232平面向量的坐标表示

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解ABCDoxyij思考：思考：如图，在直角坐标系中，如图，在直角坐标系中，已知已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设设 ，填空：，填空：,OAi OBj （1）|_,|_,|_;ijOC（2）若用）若用 来表示来表示 ，则：，则：,i j,OC OD _,_.OCOD34ij 57ij 1153547（3）向量）向量 能否由能否由 表示出来？可以的话，如何表示？表示出来？可以的话，如何表示？CD,i j 23CDij ABCDoxyija平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示如图，如图，是分别与是分别与x轴、轴、y轴方向相同轴方向相同的单位向量，若以的单位向量，若以 为基底，则为基底，则,i j,i j +aaijxyxy 对于该平面内的任一向量 ，有且只有一对实数、，可使 这里，我们把（这里，我们把（x,y）叫做向量）叫做向量 的（直角）坐标，记作的（直角）坐标，记作a(,)ax y其中，其中，x x叫做叫做 在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做 在在y y轴上的坐标，轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示。式叫做向量的坐标表示。aaOxyAijaxy+axiy j+OAxiy j 例例1.如图，分别用基底如图，分别用基底 ，表示向量表示向量 、，并求出，并求出 它们的坐标。它们的坐标。ijabcd AA1A2解：如图可知解：如图可知1223aAAAAij(2,3)a同理同理23(2,3);23(2,3);23(2,3).bijcijdij 思考：思考：已知已知 ，你能得出，你能得出 的坐标吗？的坐标吗？1122(,),(,)ax ybxy,ab aba 平面向量的坐标运算：平面向量的坐标运算：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）的和（差）12121212(,)(,)abxxyyabxxyy11(,)axy实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标例例3.已知已知 ，求，求 的坐标。的坐标。(2,1),(3,4)ab,34ab abab 例例2.如图，已知如图，已知 ，求，求 的坐标。的坐标。1122(,),(,)A x yB xyAB xyOBA解：解：ABOBOA 2211(,)(,)xyx y2121(,)xx yy 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。的终点的坐标减去起点的坐标。(1,3),(1,3)(4,1)(3,4),BCD 例如图，已知A，求向量OA OBAO CD的坐标。xyBDCOA例例4.如图，已知如图，已知 的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别是的坐标分别是 （-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），试求顶点），试求顶点D的坐标。的坐标。ABCDABCDxyO解法：设点解法：设点D的坐标为（的坐标为（x,y）(1,3)(2,1)(1,2)(3,4)(,)(3,4)ABDCx yxyABDC 且 且(1,2)(3,4)xy1324 xy解得解得 x=2,y=2所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2）例例4.如图，已知如图，已知 的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别是的坐标分别是 （-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），试求顶点），试求顶点D的坐标。的坐标。ABCDABCDxyO解法解法2：由平行四边形法则可得：由平行四边形法则可得(2(1),1 3)(3(1),43)(3,1)BDBABC 而而(1,3)(3,1)(2,2)ODOBBD 所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2）思考思考1 1：如果向量：如果向量a，b共线（其中共线（其中b0），），那么那么a，b满足什么关系？满足什么关系？思考思考2 2：设：设a=(x1，y1),b=(x2，y2)，若向若向量量a，b共线（其中共线（其中b0），则这两个向量），则这两个向量的坐标应满足什么关系？反之成立吗？的坐标应满足什么关系？反之成立吗？ab.向量向量a，b（b0）共线共线 1221x yx y 例例3 3 已知向量已知向量a=(4=(4，2)2)，b=(6=(6，y),y),且且ab，求，求y y的值的值.y3 例例4 4 已知点已知点A(-1A(-1，-1)-1)，B(1B(1，3)3)，C(2C(2，5)5)，试判断，试判断A A、B B、C C三点是否共线？三点是否共线？思考思考4 4：已知点：已知点P P1 1(x(x1 1，y y1 1)，P P2 2(x(x2 2，y y2 2)，若点若点P P分别是线段分别是线段P P1 1P P2 2的中点、三等分点，的中点、三等分点，如何用向量方法求点如何用向量方法求点P P的坐标？的坐标？x xy yO OP P2 2P P1 1P PP PP P思考思考5 5：一般地，若点一般地，若点P P1 1(x(x1 1，y y1 1)，P P2 2(x(x2 2，y y2 2)，点，点P P是直线是直线P P1 1P P2 2上一点，上一点，且且 ，那么点，那么点P P的坐标有何计算的坐标有何计算公式？公式？12PPPP 1212(,)11xxyyPllll+1212(,)11xxyyPllll+1212xxyyP(,)11x xy yO OP P2 2P P1 1P P