带电粒子在均匀电磁场中的运动

一、引言1二、认识等离子体1三、单粒子轨道运动53.1带电粒子在均匀电场中的运动学特性53.1.1匕与e垂直或平行时带电粒子的运动轨迹53.1.2与E成任一夹角时带电粒子的运动轨迹53.2带电粒子在均匀磁场中的运动学特性63.2.1洛伦兹力63.2.2粒子的初速度v垂直于B.703.2.3粒子的初速度v与B成任一夹角时803.3带电粒子在均匀电磁场中的运动学特性103.3.1 *、 E和B两两相互垂直103.3.2v与E成任一夹角，B垂直它们构成的平面.12 0四、 小结16参考文献16等离子体的单粒子轨道运动带电粒子在均匀电磁场中的运动摘要：等离子体是由电子、离子等带电粒子以及中性粒子（原子、分子、微粒 等）组成的。只讨论单个粒子在外加电磁场中的运动，忽略粒子间的相互作用， 即单粒子轨道运动，它是描述等离子体运动状态的三种方法之一。这种方法能给 出带电粒子运动的直观物理图像，是进一步了解复杂运动的基础。粒子轨道理论 的基本方法是求解粒子的运动方程。本文中，我们着重介绍带电粒子在均匀电磁 场中的运动特性。关键词：等离子体；带电粒子；电磁场；轨迹Abstract, a plasma is an ionised gas, consisting of free electrons, ions and atoms or molecules. It is discussed that a single particle moves in an external electromagnetic field, which is one of methods described the plasma motion. This method can give a concise physical picture about the charged particles. The solution of particles motion is the basic method of particle orbit theory. In this thesis, I highlight the motion characteristics of the charged particle in even electrical and magnetic field.Key words： Plasma; charged particles; electromagnetic field; track一、引言物质的三态（固态、液态和气态）人们早已司空见惯，可是被称为物质第四 态的等离子体，尽管占宇宙中可见物质的99%，可是我们对它的认识依然很少。 实际上，认识等离子体的运动规律是人类认识自然界，认识地球空间环境，进而 冲出地球，走向太空的必要条件。看似神秘的等离子体其实广泛存在于我们的这 个世界，从炽热的恒星、灿烂的气态星云、浩瀚的星际间物质，到多变的电离层 和高速的太阳风，都是等离子体的天下。21世纪人们已经掌握和利用电场和磁 场产生来控制等离子体。最常见的等离子体是高温电离气体，如电弧、霓虹灯和 日光灯中的发光气体，又如闪电、极光等。金属中的电子气和半导体中的载流子 以及电解质溶液也可以看作是等离子体。在地球上，等离子体物质远比固体、液 体、气体物质少。在宇宙中，等离子体是物质存在的主要形式，占宇宙中物质总 量的99%以上，如恒星（包括太阳）、星际物质以及地球周围的电离层等，都是等 离子体。简单的将等离子体分类，可以认为等离子体是由电子、离子以及未电离的中 性粒子组成，宏观上呈现准中性。单粒子轨道运动作为描述等离子体运动状态中 最简单的一种，即在给定的电磁场中的运动，我们只考虑单个粒子在场中的运动， 而忽略离子间的相互作用以及粒子对场的反作用。