D1-1函数与映射

第一章第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象研究对象 研究方法研究方法 研究桥梁研究桥梁函数与极限函数与极限二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合第一节第一节映射与函数映射与函数一、集合一、集合1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.,Ma,Ma,21naaaA 有限集有限集所具有的特征所具有的特征xxM 无限集无限集.,的的子子集集是是就就说说则则必必若若BABxAx .BA 记作记作数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:.,RQQZZN .,相相等等与与就就称称集集合合且且若若BAABBA )(BA 例如例如,2,1 A,0232 xxxC.CA 则则不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.)(记作记作例如例如,01,2 xRxx 规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作oxabbxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxabbxax 称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作bxax 称为半开区间称为半开区间,(ba记作记作2.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.有限区间有限区间),xaxa ),(bxxb oxaoxb区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.无限区间无限区间,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径()Uax axaxa a a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a).(0aU 记记作作0()0Uaxxa3.3.邻域邻域:.0,且且是两个实数是两个实数与与设设a,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx xxa4.4.绝对值绝对值:00aaaaa)0(a运算性质运算性质:;baab ;baba.yxyx 绝对值不等式绝对值不等式:)0(aax;axa )0(aax;axax 或或绝对值不等式的两个变形公式：绝对值不等式的两个变形公式：|)1(yxyx|)2(yxyx 二、映射二、映射定义定义.设设 X,Y 是两个非空集合是两个非空集合,若存在一个对应规若存在一个对应规则则 f,使得使得,Xx有唯一确定的有唯一确定的Yy与之对应与之对应,则则称称 f 为从为从 X 到到 Y 的的映射映射,记作记作.:YXf元素元素 y 称为元素称为元素 x 在映射在映射 f 下的下的 像像,记作记作).(xfy 元素元素 x 称为元素称为元素 y 在映射在映射 f 下的下的 原像原像.集合集合 X 称为映射称为映射 f 的的定义域定义域;Y 的子集的子集)(XfXxxf)(称为称为 f 的的 值域值域.XYfxy注意：注意：1)映射是集合间的一种对应关系映射是集合间的一种对应关系.集合集合 X、Y中所含的元素不一定是数，可以是其它的中所含的元素不一定是数，可以是其它的一一些些对象对象 (或事物或事物 )。2)对对每一个每一个x X，只有只有唯一唯一的一个的一个y Y 值与值与 之之对应关系不一定就是映射。对应关系不一定就是映射。对应，这一点很重要，它说明集合间元素的对应，这一点很重要，它说明集合间元素的3)映射的定义不排除几个不同的映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个值与同一个y 值对应。值对应。对映射对映射YXf:若若YXf)(,则称则称 f 为为满射满射;XYf)(Xf若若,2121xxXxx有有)()(21xfxf则称则称 f 为为单射单射;若若 f 既是满射又是单射既是满射又是单射,则称则称 f 为为双射双射 或或一一映射一一映射.XY)(Xff一一映射的实质一一映射的实质 fXY如果是到的一一映射，则12121122(1)()()xxXxxyf xf xy，若，则；)()2(。或YXfYRf三、函数三、函数定义域定义域定义定义.设设数集数集,RD则称映射则称映射R:Df为定义在为定义在D 上的函数上的函数,记为记为Dxxfy,)(f(D)称为值域称为值域 函数图形函数图形:),(yxC Dx,)(xfy xy),(baDabxy)(DfD自变量自变量因变量因变量DxfDxxfyyDfy),()(对应规则对应规则)(值域值域)(定义域定义域)例如例如,反正弦主值反正弦主值xxfyarcsin)(,1,1D,)(22Df 定义域定义域 对应规律对应规律的表示方法的表示方法:解析法解析法、图象法、图象法、列表法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量使表达式及实际问题都有意义的自变量集合集合.定义域定义域值域值域xyoxy xxf)(又如又如,绝对值函数绝对值函数0,xx0,xx定义域定义域RD值域值域),0)(Df如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数单值函数，否，否则叫做则叫做多值函数多值函数例如，例如，222ayx 问题：多值函数与单值函数的区别在哪里？问题：多值函数与单值函数的区别在哪里？根据函数的定义，多值函数本质上不是函数，只根据函数的定义，多值函数本质上不是函数，只是在使用时为了方便起见，仍然把它叫做是在使用时为了方便起见，仍然把它叫做“函数函数”！几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例 (1)符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当xxx sgn1-1xyo(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线(3)狄利克雷狄利克雷函数（函数（Dirichlet）是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(4)取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.0,10,12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy(5)绝对值函数绝对值函数 0,0,|xxxxxyoxy定义域定义域R值域值域),0 三、函数的特性三、函数的特性1函数的有界性函数的有界性:,)(,0,成立成立有有若若MxfXxMDX .)