平炉炼钢问题

平炉炼钢问题摘要平炉炼钢过程中，由于矿石和炉气的氧化作用，铁水的总含碳量在不断降低。一炉 钢在冶炼初期（熔化期）中总的去碳量，与所加天然矿石量、烧结矿石量及溶化时间有 关。在工厂实际生产工作中，为了有效地利用现有人力、物力等各种资源完成更多的任 务，以及分析所需要完成的目标与其他要素的投入量的相对确定关系，经常需要进行回 归分析。多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法。并通过计 算机对相关的数据进行分析得到相应的结果。本文通过建立多元统计分析方法中的多元 回归分析模型并使用SPSS软件来分析数据得到多元回归方程。多元线性回归分析问题 相对简单，有通用算法和计算机软件，我们利用SPSS软件进行求解，熟练掌握问题模 型的建立，通过生产计划问题的研究，对实际生产过程中计划安排起到了一定的帮助。关键词：多元统计分析；多元回归方程；数理统计；SPSS软件Steelmaking problem of steel millABSTRACTIn some management such as production and operation, in order to take advantage of labor power and physical resources effectively to finish more mission. In other words, in the scheduled target, how to achieve it with the least labor and physical resources often requires you to make plans.The problem of program of production is a common linear programming problem:in the limitation of general resources,how to make a plan to achieve the best objective.Now we put emphasis on the distribution of equipment and raw materials in the production.For such linear programming, first to choose proper variables based on the objective, then to express the objective with functions, and to express the side conditions with inequalities. When the variables are continuous, at the same time, the programmed functions and the side conditions are lineai, we call it the linear model.Linear programming is relatively easy, it has the common algorithm and software.Using the MATLAB software to program and final solution, being on top of building model, and researching on the problem of program of production is helpful to the plan of actual production.Key words： The problem of program of production; linear programming problem;objective functions; MATLAB software目 录1问题的提出12模型的准备22.1多元回归分析原理与模型22.2 SPSS简介63问题假设84符号说明85平炉炼钢问题的多元回归分析95.1变量选取95.2线性逐步回归分析过程95.3线性逐步回归分析结果106模型检验116.1模型拟合优度评价116.2回归方程整体显著性检验116.3回归系数的显著性检验127总结12参考文献131、 问题的提出平炉炼钢过程中，由于矿石和炉气的氧化作用，铁水的总含碳量在不断降低。一炉钢在冶炼初期（熔化期）中总的去碳量丫，与所加天然矿石量气、烧结矿石量x 2及溶化时间x有关。经实测某号平炉49炉钢的数据见下表。试研究y对x、x、x的回归方3123程。