粒子轨道理论适用于稀薄等离 子体，对于稠密等离子体也可以提供某些描述，但由于没有考虑集体效应，局限 性很大。粒子轨道理论基本方法是求解粒子的运动方程。利用粒子轨道运动来描 述等离子体的行为的前提是假定磁场和电场是预先确定的，不会受到带电粒子运 动的影响。二、认识等离子体大家早已熟知物质的固体、液体和气体三态。将固体加热到熔点时，粒子的 平均动能超过晶格的结合能，固体会变成液体；将液体加热到沸点时，粒子的动 能会超过粒子之间的结合能，液体会变成气体。如果将气体进一步加热，气体则 会部分电离或完全电离，即原子的外层电子会摆脱原子核的束缚成为自由电子， 而失去外层电子的原子变成带电的离子。当带电粒子的比例超过一定程度时，电 离气体凸显出明显的电磁性质，而其中正离子和负离子（电子）的数目相等，因 此被称为等离子体（plasma），又被称为物质的第四态。“plasma” 一词最早在生物学名词原生质中出现。1839年，捷克生物学家浦 基尼最先将“原生质”的名词引入科学词汇。它表示一种在其内部散布许多粒子 的胶状物质，是组成细胞体的一部分，也称为“血浆”。1929年，郎缪尔和托 克斯在研究气体放电时首次将“ plasma” 一词用于物理学领域，用来表示所观察 到的放电物质，该词来源为古希腊语兀加四a ，即为可塑物质或浆状物质之意， 我国大陆学者将之翻译成“等离子体”，而台湾学者翻译成“电浆”。根据印度天体物理学家沙哈的计算，宇宙中的99%的可见物质都处于等离子 体状态。从炽热的恒星、灿烂的气态星云、浩瀚的星际见物质，到多变的电离层 和高速的太阳风，都是等离子体的天下。地球上的生物生活在另外的1%中，人 们最早见到的等离子体是火焰、闪电和极光。但当今人类接触到越来越多的等离 子体，如荧光灯和霓虹灯里炫目的电弧。等离子体显示屏中彩色的放电、聚变装 置中燃烧的等离子体，尽管它们大多是由人工产生的。固、液、起三态仅仅存在于低温高密度的参数区域，而等离子体存在的参数 空间非常宽广。从星际空间的稀薄等离子体到太阳核心的致密等离子体，粒子数 密度n从103m-301033m-3，跨越了 30个量级（采用国际单位制）；从火焰的低 温等离子体到聚变实验的高温等离子体，温度T从10-1 eV至0106eV跨越了 7个量 级（采用电子伏特为单位）。等离子体物质第四态畲度(cm 3)n / cm 3图1等离子体存在的参量空间图2常见的等离子体形态包括人造等离子体地球上的太空和天体物理中的等离子体荧光灯、霓虹灯灯管中的电离气体等离子体火焰（上太阳和其他恒星（其中等离子 体由于热核聚变供给能量产核聚变实验中的高温电离气体部的高温 部分）生）电焊时产生的高温电弧，电弧灯中的电弧闪电太阳风火箭喷出的气体等离子显示器和电视r 4 l球状闪电大气层中行星际物质（存在于行星之间）星际物质（存在于恒星之间）太空飞船重返地球时在飞船的热屏蔽层前 端产生的等离子体的电离层极光星系际物质（存在于星系之间）木卫一与木星之间的流量管在生产集成电路用来蚀刻电介质层的等离吸积盘星际星云子体等离子球中高层大 气闪电在地球上自然存在的等离子体之所以很少见，是因为在常温下气体的电离度 非常低。所谓电离度，就是气体中被电离的粒子数目与中性粒子数目之比。在气 体处于热力学平衡时，电离度a 1由沙哈方程确定：nT 3/2一一（1）p 卜 p 2.4 x 1021e饥/kTnn式中，气和气分别为带电粒子数密度和中性粒子数密度，t为温度，k为波尔兹 曼常量（1.38x 10一23 J /K）,U为对应气体的电离能（最外层电子逸出所需要的 能量）。以氮气为例，在常温下，取T = 300K，n = 3x1025m-3,U. = 14.5eV，可以求得n,n. p 10-122。由此可知，在常温下，气体电离度非常低，还不具有等离子 提的性质。等离子体是由电子、离子等带电粒子以及中性粒子（原子、分子、微粒等） 组成的，宏观上呈现准中性，且具有集体效应的混合气体。