专题01 相似性及比例线段(基础)(沪教版)

专题 01 相似形及比例线段(基础)【目标导向】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质；3、探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征，并根据相似多边形的特征识别两个多边形是否 相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力。【知识点精讲】 要点一、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形.要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 要点二、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，我们就说它们是相似多边形 要点诠释：(1)相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质 (2)相似多边形对应边的比称为相似比要点三、比例线段1.成比例线段：对于四条线段a b、c、d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段2.比例的性质：1)基本性质：若 a:b=c:d ，则 ad=bc；2)ac合比性质：如果b =万c+d如果acbd那么a-b c-dbdac等比性质：如果b=d =ka +c a c那么=_=_=k.b+d b d(4)比例中项：若a:b=b:c，则b2 =ac， b称为a、c的比例中项.要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也 可以。要点四、黄金分割如果点P把线段AB分割成AP和PB,(APPB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段A的黄金分割点.AP刍AB0.618AB(叫做黄金分割值).要点诠释：线段的黄金分割点有两个【精讲例题】类型一、相似图形a1. 下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（ 1 ）菱形都相似；（ 2 ）等腰直角三角形都相似；（ 3）正方形都相似；（ 4 ）矩形都相似；（ 5 ）正六边形都相 似A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C.【解析】解：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（ 2）等腰直角三角形都相似，正确；（ 3）正方形都相似，正确；（ 4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（ 5 ）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3个.故选：C.【总结升华】此题主要考查了相似图形，应注意： 相似图形的形状必须完全相同； 相似图形的大小不一定相同； 两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况.举一反三：【变式 1】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以 后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是 1:2，虽然它们的摆放方法、 位置不一样，但这并不会影响到它们的相似性.类型二、相似多边形.如图，已知四边形ABCD相似于四边形占月乜7/,求四边形占馭CD的周长.【答案与解析】四边形佔UD相似于四边形占月匚DAB BC CD DA 7568 h n 丽一7丽丽，乔厂丽莎 ./0二126 C(Z)f = W.8, 口理二 14.4四边形肿 CD的周长=126 + +102 + 14.4 = 46.8.【总结升华】先根据相似多边形的对应边的比相等，求出四边形占月d 的未知边的长，然后即可求出 该四边形的周长 举一反三：【变式】如图所示的相似四边形中，求未知边x、尹的长度和角的大小.【答案】根据题意，两个四边形是相似形，得 普二科，解得兀f 厂药二 360- (77 + 117 + 530)二 S3C.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M,分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、MFGN,使矩形MFGN与矩形ABCD相似令MN=x当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？【答案与解析】 解：矩形MFGN与矩形ABCD相似,当 = |时，s有最大值，为#.总结升华】借助相似，把最值问题转移到函数问题上，是解决这类题型最好方法之一.类型三、比例线段4. (兰州模拟)若a： b=2： 3,则下列各式中正确的式子是()A. 2a=3b B. 3a=2bC. D. a 3b 3【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案.答案】 B.【解析】A、2a=3bna： b=3： 2,故选项错误；B、3a=2bna：b=2: 3，故选项正确；C、b:*a=2： 3，故选项错误；a3D、a b = lna： b=3：2,故选项错误.故选 B.总结升华】考查了比例的性质.