花，有五个花瓣对称图形：花等同图形：一个花瓣，是相等图形阶次：5 对称动作：旋 转对称要素：直线56举例 雪花图案：六个角。对称图形：雪花等同图形：一个角，相等图形阶次：6 6对称要素：直线对称动作：旋转自然界八种雪花的图案73.1.2 基本对称动作和对称要素3.1.2 基本对称动作和对称要素1、旋转轴-旋转对称要素：旋转轴，符号 n对称动作：旋转符号：L(),为基转角，n为旋转轴的轴次，即阶次，二者的关系n=360/特点：一条线不动，旋转能使相等图形重合，不能使左右手重合。82、反映面反映对称要素：反映面，符号：m对称动作：反映，符号：M阶次：2一个面不动，反映能使左右手重合，一次反映不能使相等的图形重合特点：两个等同图形中相应点连线反映面93、对称中心-倒反对称要素：对称中心，符号：i对称动作：倒反符号：I 阶次：2一点不动，等同部分对应点连线通过对称中心倒反只能使左右手重合，一次倒反不能使相等图形重合104、点阵-平移对称要素：点阵对称动作：平移符号：T阶次：平移只能使相等图形重合，不能使左右手重合115、反轴=旋转+倒反(点在线上)对称要素：反轴，符号：n复合对称动作：旋转+倒反(点在线上)又称旋转倒反阶次：如果旋转轴的轴次n是偶数，那么反轴的阶次=n如果旋转轴的轴次n是奇数，那么反轴的阶次=2n旋转倒反动作只能使左右手重合，不能使相等图形重合。12136、螺旋轴-旋转+平移复合对称动作：旋转+平移（又称螺旋旋转）符号：L()T阶次：与螺旋轴相应的对称性的阶次是螺旋旋转动作只能使相等图形重合，而不能使左右手重合。14三、举例说明三重轴、三重螺旋轴、三重反轴示例15四重轴、四重螺旋轴、四重反轴示例16177、滑移面-反映+平移复合对称动作：反映+平移，又称滑移反映符号：MT 阶次：与滑移面相应的对称性的阶次是滑移反映动作只能使等同或不相等(左右手)图形重合，进行一次滑移反映不能使相等图形重合。18192021七类对称要素的总结(1)旋转轴、反映面、对称中心、点阵是简单对称要素，只与一种简单对称动作对应；而反轴、螺旋轴、滑移面是复合对称要素，对应的是复合对称动作。(2)含倒反、反映的动作只能使不相等(左右手)图形重合，而不能使相等图形重合；不含倒反、反映的对称动作只能使相等的图形重合，而不能使含左右手的图形重合；22(3)对称轴、反映面、对称中心、反轴，对应的对称动作是点动作点动作，在动作中至少有一点不动，既存在于无限结构中，又存在于有限晶体外形的结构中；点阵、螺旋轴、滑移面，对应的对称动作是空间动作空间动作，每一点都移动了只能存在于无限结构中，而不能存在于有限晶体外形的结构中。旋转轴、螺旋轴统称对称轴；反映面、滑移面统称对称面。旋转轴、螺旋轴统称对称轴；反映面、滑移面统称对称面。233.1.3 对称要素在点阵中的取向3.1.3 对称要素在点阵中的取向在空间点阵结构中，任何旋转轴、螺旋轴、反轴必定和点阵中的一组直线平行，而和一组平面点阵垂直，同理，任何反映面和滑移面必定和点阵中一组平面点阵平行而和一组直线点阵垂直。证明：以三重旋转轴为例，假设 是属于该点阵对应的平移群一个向量，因为有三次旋转轴存在。所以，一定有、两个向量和 用三次旋转轴的对称操作彼此重合。1T?2T?3T?1T?24将分解为与三次轴垂直的分量和与其平行的分量，则有：所以,也是平移群中的向量每隔又有一个结点，有一组直线点阵与三次轴平行。又且二者互不平行，且都垂直于三重轴，所以，该旋转轴垂直于、组成的平面。以上结论得证！123T T T?、123a a a?、123c cc?、1230aaa?12313cccc?12313cTTT?13c?1212aaTT?2323aaTT?12TT?23TT?3253.1.4 晶体中对称轴和反轴的轴次3.1.4 晶体中对称轴和反轴的轴次晶体内部的结构是以点阵结构为基础的，其结构要受到点阵结构的限制。晶体中的对称轴和反轴的轴次不能是任意的，只能有1、2、3、4、6 五种轴次。请同学们在课后自己证明这个结论！请同学们在课后自己证明这个结论！然而，近年来对准晶体的观测和研究中，发现有5次轴的对称图像。263.2 晶体的宏观对称性及32个点群3.2 晶体的宏观对称性及32个点群3.2.1 晶体宏观对称要素晶体的宏观对称性：晶体在宏观观察中所表现的对称性。宏观地观察晶体，也就是观察晶体的外形，晶体具有一定的规则整齐的外形，在界面处的界面要素(晶面、晶棱、晶点)之间有一定的对称关系，晶体外形的规则多面体是有限的对称图形。平移对称要素不存在于晶体结构中，与点动作相应的对称要素才能存在于晶体的宏观对称性中。