资源描述
点(、$, j)不在根轨迹上。(3)求g = 0.5等超调线与根轨迹的交点方法一60，设等超调线与根轨迹交点s坐标实部为-b，则s=-Gj、：3o,AA, BJ(s + b j*3b )(s + b + j .3b) = s 2 + 2as +16令等式两边s各次项系数分别相等，得2b = ab = 24b 2 = 16a = 4jj方法二 由特征方程s2 + 2as +16 = 0，按照典型二阶系统近似计算得: 2 = 16 2,可由开环极点之和等于闭环极点之和求得另一实轴上的极点坐标- 0.17-0.17-O 3 =-0.5 - 0.5 n -。3 =一系统闭环传递函数为(s + a)/4s 2(s +1)s + 0.07Gb (s)= + (s + a)/4、3 + 4s 2 + s + a=萄盂2-4-7s2(s+1)已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ：K (1 - 0.5s) G (s)= s(1 + 0.25s)试绘制K由0 t +8变化的闭环根轨迹图；求出使系统产生相重实根和纯虚根时的K值。K 由 0 t +g1)2) 解】：(1)根轨迹方程为K(1 - 0.5s), 2K(s - 2)G (s) = -1 n= 1s(1+0.25s)s(s+4)变化，为0根轨迹。开环零点-z = 2，开环极点-p1 = 0, - p2=-4。实轴上的根轨迹在区间-4,02,+8) 。 分离点和会合点s + 0.074Q(s)P(s) - P(s)Q(s) = 0n s 2 + 4s 一 (s 一 2)(2s + 4) = 0解得= 2 + 23 = 5.46为会合点,s2 = 2 2、：3 = -1.46 为分离点。 根轨迹与虚轴的交点特征方程为s 2 + (4 - 2 K) s + 4 K = 0令s = jw，代入特征方程得4 一 2K = 0-W 2 + j(4一 2K)W + 4 K = 0 n4K-co= = 0 n 该系统根轨迹如题2-4-7解图所示。(2)实轴上根轨迹的分离点和会合点即为相重实根，其K值分别为s(s + 4)2(s - 2)s=-1.46= 0.54K = s(s + 4)1 = 2(s - 2)= 7.46s=5.46纯虚根时的K值即为根轨迹与虚轴交点的K值，由(1)所求得之K = 2。2-4-8系统方框图如题2-4-8图所示，试绘制K由0t+8变化的闭环根轨迹图。解】：(1)根轨迹方程为04KC (s 1i ?P(2 - s)(3 - s)(2 s)(3 s) =(s 2)( s 3)K由0 T+8变化为零度根轨迹。 开环极点-pi = 2, - p2 = 3。 实轴上的根轨迹在区间( ,23, + Q。 该系统根轨迹如题 2-4-8 解(1)图所示 (2)根轨迹方程为(2 s)(3 s)1 二(s 2)( s 3)K由0 T+8变化为一般根轨迹。 开环极点 p = 2 , p = 3 。12 渐近线与实轴的交点：b= 2+3 = 2.5，2渐近线倾角：0 = 90。 实轴上的根轨迹在区间2 , 3 。题2-4-8解图 分离点Q (s) P (s) - P (s) Q (s) = 0 n 2 s - 5 = 0 n s = 2.5 复平面上的根轨迹与渐近线重合，如题2-4-8 解图(2)所示。1)2)题 2-4-8 解图2-4-9单位负反馈系统开环传递函数为 G(s)(K占計绘制K由0T+s变化的闭环根轨迹图。【解】等效根轨迹方程为Ks(s +1) = 1,当K由0 t +s时为零度根轨迹。(s 2) 开环零点-Z = 0, -z2 = 1，开环极点-P1 = 2。n-m = 1，有一个无穷远的极点。 实轴上的根轨迹在区间2,3。 分离点和会合点Q(s) P( s) P( s) Q(s) = 0 n (2s + 1)(s 2) s 2 s = 0 n s 2 4s 2 = 0解得s1 = 4.45 为分离点，s2 =-0.45 为会合点。K1 = 0.10, K = 9.90。 根轨迹与虚轴的交点特征方程为Ks2+(K 1)s+1=0令s = jw，代入特征方程得Kw 2 + j (K 1)w + 2 = 0 nK = 1w = U2K 1 = 0nKw 2 + 2 = 0 复平面上的根轨迹是圆，如题 2-4-9 解图所示。 