案例1变式教学

解法解法背景背景题目题目感悟感悟说说 题题功能功能解法解法背景背景题目题目感悟感悟说说 题题功能功能如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。浙教版八年级上册数学浙教版八年级上册数学第二章第二章特殊三角形特殊三角形的第七节的第七节直角三角形直角三角形全等的判定全等的判定课后作业课后作业题第题第2 2题题(第第4747页页)如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。（3）掌握了）掌握了直角三角形全等直角三角形全等的判定的判定。（1 1）学会了）学会了全等三角形的判全等三角形的判定和性质定和性质；（2 2）认识了）认识了直角三角形及它直角三角形及它的性质的性质；解法解法背景背景题目题目感悟感悟说说 题题功能功能如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。知识点涉及：知识点涉及：（1）垂直的意义；）垂直的意义；（2）同角的余角相等；）同角的余角相等；（3）三角形外角的性质；）三角形外角的性质；（4）三角形全等的判定）三角形全等的判定.如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。（1 1）三个垂直；）三个垂直；（2 2）一组边相等）一组边相等.已知条件：已知条件：如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。(3)(3)三角形的一个外角等于和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和它不相邻的两个内角的和.隐含条件：隐含条件：(1)BPD=180(1)BPD=1800 0；(2)(2)三角形的内角和等于三角形的内角和等于1801800 0；如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。是一道几何证明题。是一道几何证明题。证明证明ABPABPPDCPDC，目标：目标：解法解法背景背景题目题目感悟感悟说说 题题功能功能如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。都说都说思维起点思维起点的选择是数的选择是数学解题的关键，当思维起点学解题的关键，当思维起点合理、准确时，就能得心应合理、准确时，就能得心应手，当思维起点偏离时，就手，当思维起点偏离时，就容易误入歧途。容易误入歧途。如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。思维的起点：思维的起点：寻找判定三角形寻找判定三角形全等的方法全等的方法.如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。学习方式：学习方式：独立思考独立思考如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。教师引导：教师引导：（1 1）题目当中有哪些已知）题目当中有哪些已知量？需要你求解的问题是什量？需要你求解的问题是什么？么？用笔划出关键词，并在图上用笔划出关键词，并在图上做标记做标记教师引导：教师引导：如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。（2 2）你所知道的可以判）你所知道的可以判定三角形全等的方法有哪定三角形全等的方法有哪些？些？学生回答，教师板书罗列学生回答，教师板书罗列HL;SSS;SAS;AAS;ASA.如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。教师引导：教师引导：（3 3）题目当中的已知量）题目当中的已知量够你用来判定三角形全等够你用来判定三角形全等了吗？了吗？HL;SSS;SAS;AAS;ASA.教师引导：教师引导：如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。（4 4）请估测哪个方法更合）请估测哪个方法更合理一些？理一些？HL;SSS;SAS;AAS;ASA.AAS;ASA.（5 5）如果选用）如果选用“AAS”AAS”方法方法证明，那么还需要什么条件？证明，那么还需要什么条件？需要一组相等的对应角需要一组相等的对应角如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。AAS;ASA.教师引导：教师引导：（6 6）请寻找第二组对应）请寻找第二组对应角，并说明它们相等；角，并说明它们相等；对应角：对应角：APBAPB和和C C，A A和和CPD.CPD.如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。AAS;ASA.教师引导：教师引导：（6 6）请寻找第二组对应）请寻找第二组对应角，并说明它们相等；角，并说明它们相等；对应角：对应角：APBAPB和和C C，A A和和CPD.CPD.