所谓准中性是指在等离子体中的正负离子数目基本相等，系统在宏观上呈现 中性，但在小尺度上则呈现电磁性。而集体效应则突出地反映了等离子体与中性气体的区别。中性气体中粒子的 相互作用是粒子间频繁的碰撞，两个粒子只有在碰撞的瞬间才有相互作用，除此 之外没有相互作用。而等离子体中带电粒子之间的相互作用是长程库仑力作用， 体系内的多个带电粒子均同时且持续地参与作用，任何带电粒子的运动状态均受 到其他带电粒子（包括近处和远处）的影响。另外，带电粒子的运动可以形成局 部的电荷集中，从而产生电场，带电粒子的运动也可以产生电流，从而产生磁场， 这些电磁场又会影响其他带电粒子的运动。因此等离子体呈现出集体效应。按照这个一般的定义，许多物质都可以归入等离子体的范畴，例如，电解质 溶液，它含有相等的正负离子，可称之为电解质等离子体；金属，由自由电子和 固定不动的带正电的晶格组成，称之为固体等离子体。由电子和空穴组成的半导 体，也属于固体等离子体。三、单粒子轨道运动迄今为止，理论上描述等离子体的运动状态有三种方法。第一种是单粒子 轨道运动，这是最简单的一种，即在给定的电磁场中的运动，不考虑带电粒子运 动对场的反作用以及带电粒子间的相互作用。这种方法能给出带电粒子运动的直 观物理图像，是进一步了解复杂运动的基础。本文着重讨论带电粒子在电磁场中 的运动规律，针对带电粒子处于均匀电磁场环境，研究特殊情况和一般情况下 带电粒子的运动学特性。3.1带电粒子在均匀电场中的运动学特性3.1.1匕与E垂直或平行时带电粒子的运动轨迹带电粒子在电场中，它所受的力是通过电场实现的，电场是矢量，既有大小 又有方向。电场的方向和大小与电子无关。在均匀电场中，任何位置的场强大小 和方向相同。在特殊的情况下，带电粒子的运动只有两种。一是粒子的初速度平 行射入电场，二是带电粒子垂直射入电场。当带电粒子平行射入电场时，带电粒 子由于电场作用，它所受的电场力与初速度方向平行，所以电子做的是变速直线 运动。当电子垂直射入电场时，由于带电粒子的初速度与电场方向垂直，带电粒 子在电场中运动会发生偏转，它做的是类平抛运动。3.1.2匕与E成任一夹角时带电粒子的运动轨迹当与E有一夹角时（、E都在x、y平面内），忽略重力影响。由牛顺 第二定律qE = ma，得当E = E时，（1）式变为-qE = m(dv 寸 dvdtl +（2）所以华0dt% 1Edt m性二0dt(3)(3)式积分得到(4)由初始条件t = 0=v cos0 可得sin 0(5)v = v sin 0qEt - v cos0m 0v. = 0(6)(6)式积分得1 sin 0t + k(7a)q 厂,y Et2 - v t cos01 + kz 0(7b)(7c)再把初始条件t 0时，x 0，y 0代入上式，k1 k 2 0(8)贝。 x = v tsin0y = -t2 v tcos0. 02 m(9)图3利用mathmatic模拟的抛物线它表示带电粒子在电场中的运动轨迹是一条抛物线。c = v cos 0所以有图3是利用mathmatic生成的模拟图像，表1是模拟过程中各个常量的取值， 在这里，时间t的取值范围是ki。，可以看出，利用数值模拟生成的图像与我们 的理论假想完全一致，说明前面的推导完全正确。在生成图像过程中，时间t的取值发生变化，我们会发现整个图像取得的部分也会随之改变，完全符合抛物线 的性质。V02.2 x 106 mm1.67 x 10 -27q1.60 x10-19E300N / CB10T9兀3/ skg表1模拟过程中常量的取值3.2带电粒子在均匀磁场中的运动学特性3.2.1洛伦兹力4带电粒子在磁场中运动，要受磁场的力，但是磁场是如何作用于它的？如图 4是一个阴极射线管。