2-4-10 系统方框图如题 2-4-10 图所示，试求：(1) 当闭环极点为s = -1 + 3 j时的K,K值；(2) 在上面所确定的K1值下，当K由0 T+8变化的闭环根轨迹图。【解】：(1)特征方程为 s2+K1Ks+K =01 + Kf闭环极点为s = -1 +3j时的系统特征方程为题 2-4-10 图(s +1)2 + 3 = 0 n s 2 + 2s + 4 = 0两方程联立求解得：；K1K = 2 n ；K1 = 0.5K = 4K = 4(2)系统开环传递函数为G(s) H (s) = K (1 + 0.5s) s2等效根轨迹方程为：0.5K (s + 2) =-1s2当K由0 t+8时为一般根轨迹。 开环零点-z = -2，开环极点-p = 0。1 1,2 实轴上的根轨迹在区间(-, - 2。 会合点Q(s) fP(s) - P(s) fQ(s) = 0 n s2 - (s + 2)2s = 0 n s2 + 4s = 0 解得s = 0为起点，s = -4为会合点，K = 16。12 复平面上的根轨迹是圆，如题2-4-10解图所示。2-4-11系统闭环特征方程分别如下，试概略绘制K由0T+8变化的闭环根轨迹图。1) s3+(K-1.8)s2+4Ks+3K =0(2) s3+3s2+(K+2)s+10K =0题 2-4-11( 1 )解图【解】：(1)由系统闭环特征方程得s3-1.8s2 +K(s2 +4s+3)=0等效根轨迹方程为K (s 2 + 4s + 3) K (s + 3)( s +1)4s3 -18s2s2(s-1.8)K由0 T+8变化为一般根轨迹。 开环零点 -z1 = -1, - z2 = -3 ，开环极点-p12 - 0, -p3 -1.8。 实轴上的根轨迹在区间(-,-3-1,1.80 分离点和会合点Q(s)P(s) -P(s)Q(s) - 0 n s4 + 8s3 + 1.8s2 - 10.8s - 0 n s(s - 1)(s2 + 9s +10.8) - 0解得s = 0 (起点)，s = 1 (分离点)，s =-7.6 (会合点)，s =-1.4 (舍去)。1234 根轨迹与虚轴的交点 根据特征方程列劳斯表s 314Ks 2K -1.83KK - 1.8 s 03K令s 1行等于零，得K = 2.55，代入s2行辅助方程，得(2.55 -1.8) s 2 + 3 x 2.55 = 0 n s = j3.2 该系统根轨迹如题 2-4-11( 1)解图所示。2)由系统闭环特征方程得s3 + 3s 2 + 2s + K (s +10) = 0等效根轨迹方程为人(s + 10) =-1s( s + 1)( s + 2)K由0 T+8变化为一般根轨迹。 开环零点 - z1 = -10 ，开环极点 - p1 = 0 , - p 2 = -1 , - p3 = -2 渐近线与实轴的交点 y =-1-2 +10 = 3.52渐近线倾角9 = (2k +1)180=90 (k = 0,1)2 实轴上的根轨迹在区间-10,-2-1, 0。 分离点2s3 +33s2 +60s+2 = 0Q( s)P(s) - P( s)Q(s) = 0 n解得s = -0.43 (分离点)，s =-1.59 (舍去)，s =-14.48 (舍去)。 1 2 3 根轨迹与虚轴的交点根据特征方程列劳斯表s31K + 2s2s1s03(K + 2)-10 K310K10K令s 1行等于零，得K = 6，代入s2行辅助方程，得763s 2 +10 x = 0 n s = j1.77题 2-4-11( 2 )解图 该系统根轨迹如题 2-4-11(2)解图所示。为G(s)=(s + a)(s +1)(1)试概略绘制a由0 T+8和0 TY变化的闭环根轨迹图；( 2 )求出其单位阶跃响应为单调衰减、振荡衰减、等幅振荡、增幅振荡、单调增幅时 的 a 值。【解】(1)特征方程为s2 + (a + 1)s + a +1 = 0，等效根轨迹方程为：a (s +1)1/1、八3、(s + -)2 + (亍2(a) a由0 T+8变化时为一般根轨迹。1 R 开环零点-z =-1，开环极点-p =-土戶1 1,2 2 2 实轴上的根轨迹在区间(-8, -1。 会合点Q(s) P(s) P(s) Q(s) = 0 n s 2 + s +1 - (s + 1)(2s +1) = 0 n s 2 + 2s = 0解得s1 = 0 (舍去), 出射角0-p10s2 =-2 (会合点)。