该如何说明它们相等呢？该如何说明它们相等呢？如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。AAS;ASA.教师引导：教师引导：要说明要说明APB=C，必须借助其他的角必须借助其他的角.（7 7）你可以借助哪个角？）你可以借助哪个角？CPDCPD如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。AAS;ASA.由题意可得：由题意可得：C C与与CPDCPD互余，互余，APBAPB与与CPDCPD互余，互余，根据根据同角的余角相等同角的余角相等，故而故而APB=C.如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。AAS;ASA.同理可得：同理可得：A=CPD.请写出该题的解答过程请写出该题的解答过程.如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。ABBD,B=900，根据三角和的内，根据三角和的内角和是角和是1800，A+APB=900，同理，同理D=900，C+CPD=900，APPC，APB+CPD=900，根，根据等量代换，据等量代换，APB=C，在在ABP和和PDC中，中，APB=C，B=D，AP=CD，ABP PDC（AAS）.方法一：方法一：AAS.如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。ABBD,根据三角和的内角和是根据三角和的内角和是1800，A+APB=900，同理同理C+CPD=900，APPC，APB+CPD=900，根，根据等量代换，据等量代换，APB=C，A=CPD，在在ABP和和PDC中，中，APB=C，AP=CD，A=CPD，ABP PDC（ASA）.方法二：方法二：ASA.如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。习题小结：习题小结：提问：提问：除了利用同角的余角相除了利用同角的余角相等来说明对应角相等外，有没等来说明对应角相等外，有没有其他方法说明对应角相等？有其他方法说明对应角相等？在已经知道三个直角的情况在已经知道三个直角的情况下，可以利用同角的余角相等下，可以利用同角的余角相等来说明对应角相等来说明对应角相等.解法解法背景背景题目题目感悟感悟说说 题题功能功能数学思想方法：数学思想方法：数形结合数形结合；知识功能：（知识功能：（1 1）巩固巩固“四基四基”，通过解题使学生获得，通过解题使学生获得系统的三角形全等判定的数学知识，形成必要的解决系统的三角形全等判定的数学知识，形成必要的解决几何题的技能技巧；几何题的技能技巧；能力培养：能力培养：培养学生的探索、分析问题的能力，培养学生的探索、分析问题的能力，考查学生的观察与归纳能力考查学生的观察与归纳能力；（2 2）建立起新旧知识间的联系，引起学生的思考，让建立起新旧知识间的联系，引起学生的思考，让学生明白，并不是所有的直角三角形全等的判定都是学生明白，并不是所有的直角三角形全等的判定都是用用“HL”HL”的，而是应该灵活应用所学知识，正确选择的，而是应该灵活应用所学知识，正确选择解题方法解题方法。如图，如图，ABP和和PDC中，点中，点P在在线段线段BD上，上，B=APC=D=600，AP=PC，那，那么么ABP和和PDC是否全等？请说明理由。是否全等？请说明理由。ABPDC能否能否类比类比前一题的解题方法？前一题的解题方法？（1 1）三个）三个60600 0的角；的角；（2 2）一组边相等）一组边相等.已知条件：已知条件：发现发现：无法用同角的余角相等：无法用同角的余角相等来说明对应角相等来说明对应角相等.如图，如图，ABP和和PDC中，点中，点P在在线段线段BD上，上，B=APC=D=600，AP=PC，那，那么么ABP和和PDC是否全等？请说明理由。是否全等？请说明理由。ABPDC教师引导：教师引导：（1）该用什么方法说明）该用什么方法说明对应角相等呢？对应角相等呢？学习方式：学习方式：独立思考，自独立思考，自主探索主探索；小组合作学习小组合作学习如图，如图，ABP和和PDC中，点中，点P在在线段线段BD上，上，B=APC=D=600，AP=PC，那，那么么ABP和和PDC是否全等？请说明理由。是否全等？请说明理由。ABPDC学生很快会得到要说明学生很快会得到要说明APB=C，可以借助，可以借助三角三角形的内角和等于形的内角和等于1800.由题意可得，由题意可得，C+CPD=1200，APB+CPD=1200，APB=C.如图，如图，ABP和和PDC中，点中，点P在在线段线段BD上，上，B=APC=D=600，AP=PC，那，那么么ABP和和PDC是否全等？请说明理由。是否全等？请说明理由。ABPDC学生很快会得到要说明学生很快会得到要说明APB=C，也可以直接借，也可以直接借助助三角形外角的性质三角形外角的性质.APB+APC=BPC，C+D=BPC，APC=D，APB=C.如图，如图，ABP和和PDC中，点中，点P在在线段线段BD上，上，B=APC=D=600，AP=PC，那，那么么ABP和和PDC是否全等？