阴极射线管是一个真空放电管，在它两个电极之间加上高 电压时，就会从它的阴极发射出电子束来。这样的电子束即所谓阴极射线。电子 束本身是不能用肉眼观察到的，为此在管中附有荧光屏，电子束打在荧光屏上将 发出荧光，这样我们就可以看到电子的轨迹。没有磁场时，电子束由阴极发出后 沿直线前进。如果早阴极射线管旁放一根磁棒电子束就会偏转。这表明电子束受 到了磁场的作用力。如图4是是将磁铁的N极垂直地靠近阴极射线管一侧的情 形，这时磁场是沿水平方向的。从电子束偏转的方向可以看出，它受到的力是向下的。如图4所示，电子的速度、磁感应强度百和电子受到的力F三个矢量彼 此垂直。如果我们将磁棒在水平面偏转一个角度、使百不再垂直v，则电子束的 偏转将会变小。图4磁场使阴极射线管偏转的演示实验证明，运动带电粒子在磁场中受的力F与粒子的电荷q、速度和磁感应强度B之间有如下关系：F = qv x B(10)按照矢量叉乘的定义，(10)式表明，F的大小为F = |q|vB sin 0(11)0为v与B之间的夹角，F的方向与v和B构成的平面垂直。上式还表明，带电 粒子受力F的方向，与它的电荷q的正负有关。(10)式给出的这个运动电荷在 磁场中受的力F，叫做洛伦兹力。应当指出，由于洛伦兹力的方向总是与带电粒子速度的方向垂直，洛伦兹力 永远不对粒子做功。它只改变粒子运动的方向，而不改变它的速率和动能。现在我们了解了带电粒子在磁场中的受力，我们分两种情况来讨论带电粒子 在均匀磁场中的运动。3.2.2粒子的初速度V垂直于B 50由于洛伦兹力F永远在垂直于磁感应强度B的平面内，而粒子的初速度v也在这个平面内，因此它的运动轨迹不会越出这个平面，由于洛伦兹力永远垂直于粒子的速度，它只改变粒子运动的方向，不改变其速率V，因此粒子在上述平面内作匀速圆周运动。设粒子的质量为m，圆周运动的半径为R，则粒子作圆周运动时的向心加速度为a = V2/R。这里维持粒子作圆周运动的向心力就是洛伦兹力，因v与B垂直，sin9 = 1洛伦兹力的大小为F = qvB，其中q为粒子的电荷，按照牛顿第二定律F = ma，mv 2qvB =R由此得轨道的半径为（12）（12）式表明，R与v成正比，粒子回绕一周所需要的时间（即周期）为与B成反比。2兀R 2兀mT =v qB（13）而单位时间里所绕的圈数（即频率）为1 qBV =T 2兀m（14）v叫做带电粒子在磁场中的回旋共振频率。上式表明，回旋共振频率与粒子的速率和回旋半径（又称拉莫尔半径）无关。3.2.3粒子的初速度与B成任一夹角时6在普遍的情形下，V与B成任意夹角9 .这时我们可以把V分解为v = vcose和v = v sin9两个分量，它们分别平行和垂直于B。现在我们设B = Bk，则ma = qv x B（15）令w广半，（1）式为dr=wJ-Lxkk（16）其分量形式为d火dy一I I = W dt L dtLdtddy TT7 dx =一W dt L dt l dt(17)(18)d I dz dt I dt对上式积分得，dx云=v coW(t +a )dy = -v s inW t + a )dz=vdt 再积分得(19)已知v与v都是常数，且0也是常数，则v、v、a、x、y和z都是常 01/000数。若只有V分量，磁场对粒子没有作用力，粒子将沿B的方向（或其反方向）作匀速直线运动。若只有v分量，则粒子在与B垂直的平面内作匀速圆周运动。 当两个分量同时存在时，粒子的轨迹将成为一条螺旋线（图5），其螺距h （即粒子 每回转一周时前进的记录）为图5带电粒子在磁场中的螺旋运动2兀mv卅qB(20)它与V分量无关。而螺旋半径为（21）R =性qB图6利用mathmatic模拟的螺旋线图6是利用mathamtic生成的模拟图像，在这里我们发现与标准的螺旋线之 间存在细微差异，但是我们仔细观察会发现，整个图像的趋势依然和标准螺旋线 保持一致。