实验序号y（吨）x 1（槽）X2（槽）X3（5分钟）实验序号y（吨）X 1（槽）X2（槽）X3（5分钟）14.330221850262.7066963923.64857940275.63141255134.483051446285.81526134145.546812343295.13021274755.470012064305.39100246163.112531240314.45335123775.118231764324.65694154983.87596539334.52120204594.67007837344865041642104.953602355355.356661748115.006031660364.609810448125.270101840372.381541436135.37728450383.874651336145.484961451394.59199851154.596002151405.158861354165.664531451415.437358100176.079571256423.996051144183.219416048434.39708663195.807661645444.062221350204.730601552452.29057850214.68059040464.711541045223.12724632474.531010540232.610401747485.363731764243.71749044496.077141572253.8946216392、模型的准备多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法。并通过计 算机对相关的数据进行分析得到相应的结果。本文通过建立多元统计分析方法中的多元 回归分析模型并使用SPSS软件来分析数据得到多元回归方程。2.1多元回归分析原理与模型回归分析是一种处理变量的统计相关关系的一种数理统计方法。回归分析的基本思 想是：虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系，但可以设法找出最能 代表它们之间关系的数学表达形式。回归分析主要解决以下几个方面的问题：（1）、确定几个特定的变量之间是否存在相关关系，如果存在的话，找出它们之间合 适的数学表达式；（2）、根据一个或几个变量的值，预测或控制另一个变量的取值，并且可以知道这种 预测或控制能达到什么样的精确度；（3）、进行因素分析。例如在对于共同影响一个变量的许多变量（因素）之间，找出哪 些是重要因素，哪些是次要因素，这些因素之间又有什么关系等等。多元回归分析是研究多个变量之间关系的回归分析方法，按因变量和自变量的数 量对应关系可划分为一个因变量对多个自变量的回归分析（简称为、一对多回归分析） 及多个因变量对多个自变量的回归分析（简称为、多对多回归分析），按回归模型类型 可划分为线性回归分析和非线性回归分析。设随机变量y与m个自变量独丐，技存在线性关系：(1)y =月口+口1了1+阮心+为知+王(1) 式称为回归方程，式中队队阳，昵为回归系数，为随机误差。现在解决用爪+财+如9 +麻独估计y的均值的问题，即E。)= A)+海1+血树+原技且假定八 皿M ,顷彻+麻映，尸)，原如/是与E，,f无关的待定常数。设有n组样本观测数据：了11如%13 3叫魂曲母1E小,知成其中x表示在第i次的观测值，于是有：= Ed +in +2 Ji2 +m+1，2 = 0 +121 +222 + +洛；w x2m +9，7m = 0 +1xm1 +2 xm2 +m +fM (2)其中为，四，为,，原为z个待定参数，如，如，总为n个相互独立的且服从J7 =（1曷,5）同一正态分布螂技)的随机变量，(2)式称为多元(用元)线性回归的数学模型。(2)式亦可写成矩阵形式，设1如了 =1 191% 5 9I用=（勤成 , 用）则(2)式变为:(3)/ =邓 +。(3)式称为多元线性回归模型的矩阵形式。用最小二乘法估计参数(00，p 1，p)，使残差平方和SEE = 私= (y - 0 x - 0 x - . - 0 x )A 2(4)i10 i11 i 2m in,i=1i=1达到最小，根据微积分中求极值的原理，SSE分别对00，0 1，0求偏微商，经整理后用矩阵形式表示为xT(y X0 ) = 0(5)直接用矩阵运算求解为b = (XTX) -1 XTy(6)从而得多元线性经验回归方程y = 0+ 0 x + 0 x + . + 0 x(7)01 12 2m m回归方程建立后要对回归模型进行检验，一般包括一级检验和二级检验。一级检验 又称统计学检验，主要是利用统计学的抽样理论来检验样本回归方程的可靠性，具体分 为拟合优度评价和显著性检验；二级检验又称经济计量学检验，它是对线性回归模型的 假定条件能否得到满足进行检验，包括残差正态性检验和序列相关检验等。对被解释变量进行方差分析，得到方差分析表，见表1。方差来源离差平方和自由度均方差F值解释变量SSR = (y . - y )2i=1K-1MSR=SSR/(K-1)F=MSR/MSE剩余变量-KMSE=SSE/(N-K)SSE = (y - y i )2i=1总变量SST = W (y - y )2i=1表1回归模型方差分析表其中SST=SSR+SSE, SST称为总离差平方和，反映被解释变量的总变动；SSR称为回归平方和，反映了被解释变量的总变动中能够被回归方程解释的部分；SSE称为残差平方和，反映了被解释变量的总变动中由随机因素引起的变动，即不能被回归方程解释的部分。回归方程的拟合优度评价可用决定系数来衡量，反映因变量y的全部变异中能够通过回归关系被自变量解释的比例。即解释变差占总变差的比重:SSRSST(8)SSESST对回归方程整体显著性进行检验可建立如下假设:H。邛广七=.=P = 0，即回归方程整体不显著；H : p .不全等于0(j=1,2.m)，即回归方程整体显著。