第3节行列式按行列展开综述

,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa第三节第三节 行列式按行列展开行列式按行列展开可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。1、行列式按某一行（列）展开行列式按某一行（列）展开 问题：一个问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个阶行列式是否可以转化为若干个 n1 阶阶行列式来计算？行列式来计算？在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij，记ijjiijMN1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MN.23M 定义定义44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MN12M 33323123222113121144aaaaaaaaaM 444444441MMN注：注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。代数余子式。三阶行列式三阶行列式 D D等于它的任一行（列）的各元等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即第一张第一张幻灯片幻灯片D=3,2,13,2,1ji或简写为131312121111NaNaNaD232322222121NaNaNaD333332323131NaNaNaD313121211111NaNaNa323222221212NaNaNa333323231313NaNaNaijijiNa31ijijjNa31引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例如例如ijijNaD 证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,ijannnnnaaaaaaaD21222211100 即有即有.1111MaD 又又1111111MN,11M 从而从而.1111NaD 在证一般情形在证一般情形,此时此时nnnjnijnjaaaaaaaD1111100,1,2,1行行对对调调第第行行第第行行行行依依次次与与第第的的第第把把 iiiD得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1,1,11,11001 ijaija,1,2,1对对调调列列第第列列第第列列列列依依次次与与第第的的第第再再把把 jjjD得得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1,11,1,1110011 ija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1,11,1,12001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1,11,1,1001 ijaijannnjnijnjaaaaaaaD1111100 中的余子式中的余子式.ijM在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,11,1,100 ijaija故得故得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1,11,1,1001 .1ijijjiMa 于是有于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1,11,1,100 ,ijijMa ijaija定理定理3 3 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiNaNaNaD2211 ni,2,1 证证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 njnjjjjjNaNaNaD2211nj,2,1nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiNaNaNa2211 ni,2,1 推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即.,02211jiNaNaNajninjiji证证行行展展开开，有有按按第第把把行行列列式式jaDij)det(.,02211jiNaNaNanjnijiji,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaNaNa,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaNaNa可得可得换成换成把把),1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(,02211jiNaNaNajninjiji同理同理).(,02211jiNaNaNanjnijiji相同相同该行列式中有两行对应元素相等该行列式中有两行对应元素相等.关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质;,0,1jijiDDNaijnkkjki当当;,0,1jijiDDNaijnkjkik当当 .,0,1jijiij当当，当当其其中中#25.幻灯片幻灯片 25综上，得公式综上，得公式inknikikNaNaNa2211 ），（当当）（当当ikikD0 ,njnljljlNaNaNa2211 ），（当，（当）（当（当jljlD0 ,在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个简化计算，因为把一个n阶行列式换成阶行列式换成n个（个（n1）阶行列阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。在理论上是重要的。利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含一行（列）化为仅含1个非零元素个非零元素，再按此行（列）展开再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。二阶行列式。(降阶法）降阶法）按行（列）展开法（降阶法）按行（列）展开法（降阶法）先利用行列式的性质将某行（列）尽可能较多地消成零，先利用行列式的性质将某行（列）尽可能较多地消成零，（最好只有一个非零元素），再按该行（列）展开（最好只有一个非零元素），再按该行（列）展开例例13351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 注意：注意：1 1、尽量选择、尽量选择1 1或或-1-1所在的行或列，所在的行或列，2 2、尽量选择、尽量选择0 0多的行列。