与标准螺旋线之间的细微差异，主要是由于我们在模拟过程中输入的 螺旋线方程不同于标准螺旋线方程，其中涉及了一些物理参量，从而造成图像在 直观上与标准螺旋线存在差异，但是整个图像的走势完全符合标准螺旋线。如果 我们在模拟过程中对于时间f的取值过大，则会造成图像过于密集而难以辨认， 所以我们在生成图像的过程中，最好选择时间t的取值在10,25，这样生成的图像 与标准螺旋线最为接近。上述结果是一种简单的磁聚焦原理。我们设想从磁场某点A发射出一束很窄的带电粒子流的速率v差不多相等，且与磁感应强度B的夹角9都很小，则v = v c o 9 vL = v s i n9 牝 v9由于速度的垂直分量v 不同，在磁场的作用下,各粒子将沿不同半径的螺旋线前进。但由于它们速度的平行分量v近似相等，经过距离h = vT = 岂 2/ qB2兀mv厂后它们又重新会聚在A，这与光束经透镜后聚焦的现象有些类似，所以叫 qB做磁聚焦现象。上面所讲的是均与磁场中的磁聚焦现象，它要靠长螺线管来实现。然而实际 上用的更多的是短线圈产生的非均匀磁场的聚焦作用，这里线圈的作用与光学中 的透镜相似，故称为磁透镜。磁聚焦的原理在许多真空器件（特别是电子显微镜） 中的应用很广泛。3.3带电粒子在均匀电磁场中的运动特性3.3.1 %、E和B两两相互垂直7假设有一带电粒子质量为m，若带电量为q，E沿y轴正方向，B沿乙轴正方向，沿x轴正方向射入E、 B共同作用的区域里，根据公式ma TI = qv x B + qEdt L dt可得d 2 r qE r qB dr -=j +x kdt 2 m m dtdy - qE e dx -/“、二 E+LmFj（22）(22)式中W =竺，其分量形式为d 3 x dx qE + W 2 = W7+wl 2 号=od 2 z dt 2积分得dx 一d = v cos(W t + a ) + v号=-v s inW t + a )dz=vdt 其中vv和a都是积分常数，由初始条件确定，v W = E，E mW B式中x、x =s i 1W t + a)+ v t + xLy = -W C oW t +a ) + yLz = v t + z 0y和z都是积分常数，由初始条件确定8。000=v，dy_ dzdtdt0，因此dx dt当t = 0时，xV/ = O（23）（24）再次积分得（25a）（25b）（25c）y = z = 0，（26）所以（25）式变为ixWL t) + vt7 v mEr) p W qB 2L令 a = =E = m (v - EW qB 0 B则粒子的运动方程为x = bW t + a s i nW t)(28)由此可看出，带电粒子的轨迹是一条旋轮线。3.3.2 与E成任一夹角，B垂直它们构成的平面一般情况系下，为了计算方便，我们假设B沿z轴正方向，垂直于初速度0与E所构成的平面（xoy平面）。与E成任意角0， 0它的运动方程9为m 欠=qv x B + qE = q ( x B + E) dt(29)其中 E = E i + E + E k，B = Bk其分量方程为dv r,m-j- = qE i - q B vdv m-y = qE j -qB vjm 也=qE dt z(30)初始条件为t = 0，x = y = z = 0,初速度0= v i + v 0 j + v 0 k，由(30)式得d 2 v * q 2 B 2q 2 旧dt 2 m 2 xm 2 y(31)令W =竺，解微分方程mEv = c cos(Wt) + c sin(Wt) 一x 12B(32)a = -Wc s i n昭)+ Wc c o 那)* dt 12初始条件r = 0时以及当带电粒子在初始位置时,a =-(E -所)，代入(32)xQ ffi xyQyo式和(33)式,得Et + v )cos(W?) +B xoE sin(Wr) - tB(34)把此结果代入空 = e +虬,可求得 dt m y m xV = y(E、xO7sin(Wr)-(EVvO jcos(Wt) + c+ VI B利用初始条件V =1 = 0,(E+ VVy=v =-yosin(W7)-Ew + VB(E-X-+ I g.V。)