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1高一上学期知识点及解题技巧归纳一、常见不等式解法1.含绝对值不等式的解法不等式解集或把看成一个整体，化成，型不等式来求解2.一元二次不等式的解法判别式二次函数的图象一元二次方程的根（其中无实根的解集或的解集【提示】(1)一元二次不等式的解为“大两边、小中间”，即“大于大根或小于小根”，“大于小根小于大根”.(2)若 a0);f(x)与 af(x)有相反单调性(a0);f(x)与 g(x)都是增函数或减函数，f(x)+或-g(x)是增函数或减函数；f(x)与 g(x)都是增函数或减函数时，若两者都大于0，则 f(x)*g(x)也是增函数或减函数；若两者都小于0，则 f(x)*g(x)也是减函数或增函数.3.复合函数单调性:(1)首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数(2)分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性(3)根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性.4.图像法：略.(三)经典例题及易混易错题型例.设函数 f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(,0)内单调递增，f(2a2+a+1)f(3a22a+1).求 a 的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.解：设 0 x1x2,则 x2x10，f(x)在区间(,0)内单调递增，f(x2)f(x1),f(x)为偶函数，f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2)f(x1).f(x)在(0，+)内单调递减.由 f(2a2+a+1)3a22a+1.解之，得 0a3.又 a23a+1=(a)2.函数 y=()的单调减区间是，+结合 0a1 时，若使在上是增函数，则在上是增函数且大于零。故有解得 a1。（2）当 a1 使得函数在上是增函数【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1 还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）。例.Y=1/x的单调区间，不能说函数在（-，0）U(0,+)上为减函数，不能说函数在（-，0）或(0,+)上为减函数，只能说在（-，0）和(0,+)上为减函数.五、函数奇偶性判断方法（一）函数具备奇偶性的前提条件)(xgfy)(xgu)(ufy21132aa.032)31(3123,087)41(2122222aaaaaa又234521132aa2323132aa232logaxxafx2,4fx2xaxxlogxay2logaxxafx2,42xaxx2,41222420aa2logaxxafx2,42xaxx2,414241640aa2logaxxafx2,471.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件（定义域关于原点对称的函数，才有可能具备奇偶性）.2.求解函数奇偶性，优先求函数定义域，务必树立定义域优先的思想.3.什么叫做定义域关于原点对称？(二)奇偶性概念1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有 f（x）=f（x）或 f（x）+f（x）=0，则称f（x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x）=f(|x|)或 f（x）f（x）=0，则称f（x）为偶函数.(三)奇偶性判断方法1.定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称.若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断或是否定义域上的恒等式；2.图象法：略.3.性质法：设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；偶奇不确定.4.复合函数法：构成复合函数，只要有偶函数就是偶函数，全是奇函数为奇函数.5.反函数法：若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数.6.多项式函数的奇偶性多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.(四)奇、偶函数的性质1.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.反之成立.2.若奇函数的定义域包含数0，则 f（0）=0.3.奇函数的反函数也为奇函数.4.定义在（，+）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.5.在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性.6.既是奇函数又是偶函数的函数只有一种模型，即f(x)=0，x 属于 D,D 关于原点对称.7.f(x)是偶函数与f(x+3)是偶函数的区别：函数f(x+3)为偶函数，则 f(x+3)=f(-x+3)；f(x)是偶函数，则f(x+3)=f(-x-3).f(x)是奇函数:f(-x)=-f(x)，f(2x+1)是奇函数:f(-2x+1)=-f(2x+1).令 g(x)=f(2x+1)，即g(x)是奇函数问题，即g(-x)=-g(x)，即 f(-2x+1)=-f(2x+1).8.函数分类：既不是奇函数又不是偶函数；奇函数；偶函数；既是奇函数又是偶函数.（五）经典例题及易混易错题型例.判断下列函数的奇偶性：既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。例.判断函数的奇偶性.【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：从而得出函数为非奇非偶函数的错误结论。解析：由函数的解析式知x 满足即函数的定义域为定义域关于原点对称，在定义域下易证即函数为奇函数。()()f xf x()()fxfx()f x()g x12,DD12DDDI110()nnnnP xa xaxaL()P x()P x()P x()P x2244fxxx111xfxxx2lg 1()22xf xx2lg 1()22xfxfxxfx21022xx1,00,1U2lg 1xfxxfxfx8易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。例.函数的反函数为，证明是奇函数且在其定义域上是增函数。六、函数图像问题（一）图像画法1.描点法2.图象变换法平移变换：)，左“+”右“”；)上“+”下“”；若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.注意：左“+”右“”仅针对x 而言，不可针对-x 或 Kx.对称变换：)；)；)；)；翻折变换：)（去左翻右）y 轴右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；)（留上翻下）x 轴上不动，下向上翻（|在下面无图象）.（二）画图技巧及识图技巧1.关于二次函数（1）二次函数一般式：；顶点式：，为顶点；零点式：（a0）.（2）二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是.(3)可以根据二次函数性质比较两个函数值的大小.若开口向上，到对称抽距离大的自变量对应的函数值大；若开口向小，到对称抽距离大的自变量对应的函数值小.2.反比例、指数、对数、幂函数图像走向:向 x、y 轴正负方向无限延伸.3.指数函数、对数函数、幂函数增长差异:总存在一个x0，当 xx0 时，有 logaxxn0且 a1)f(x+y)=f(x)f(y)对数函数 f(x)=logax (a0且 a1)f(xy)=f(x)+f(y)常用变换：()()()()()()()()()()f yfxyf xyf xfxyyf xyf x f yf xfy八、判断函数零点（方程的根）所在区间1.解方程：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定的区间上.2.零点的存在性定理：3.图像法：画出相应函数图像，通过观察图像与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或转为两个函数图像在给定区间有无交点判断.)y(f)x(f)yx(f)y(f)x(f)yx(f或)y(f)x(f)yx(f或)()()()()()(yfxfyxfyfxfyxf()()()()()()()()()()fxf xyf x fyfxfxyyf xy f yf xyfy)()()()()()(yfxfyxfyfxfyxf()()()()()()()()()()xxxf x yf xf yf xfyffyff xf yyyy()()()()()()()()()()xx yff xfyf xff x yfyf x yf xfyyy
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