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数XxfM-Myxoy=f(x)X有界有界M-MyxoX0 x无界无界Ox成立，则称函数 y =f(x)在区间 I 上是上方有界的,简称有上界上界。设函数 y=f(x)在区间I 上有定义。若存在实数 M (可正，可负)，对一切 x I 恒有OxyMy=f(x)f(x)M Oxf(x)m在区间 I 上是下方有界的,简称有下界下界。设函数 y=f(x)在区间 I 上有定义。若存在实数 m (可正，可负),对一切 x I 恒有 成立，则称函数 y =f(x)Oxymy=f(x)函数函数 y=f(x)有界有界f(x)既有上界又有下界既有上界又有下界.在区间在区间 I 上上:xyABO)(xfy 2函数的单调性函数的单调性:,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI),()()1(21xfxf 恒有恒有;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf)(xfy)(1xf)(2xfxyoI,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI),()()2(21xfxf 恒有恒有;)(上是单调减少的上是单调减少的在区间在区间则称函数则称函数Ixf)(xfy)(1xf)(2xfxyoI,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数3函数的奇偶性函数的奇偶性:有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf ;)(为偶函数为偶函数称称xfyx)(xf )(xfy ox-x)(xf偶函数偶函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf ;)(为奇函数为奇函数称称xf)(xf yx)(xfox-x)(xfy 奇函数奇函数4函数的周期性函数的周期性:,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的.)()(恒成立恒成立且且xflxf 为周为周则称则称)(xf.)(,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l5.反函数与复合函数反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质反函数的概念及性质若函数若函数)(:DfDf为单射为单射,则存在逆映射则存在逆映射DDff)(:1习惯上习惯上,Dxxfy,)(的反函数记成的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射称此映射1f为为 f 的的反函数反函数.其反函数其反函数(减减)(减减).1)yf(x)单调递增单调递增,)(1存在xfy且也单调递增且也单调递增 性质性质:2)函数函数)(xfy 与其反函数与其反函数)(1xfy的图形关于直线的图形关于直线xy 对称对称.例如例如,),(,xeyx对数函数对数函数),0(,lnxxy互为反函数互为反函数,它们都单调递增它们都单调递增,其图形关于直线其图形关于直线xy 对称对称.)(xfy)(1xfyxy),(abQ(,)P a bxyo指数函数指数函数(2)复合函数复合函数 1),(Duufy,),(Dxxgu1)(DDg且则则Dxxgfy,)(设有函数链设有函数链称为由称为由,确定的确定的复合函数复合函数,复合映射的特例复合映射的特例 u 称为称为中间变量中间变量.注意注意:构成复合函数的条件构成复合函数的条件 1)(DDg不可少不可少.例如例如,函数链函数链:,arcsinuy,122xu函数函数,12arcsin2xyDx,1231,23但函数链但函数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数不能构成复合函数.可定义复合可定义复合两个以上函数也可构成复合函数两个以上函数也可构成复合函数.例如例如,0,uuy可定义复合函数可定义复合函数:,2cotxy,)12(,2(kkxZn02cot,22xkxk时),2,1,0(,cotkkvvu),(,2xxv四四.初等函数初等函数(1)基本初等函数基本初等函数常数函数、幂函数、常数函数、幂函数、指数函数、指数函数、对数函数、对数函数、三角函数、三角函数、反三角函数反三角函数(2)初等函数初等函数 由常数及基本初等函数经过有限次四则运由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成算和复合步骤所构成 ,并可用一个式子表示并可用一个式子表示的函数的函数 ,称为初等函数称为初等函数 .否则称为否则称为非初等函非初等函数数 .例如例如 都是初等函数都是初等函数.1523xxy112xxxyxxeey23xyxxxy22sin1 cos1 sin 一般说来,分段函数不是初等函数.但有个别分段函数例外，例如但有个别分段函数例外，例如0 ,0 ,xxxxy因为它可以改写为初等函数因为它可以改写为初等函数2xy 的形式的形式.xxxexyln110,1xxyx幂指函数幂指函数是否为初等函数？是否为初等函数？它是由它是由uey与与xxuln构成的复合函数构成的复合函数,故该幂指函数是一个初等函数故该幂指函数是一个初等函数.例例附录：几类基本初等函数图像附录：几类基本初等函数图像1.幂函数幂函数)(是常数是常数 xyoxy2xy xy xy 11)1,1(xy1 2.指数函数指数函数)1,0(aaayxxey xay xay)1()1(a)1,0(3.对数函数对数函数)1,0(log aaxyaxyln xyalog xya1log)1(a)0,1(4.三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin 余弦函数余弦函数xycos xycos 正切函数正切函数xytan xytan 余切函数余切函数xycot xycot 正割函数正割函数xysec xysec 余割函数余割函数xycsc xycsc 5.反三角函数反三角函数xyarcsin 反反正正弦弦函函数数xyarcsin xyarccos 反反余余弦弦函函数数xyarccos 2y2y 0y yxyarctan 反正切函数反正切函数xyarctan xycot 反余切函数反余切函数arcxycot arc 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.2y2y 0y y其它内容请同学们自己看书 作业P21 6(5),(8),(10);11;17;