27与点动作相应的对称要素：旋转轴，反映面，对称中心，反轴旋转轴，反映面，对称中心，反轴独立的八种对称要素：i、m、1、2、3、4、6、由于就是对称中心，就是反映面，3i，3m，它们不看作为独立对称要素，所以都没有列入。另外，虽然不算独立对称要素，但用它反映六方晶系的某些晶体的宏观对称性时比较方便，因此有时也采用。4123662829303.2.2 宏观对称要素的组合及32种对称类型3.2.2 宏观对称要素的组合及32种对称类型描述晶体宏观对称性的宏观对称要素主要只有八种。一个具体晶体外形所具有的宏观对称要素不外乎是这八种对称要素的一种或几种的组合。下面举例分析几个多面体模型中存在的对称要素及其组合情况：通过以上分析可见，有若干组晶体模型的外形虽然不同，但它们所具有的对称要素的种类，数目和组合方式却是完全一样的，也就是说它们虽然外形不同，但具有相同的对称性。对称要素的一种组合，就对应着一种对称类型。31问题：八种宏观对称要素之间究竟存在着多少种组合方式？即晶体的宏观对称类型有多少种呢？问题：八种宏观对称要素之间究竟存在着多少种组合方式？即晶体的宏观对称类型有多少种呢？组合要符合如下条件：(1)对称要素间是相互作用的，两个对称要素相组合，必然产生新的对称要素来；(2)对称要素间的组合不是任意的，需要满足：A-参加组合的对称要素必须至少相交于一点。这是因为晶体的外形是有限的、封闭的多面体。B-晶体是一种点阵结构，对称要素的组合结果不容许产生与点阵结构不相容的对称要素来。(5、7等)32人们在研究对称要素的组合规律时曾建立起一系列的公理和定理。这里简单介绍其中比较重要的几条：(1)轴与轴的组合(1)轴与轴的组合A、一个n次轴及与之垂直的一个二次轴存在时，则必有n 个二次轴存在；B、二次轴和二次轴相交，交角为，则必产生一个n次轴，其基转角为2，并与这两个二次轴垂直；33(2)面与轴的组合A、一个反映面包含着n次轴，则必有n个反映面都包含着这n次轴，这些反映面的夹角为360/2nB、两个反映面交角为，则交线为一n次轴，其基转角为2 。34(3)轴、面、心的组合偶次轴、与偶次轴相垂直的反映面、对称中心三者之中二者组合都会产生第三者35按以上的原则和组合定理，将八种晶体的宏观基本对称要素 i,m,1,2,3,4,6,进行组合，一共能够得到32种组合方式，也叫32个点群。无论多复杂的晶体外形，它定属于32点群中的一个，绝不会找不到它所属的对称类型，也不会再超出32个点群以外的新类型。32个点群是研究晶体宏观对称性的依据。把对称类型称为点群，即对称要素所规定的动作构成数学上群的元素，又因为在组合中要求对称要素至少必须相交一点。43632种对称类型，它们的符号表示及每一种对称类型中所包含的全部对称要素等均列入下面的表3.3中37383.2.3 点群按特征对称要素分类及点群的表示符号点群按特征对称要素分类及点群的表示符号32个点群按其中包含的特征对称要素划分为七个晶系，以及根据对称性的高低将七个晶系分为高，中，低三个等级，见表3.4点群的符号有两种，一种是熊夫利符号，一种是国际符号(简介)393.3 晶体的微观对称性及230个空间群3.3 晶体的微观对称性及230个空间群所谓晶体的微观对称性就是晶体微观结构中的对称性除八种基本对称要素之外，空间动作要素：点阵、滑移面、螺旋轴在晶体结构中也能出现，它们统称微观对称要素，类似于宏观对称要素组合成32个点群的情况一样，所有的微观对称要素在符合点阵结构(14种布喇菲格子)基本特征的原则下，能够得到230种组合方式。它反映了晶体结构的微观对称性。230种晶体微观对称性也称为230个空间群个空间群。任何一个晶体就其结构而言，必定属于这230种中的一个，不会出现超出之外的新类型，也不会在其中找不到。40已知的晶体结构大都属于230种空间群中的100种左右，重要的空间群只有30个左右。32种点群描述的是晶体的宏观对称性(外型及对应的各宏观物理和化学性质)。230种空间群描述的是晶体的微观对称性(结构)。注：230个晶体微观类型，称作230个空间群，是由于每种微观对称类型中必然含有使结点发生空间平移的对称要素，且每种微观对称类型中全部对称要素之间的关系均满足数学上群的定义。41实习三：观察模型的对称结构4243本章小结1、关于对称的一些概念，对对称的新认识；、关于对称的一些概念，对对称的新认识；2、简单对称动作和复合对称的理解和掌握；、简单对称动作和复合对称的理解和掌握；3、对称要素的组合，轴、对称要素的组合，轴/轴，面轴，面/轴，轴轴，轴/面面/心；心；4、对、对32个点群的理解；个点群的理解；5、对、对230个空间群的理解。个空间群的理解。