B同理可得qv = v + zz 秫整理以上各式得Ev = ( + VE tz)COS W) + EVE -XBxOk Byo JB(35)(36)(37)(38a)f E、(Ev =+ Vsm(W7)- Vcos(Wl) + cyL B x0J8 vo)(38b)(38c)av = v + Etz zO m Z，F、1 A 1/、用Q代替土 + U , b代替4,将(38)式积分并整理得W ( 8xoJWB voJx = as ixt)-bc o+ x(39a)B oEy =-ac o-bsi n) + -t + y(39b)q/、z = v t + E t2 + z(39c)z。 2m z o代入初始条件，且令m = a2 + b2 , sin0, ，：a 2 + b 2可以得E(40a)(40b)(40c)x = -mcos(Wt +0 )-节 t + bEy = -msin(Wl +0 ) -xt + a上式即为在电磁场的一般情况下带电粒子的运动方程。四、小结电磁场是电磁理论中的一个重要组成部分，带电粒子在电磁场中会受到场强 对它的作用力。一般时候，我们所用到的都是在一些特殊情况下带电粒子的运动 方程，而实际中并不总是会出现这样的情况。所以在文中我们推导出普遍情况下 带电粒子的运动方程以便更好的应用于实际。通过研究，我们得到以下结论：(1) 带电粒子在电场中：初速度与电场平行时，带电粒子做变速直线运 动，初速度与电场垂直时，做类平抛运动。初速度与电场成任一角度时，它的 运动方程为 x = vt sin0，y = - 2 竺 12 - v t cos0(2) 带电粒子在磁场中：初速度与磁场平行时，磁场对带电粒子不做功。 初速度与磁场垂直时，带电粒子做匀速圆周运动。初速度与磁场成任意角度时， 带电粒子的运动方程为x = % sin(W t + a) + x，y =、cos(W t +a ) + y，W L0 W L0LLz = vt + Z0。它的轨迹是一条螺旋线。(3) 带电粒子在电磁场中：带电粒子初速度，电场和磁场两两相互垂直 时，它的运动方程为x = bWt + a sin(WLt)，y = b cos(Wj)，z = 0。磁场垂 直初速度与电场所构成的平面，且电场与初速度成任意角度时，带电粒子的运动 方程为 x = -mcos(Wt + 0)-yt + b，y = -msin(Wt + 0)一乌t + a，BBz七o+2 q2参考文献：1李定,陈银华，马锦秀,杨维纮.等离子体物理学M.北京:高等教育出版社,2006.龙晓霖.试论带电粒子在均匀恒定电磁场中的运动J.攀枝花大学学 报,1999 ,16(4) :6669.3 赵彦杰，张勇.低速带电粒子在均匀电磁场中的运动轨迹J.德州学院学 报,2004,20(2) : 29 31.4 赵凯华，陈熙谋.电磁学M.北京：高等教育出版社，2003.5 高永毅，张平柯.带电粒子在均匀电磁场中的运动的普遍规律J.湘潭师 范学院学报,1996 ,17(3) :8487.6 姚丽萍，朱林婕.带电粒子在电磁场中运动的分析J.洛阳师范学院学 报,2007,5 : 47 49.7 陈秉乾，舒幼生，胡望雨.电磁学专题研究M.北京：高等教育出版 社,2003.8 马文蔚.物理学教程M. 5版.北京：高等教育出版社，2006.9 张之翔.电磁学习题解M.北京：高等教育出版社，2001.10 梁灿彬.电磁学M.北京：高等教育出版社，1999.