由表1中的F统计量及其对应的显著水平p来进行检验。若p小于要求的显著水 平，则拒绝原假设，可以认为回归方程总体显著；反之不能拒绝原假设，应认为回归方 程总体不显著。对回归系数的显著性检验可以建立假设：H : p . = 0(j=1,2.m),即第j个回归系数不显著；H ：p .丰0(j=1,2.m),即第j个回归系数显著；构造t统计量：t =jpjAb(9)院(y 一项)2其中 =心 2(10)由计算出的t统计量及其对应的显著水平p来进行检验。若p小于要求的显著水 平，则拒绝原假设，可以认为第j个回归系数显著；若p大于要求的显著水平则不能拒 绝原假设，应认为第j个回归系数不显著。2.2 SPSS 简介SPSS( Statistical Package for the Social Science)社会科学统计软件包是世界最著名的统计分析软件之一。该软件包理论严谨，各种统计分析功能齐 全，其内容覆盖了从描述统计、探索性数据分析到多元分析的几乎所有统计分析 功能，目前已经在国内逐渐 流行起来。SPSS的基木功能包括数据管理、统计分析、 图表分析、输出管理等等。SPSS统计分析过程包括描述性统计、均值比较、一般 线性模型、相关分析、回归分析、对数线性模型、聚类分析、数据简化、生存分 析、时间序列分析、多重响应等几大类。每类中又分好几个统计过程，比如回归 分析中又分线性回归分析、曲线估计、Logistic回归、Probit回归、加权估计、 两阶段最小二乘法、非线性回归等多个统计过程，而且每个过程中又允许用户选 择不同的方法 及参数。SPSS软件多元线性回归操作步骤如下：(1) 多元线性回归所用命令语句与一元线性回归相同，同样可以通过单击主 菜单Analyze / Regression / Linear，进入设置对话框如 图1所示。从左边变 量表列中把因变量选入到因变量(Dependent)框中，把自变量选入到自变量(Independent)框中。图1(2) 点击Method后面的下拉框，在Method框中选择一种回归分析的方SPSS提供下列几种变量进入回归方程的方法：-Enter选项，强行进入法，即所选择的自变量全部 进入回归模型，该选项是默 认方式。-Remove选项，消去法，建立回归方程时，根据设定 的条件剔除部分自变量。-Forward选项，向前选择 法，根据在Option对话框中所设定的判据，从无自变 量开始，在拟 合过程中，对被选择的自变量进 行方差分析，每次加入一个 F值最 大的变量，直到所有符合判据的变量都进入模型为止。第一个引入回归模型的变 量应该与因变量相关程度最大。 Backward选项，向后剔除法，根据在 Option对话框中所设定的判据，先建立 全模型，然后根据设置的判据，每次剔除一个使方差分析中的F值最小的自变量， 直到回归方程中不再含有不符合判据的自变量 为止。Stepwise选项，逐步进入法，是向前选择法 和向后剔除法的结合。根据在Option 对话框中所设定的判据，首先根据方差分析结果选择符合判据的自变量且对因变 量贡献最大的进入回归方程。根据向前选择法则进入自变量；然后根据向后剔除 第7页共13页法，将模型中F值最小的且符合剔除判据的变量剔除模型，重 复进行直到回归方 程中的自变量均符合进入模型的判据，模型外的自变量都不符合进入模型的判据 为止。这里我们采用系统默认的强行进入法， 其他选项均采用系统默认的设 置。（3）点击OK，得到上面定义模型的输出结果。3、问题假设（1）提供的数据的误差在合理考虑范围内。（2）设备在生产期间不会出任何故障。（3）该生产过程是稳定的。（4）所有的资源都能得到充分的利用。4、符号说明X :天然矿石量X2 :烧结矿石量X 3 :溶化时间Y：总的去碳量:回归系数i5、平炉炼钢问题的多元回归分析5.1变量选取根据某号平炉49炉钢的数据，建立数据文件。选取其中总的去碳量y为预报 量，用天然矿石量x1、烧结矿石量x2、溶化时间x3，3项指标作为预报因子。为 了探寻各预报因子之间的相互关系及对于预报量贡献值的大小，采用多元全回归 法对预报量y与预报因子xi之间的关系进行了回归分析。5.2线性逐步回归分析过程在 SPSS 菜单栏上选择 Analyze 一 Regression 一 Linear, 则出现 Linear Regression（线性回归分析）主对话框，见图2。将y选入Dependent（因变量） 框中，将x1、x2、x3选入Independent （自变量）框中。Method 框选择Enter（全 回归法，及所选自变量全部引入方程）；单击Statistics按钮，在 Statistics（线性回归统计量子对话框）中，选择Estimate、ModelFit,单击 Continue, 回至0 Linear Regression 主窗口，选择 Include Constant In Equation, 单击Continue, 回到LinearRegression 主窗口，然后点击!OK按钮，得到 线性回 归结果。5.3线性逐步回归分析结果根据以上的操作步骤可以得到如下的回归结果：表2给出了自变量进入模型的方式，3个自变量天然矿石量x1、烧结矿石量x2、溶化时间x3强制纳入回归模型。