在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积 举一反三：【变式】判断下列线段a b、c、d是否是成比例线段:（1）a=4， b=6， c=5， d=10；（2）a=2，b=4i，c=2#3，d=/5 .说_4_2c_5_l【答案】（1） J线段a、b、c、d不是成比例线段.b63, J 10 2厂，线段a、b、c、d是成比例线段.5. 主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现站在舞台AB 的黄金分割点点C处，则下列结论一定正确的是（）AB： AC=AC： BC；AC-6.18 米； AC =10（、： 5 -1）米； BC =10（3 - 5）米或 10&5 -1）米A. B. C. D. 【答案】 D.【解析】解：AB的黄金分割点为点C处，若ACBC，贝9 AB： AC=AC： BC,所以不一定正确； AC0.618AB12.36 或 AC-20 - 12.36=7.64,所以错误；若 AC 为较长线段时,AC=：AB=10（l5 - 1）,斥一 1BC=10 （3-血）；若BC为较长线段时，BC= $AB=10 5 - 1）, AC=10 （3-血），所以不一定正2确，正确.故选 D【总结升华】黄金分割知识的理解和运用要结合生活实践.【精练巩固】一.选择题1.在比例尺为1：1 000 000的地图上，相距3 cm的两地，它们的实际距离为（）A.3 km B.30 km C.300 km D.3 000 km2. （2016滨江区模拟）由5a=6b （aO）,可得比例式（）A. B.C.D. 6 a5 ab 6b 53如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是（）A.相似B.平移C.轴对称D.旋转4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，贝9小鱼上的点a, b）对应大鱼上的点（）5. 一个三角形三边的长分别为3， 5， 7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，贝此三角形其它两边 的和是（ ）A. 19B. 17C. 24 D. 216. AABC与A1B1C1相似且相似比为|，A1B1C1与ABC2相似且相似比为扌，则MBC与ABC2的相似比为（D.A. |二. 填空题7. 两地实际距离为1 500加，图上距离为5 cm,这张图的比例尺为.8. (浦东新区一模)已知，那么=.y 3 i+y9判定两个多边形相似的方法是：当两个多边形的对应边,对应角时，两个多边形相似.x 2 x + yxx - yio已知一=，贝 y=，=，=y 3 yx + yx + y11. 两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是40， 60，贝另一个三角形的最大角为,最小角为.12. (庆阳校级月考)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为 4、5、6 另一个三角形框架的一条最短边长为2,则另外一个三角形的周长为三 综合题abc13已知3 = 5 = 7a + 2b 3c求的值.a + c14.(1)已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3dcm,b=2cm,c=6cm,求线段d的长；(2)已知线段a、 b、c, a=4cm, b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项，求线段c的长.【精练答案及解析】一、选择题1. 【答案】B.【解析】图上距离：实际距离=比例尺.2. 【答案】D.b 5【解析】/、nab=30，故选项错误；6 aB、nab=30，故选项错误；5 aC、n6a=5b，故选项错误；b 6s. 1卜 1D、n5 (a - b) =b，即 5a=6b，故选项正确. b 5故选D.3. 【答案】A【解析】根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属 于相似变换故选 A4【答案】 A【解析】 由图可知，小鱼和大鱼的相似比为1：2，若将小鱼放大 1 倍，则小鱼和大鱼关于原点对称.5. 【答案】C【解析】相似三角形对应边的比相等6. 【答案】A25【解析】相似比AB : A1B1= ，A1B1 - A2B2=，计算出AB：A2B2.二、填空题7. 【答案】 .1：30 000【解析】比例尺=图上距离：实际距离.8. 【答案|【解析】T的两个内项是尹、1,两个外项是X、3,y k根据合比定理，知 =4；z 1又上式的两个内项是X和4,两个外项是x+y和1, x+y 49. 【答案】成比例；相等.10.5 2 1【答案】3,5,5【解析】提示：设x = 2k -y =3k，即可得.11. 【答案】 80， 40.12. 【答案】 7.5.【解析】设另一个三角形周长是x.一个三角形的三边长是4,5,6, 这个三角形的周长为： 4+5+6=15.与它相似的另一个三角形最短的一边长是2,x2 i4 解得： x=7.5.另一个三角形的周长是7.5. 三、解答题abc13.【解析】设3 = 5=7 =k则 a=3k ,b=5k ,c=7ka + 2b 一 3c 3k+10k-21k4a+c3k+7k514.【解析】解：(l)Ta、b、c、d是成比例线段，.a： b=c： d,*.*a=3cm, b=2cm, c=6cm,. d=4cm；(2) ：线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm, b=9cm. c2=ab=36,解得： c=6,又线段是正数，. c=6cm.