多的行列。0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 .40 12rr 29031132434124141 214rr 232rr 29035500341281707 按第二列展开按第二列展开2935508177)1(122 32cc 21135008257 按第二行展开按第二行展开113257)1(532 10)7577(5 思考练习思考练习0532004140013202527102135 D例例2 计算行列式计算行列式解解0532004140013202527102135 D23110072066 6627210 .1080124220 2312 5414235 53204140132021352152 13rr 122 rr 用降阶法用降阶法 （按行按列展开）（按行按列展开）计算行列式的值。计算行列式的值。2421164214112111 =57思考练习思考练习例例3 已知4阶行列式解解(方法1)(方法2)利用行列式的按列展开定理，简化计算.它是D中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有.,521534120813171144342414的代数余子式为其中的值求ijijaNNNNND.044342414NNNN44342414443424141111NNNNNNNN.,)4,3,2,1(4然后相加（略）的值直接计算iNi例例4 计算n阶行列式解解11212111111)1(nnnNaNaNaD列展开按第yxyyxyyxyxyxyxxn00000000000000)1(0000000000000)1(111nnnyx1)1(!)1(1000020000200001)1(11nnnnnn解解11212111111)2(nnnNaNaNaD列展开按第000100002000010)2(000000000000)1(nnDxyyxyxyxDnn例例5 计算行列式计算行列式1221100001000001nnnxxDxaaaaa xHessenberg型行列式，可直接展开得到递推公式，型行列式，可直接展开得到递推公式，也可利用行列式性质化简并降阶。也可利用行列式性质化简并降阶。1221112211000010000011001 000000100(1)001001001nnnnnnnnxxDxaaaaaxxxxxaxaaaaxx解解按第一列展开按第一列展开1111(1)(1)nnnnnnnDxDaxDa212211111112121()nnnnnnnnnnnnnnnx xDaax DxDaxDxaxaaxa xxaxaa递推法递推法递推公式递推公式)1(1)2(2221111321nnnnnD练习练习Hessenberg型行列式型行列式将第将第1，2，n-1列分别加到第列分别加到第n列列01)2(222112)1(1321nnnnnnD2)!1()1(1)2(211)1(2)1(11nnnnnnn例例6:6:证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(证明：证明：用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx ,)(12 jijixx(1)当当n=2时时,结论成立。结论成立。(2)设设n1阶范德蒙德行列式成立，往证阶范德蒙德行列式成立，往证n阶也成立。阶也成立。112112222121111 nnnnnnnxxxxxxxxxD11 nnrxr211 nnrxr112rxr )()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn ,)(11提提出出因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第xxi 223223211312111)()(nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式)()()(211312jjininxxxxxxxx ).(1jjinixx 证毕。证毕。323232)2()2(212221)1()1(111111 D（考虑（考虑范德蒙德行列式）范德蒙德行列式）33332222)2(2)1(1)2(2)1(122111111 TDD)(14jjiixx 72)22)(12)(12)(12)(12)(11(2、拉普拉斯定理、拉普拉斯定理定义：在定义：在n阶行列式阶行列式D中，任意选取中，任意选取k行行k列（列（kn），），位于这些行列交叉点上的元素，按照原来的排列顺序位于这些行列交叉点上的元素，按照原来的排列顺序组成一个组成一个k阶行列式，称为行列式阶行列式，称为行列式D的一个的一个k阶子式，阶子式，记为记为N。在在D中划去这中划去这k行行k列后余下的元素按照原来的列后余下的元素按照原来的排列顺序所组成一个排列顺序所组成一个n-k阶行列式，称为阶行列式，称为k阶子式阶子式N的的余子式，记作余子式，记作M。若若k阶子式在行列式阶子式在行列式D中的行标为中的行标为 为为N的代数余子式。的代数余子式。12,.kqqq12,.kppp列标为列标为，则称，则称1212(1).kkqqqpppAM 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 若选取第若选取第1行、第行、第3行、第行、第1列、列、第第4列，就确定一个二阶子式。列，就确定一个二阶子式。11143134aaNaa二阶子式二阶子式N的余子式为的余子式为22234243aaMaa二阶子式二阶子式N的代数余子式为的代数余子式为22231 3 1 41 3 1 44243(1)(1)aaMaa 定理定理4 在在n n阶阶行列式行列式D D中任取中任取k k行（行（11knkn），），由由这这k k行元素组成的所有行元素组成的所有k k阶子式与它们的代数余子阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式式的乘积之和等于行列式D D的值，即有的值，即有1122,!()!ttknDNANANAntknkC(1,2,).iiAkNit式 中,为子 式对 应 的 代 数 余 子 式在拉普拉斯公式中，令在拉普拉斯公式中，令k=1即为行列式按一行展开的公式。即为行列式按一行展开的公式。例例7 计算行列式计算行列式1500310000430021D32151641531432121）（）（行展开、按第D解解作业：作业：P29 10（3）8（4）思考题思考题:阶行列式阶行列式设设nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数求第一行各元素的代数余子式之和余子式之和.11211nAAA 解解:第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111.11!2 njjn