=一计s=-2=180+z(i+j= -15 0-Z90 = 1 5 0题 2-4-12 解图2 复平面的根轨迹是圆心位于(-1,j0)、半径为1的圆周的一部分，如题2-4-12解图实 线部分所示。(b)a由0T-g变化为零度根轨迹。 实轴上的根轨迹在区间-1, +8) 。 会合点计算同上。会合点为$1 = 0， a = -1 o 复平面的根轨迹是圆心位于(-1,j0)、半径为1的圆周的另一部分，如题2-4-12解 图虚线部分所示。(2)由根轨迹看出，根轨迹与虚轴的交点在原点，a = -1o根轨迹在实轴上重合时，a = 3。根轨迹在复平面上时-1 a 3 o结论：系统无等幅和增幅振荡。在-1 a 3时为单调衰减; a -1时为单调增幅。2-4-13系统方框图如题2-3-13图所示，绘制a由0 T+8的闭环根轨迹图，并要求:(1) 求无局部反馈时系统单位斜坡响应的稳态误差、阻尼比及调节时间；(2) 讨论a = 2时局部反馈对系统性能的影响；(3) 求临界阻尼时的a值。Rtk 曾E (s尸甕 1 C(s卜旷s (s +1) Ias L题 2-4-13 图解】：系统开环传递函数为1G ( )s(s +1)Gk (s)=s 2+s + askas1 +系统特征方程为s 2 + s + as +1 = 0等效根轨迹方程为a由0 T+8变化为一般根轨迹。ass 2 + s + 1s(s + 1) 开环零点-z1 = 0，开环极点-p12 = -0.5 士 j0.87。 实轴上的根轨迹在区间(-, 0。 会合点Q(s)P(s) P(s)Q(s) = 0 n s2 + s +1 - s(2s +1) = 0 n s2 一 1 = 0解得 s = 1 (舍去)， s = -1 (会合点)。会合点时的 a 值12s2 + s +1.a = 一 = 1ss=-1 复平面的根轨迹是圆心位于(0,j0)、半径为1的圆周的一部分，如题2-4-13解图所 示。(1) 稳态误差系统开环传递函数为G (s) =,1型系统，k = 1, e = 1。ks(s + 1)v ss阻尼比和调节时间方法一：根据题意a = 0，对应根轨迹起点 = cos P = cos(arctg087)= 0.533t = = 6(s) (A = 5%)s b 0.5方法二： 对应开环传递函数有ro = 1n = 0.52 = 1 1，系统无超调，稳定 性变好。但由于其中一个实根更靠近虚轴，使调节时间增长。系统仍为I型，开环增益减小， 斜坡信号输入时稳态误差增大。(3) 系统闭环根轨迹在实轴上出现会合点时为临界阻尼情况，此时a = 1。从特征方程 上也可以直接看出。2-4-14设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s) = 9确定a值，使根轨迹分别s2(s + 1)具有：0，1，2 个分离点，画出这三种情况的根轨迹。【解】：根轨迹分离点由下式确定s 2(s +1) - (s + a)(3s 2 + 2s) = 0 n s2s 2 + (1 + 3a) s + 2a = 0s1 = 0，s2,3一(1 + 3a)2 (1 + 3a)2 一 16as1为原点处重极点的分离点，s2实轴上其他的分离点和汇合点。（ 1） 0 个分离点只要原点处有两个极点，无论何种情况，至少有一个分离点，所以令a = 0，则开环传递函数为G （s） = s （s + 1）当K由0T-8变化，即零度根轨迹时没有分离点。其根轨迹如题2-2-14解图（1）所示。（ 2） 1 个分离点对于一般根轨迹，si是一个分离点。所以当s2,3不存在，即（1 + 3a）2 - 16a 0 , 9 a 1时，根轨迹具有一个分离点。 设 a = 0.5s 2( s + 1)渐近线倾角和渐近线与实轴的交点分别为0 =90-a =-0.25实轴上的根轨迹在区间-1, 0.5 。其根轨迹如题2-2-14 解图（2）所示。（3）2个分离点 当a 1时，有两个分离点。其中a 1对应零度根轨迹的情况。设a = 0.1亠、K（s + 0.1）s 2( s + 1)G （s）=渐近线倾角和渐近线与实轴的交点分别为0 = 90-a = -0.45实轴上的根轨迹在区间-1, 0.1。分离点s1,2 = 0,-0.4会合点s3 =-0.25其根轨迹如题 2-2-14解图（3）所示。（ 2）题2-2-14解图
展开阅读全文