Variables Entered/RemovedbMode 1Variables EnteredVariablesRemovedMethod1溶化时间X3, 天然矿石量X1, 烧结矿石量 X2a-Entera. All requested variables entered.b. Dependent Variable:总的去碳量丫表3是模型综合表Model SummaryMode IRR SquareAdjusted R SquareStd. Error of the Estimate1.573a.329.284.8179430a. Predictors: (Constant),溶化时间X3,天然矿石量XL境结矿石量X2表4是方差分析表，也即模型中所有自变量的回归系数等于零的F检验结果。ANOVAbModelSum of SquaresdfMean SquareFSiq.1Regression1475134.9177.3490Residual30.10645669Total44.85748a. Predictors: (Constant),溶化时间X3,天然矿石量XL烧结矿石量X2b. Dependent Variable:总的去碳量Y表4表5为系数分析表，给出了回归模型中各项的偏回归系数和各自标准差，以及对 各参数是否等于零的t检验结果。Coefficients3ModelUnstandardized CaefficienteStandardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1(Constant).833,852.977.334天然矿石量X1.156,060.5992.578,013烧结矿石蛀X2107.0386682.843,007溶化时间X3034,011.4033.216,002a. Dependent variable:总的去碳量Y表5P = 0.8330由表5可得到各回归系数J P 1 =156p 2= 0.107P = 0.034I 3所以回归方程为 y=0.833+0.156x1+0.107x2+0.034x3.6、模型检验6.1模型拟合优度评价表3显示了相关系数R=0.573,可决系数r 2 = 0.329及校正的可决系数R 2 = 0.284 , 说明因变量极限拉伸值y与所选3个自变量之间存在着某些线性相关性。说明回归方程 基本可行。6.2回归方程整体显著性检验即检验回归模型总体函数的线性关系是否显著，其实质就是判断回归平方和和残差 平方和比值的大小问题，具体通过表一中构造的F统计量来进行检验。表4是方差分析 表，也即模型中所有自变量的回归系数等于零的F检验结果。回归平方和SRR=14.751, 残差平方和SSE=30.106，总偏差平方和SST=44.857,对应的自由度分别为3,45,48,回 归均方差MSR=4.917,残差均方MSE =0.669,回归方程的显著性检验统计量F =7.349,检 验P=0.000,p0. 05,说明至少有1个自变量的回归系数0.0000.05,说明至少有1个 自变量的回归系数不为零，所建立的回归模型有统计学意义。6.3验证回归系数的显著性检验回归方程总体显著并不意味着每个自变量对因变量的影响都是重要的，还需要对每 个回归系数的显著性进行检验。表5为系数分析表，给出了回归模型中各项的偏回归系数和各自标准差，以及对各 参数是否等于零的t检验结果。常数项回归系数(Constant )为0.833, x1的系数为 0.156, x2的系数为0.107,x3的系数为0.348,回归系数的标准差(Std. Error)分别为 8.532、0.060、0.038、0.011, x1、x2、x3标准化回归系数Beta 分别为0.599、0.668、 0.403。t值分别等于0.977、2.578、2.843、3.216, P值分别为0.334、0.013、0.007、 0.002。按a =0.05显著性水平，分析认为自变量x1、x2、x3均与因变量存在较为显著 的线性关系。7、总结结合某号平炉49炉钢的历史运行数据，通过基于统计分析的回归建模方法，得到了 测量总的去碳量的线性模型，并对由模型发现的运行误区加以分析验证，由此给出了适 合于优化锅炉燃烧，提高锅炉效率的合理措施。经过实验验证，得到以下结论：(1) 选用回归分析的方法对总的去碳量的研究进行建模的方法简单有效，在一定程 度上可以解决总的去碳量在所加天然矿石量、烧结矿石量及溶化时间变化时的测量问 题。(2) 针对某台特定锅炉总的去碳量基本可以通过以上三个指标来评估。(3) 模型没有使用炉钢矿石量的利用率的其他指标，在实际预测中会较大的起伏波 动。(4) 统计分析方法对于发现实际问题，优化运行指导有着重要的价值。参考文献1 胡运权 运筹学教程（第三版）M.北京：清华大学出版社，2007： 1-256.2 Hamdy A.Taha编注，运筹学导论:高级篇（英文版第8版）M.北京；人民邮电出 版社;2007； 1-4403 姜启源 谢金星 叶俊编.数学模型（第三版）M.北京：高等教育出版社，2005： 1-202.4 刘卫国等编注.MATLAB程序设计教程（第一版）M.北京：中国水利水电出版社, 2005： 1-3015 何坚勇 编著.运筹学基础（第二版）M.北京：清华大学出版社，2008： 134-2246 韩中庚 实用运筹学模型、方法与计算M.北京：清华大学出版社，2007： 1-232