请说明理由。是否全等？请说明理由。ABPDC教师巡视，个别指导教师巡视，个别指导个别展示个别展示如图，如图，ABP和和PDC中，点中，点P在在线段线段BD上，上，B=APC=D=600，AP=PC，那，那么么ABP和和PDC是否全等？请说明理由。是否全等？请说明理由。ABPDC发现两种解题思路：发现两种解题思路：（1 1）利用三角形的内角和等）利用三角形的内角和等于于1801800 0；习题小结：习题小结：（2 2）直接利用三角形的一个）直接利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内外角等于和它不相邻的两个内角的和角的和.如图，如图，ABP和和PDC中，点中，点P在在线段线段BD上，上，B=APC=D=600，AP=PC，那，那么么ABP和和PDC是否全等？请说明理由。是否全等？请说明理由。ABPDC提问：提问：既然该题有两种解既然该题有两种解题思路，那么前一题，是题思路，那么前一题，是否也可以用这两种解题思否也可以用这两种解题思路解答呢？路解答呢？习题小结：习题小结：如图，如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC，请说明理由。，请说明理由。发现：发现：之前的解答，就是之前的解答，就是利用了三角形的内角和利用了三角形的内角和.而而该题同样可以利用三角形该题同样可以利用三角形的外角的性质来解答的外角的性质来解答.如图，如图，ABP和和PDC中，点中，点P在在线段线段BD上，上，B=APC=D=600，AP=PC，那，那么么ABP和和PDC是否全等？请说明理由。是否全等？请说明理由。ABPDC 强化数学思想：类比，强化数学思想：类比，从特殊到一般，从一般到从特殊到一般，从一般到特殊特殊.变式功能：变式功能：如图，如图，ABP和和PDC中，点中，点P在在线段线段BD上，上，B=APC=D，AP=PC，那么，那么ABP和和PDC是否全等？请说明理由。是否全等？请说明理由。ABPDC能否能否类比类比前一题的解题方法？前一题的解题方法？（1 1）三个相等的角；）三个相等的角；（2 2）一组边相等）一组边相等.已知条件：已知条件：发现发现：可以类比：可以类比.如图，如图，ABP和和PDC中，点中，点P在在线段线段BD上，上，B=APC=D，AP=PC，那么，那么ABP和和PDC是否全等？请说明理由。是否全等？请说明理由。ABPDC 在已经知道三个角相等，在已经知道三个角相等，一组边相等的情况下，就一组边相等的情况下，就可以说明两个三角形全等。可以说明两个三角形全等。习题小结：习题小结：如图，如图，ABP和和PDC中，点中，点P在在线段线段BD上，上，B=APC=D，AP=PC，那么，那么ABP和和PDC是否全等？请说明理由。是否全等？请说明理由。ABPDC 提炼模型，从特殊到一提炼模型，从特殊到一般，升华学生对该模型的般，升华学生对该模型的理解与掌握。理解与掌握。变式功能：变式功能：如图，如图，ABP和和PDC中，点中，点P在在线段线段BD上，上，B=APC=D，AP=PC，那么，那么ABP和和PDC是否全等？请说明理由。是否全等？请说明理由。ABPDC如图，如图，ABP和和PDC中，点中，点P在在线段线段BD上，上，B=APC=D，那么那么ABP和和PDC是否全等？是否全等？如果全等，如果全等，请请说明理由说明理由；如果不全等，那么它们是什么；如果不全等，那么它们是什么关系？关系？通过类比，学生可以得到，在通过类比，学生可以得到，在一组对应边相等这个条件被弱一组对应边相等这个条件被弱化的前提下，两个三角形已经化的前提下，两个三角形已经不全等了，而是相似不全等了，而是相似.ABPDC如图，如图，ABP和和PDC中，点中，点P在在线段线段BD上，上，B=APC=D，那么那么ABP和和PDC是否全等？是否全等？如果全等，如果全等，请请说明理由说明理由；如果不全等，那么它们是什么；如果不全等，那么它们是什么关系？关系？进一步提炼模型，三个角进一步提炼模型，三个角相等，可得两个三角形相相等，可得两个三角形相似似.变式功能：变式功能：（20122012年湖北）年湖北）在在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，D D为为BCBC的中点，的中点，以以D D为顶点作为顶点作MDN=B.MDN=B.（1 1）如左图，当射线）如左图，当射线DNDN经过点经过点A A时，时，DMDM交边交边ACAC于点于点E E，不添加辅助线，写出图中所有与不添加辅助线，写出图中所有与ADEADE相似的三角形；相似的三角形；（2 2）如右图，）如右图，MDNMDN绕点绕点D D沿逆时针方向旋转，沿逆时针方向旋转，DMDM，DNDN分别交线段分别交线段ACAC，ABAB于点于点E E，F F（点（点E E与点与点A A不重合），不添不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；论；解法解法背景背景题目题目感悟感悟说说 题题功能功能 这一组变式题，始终围绕三角形全等的判这一组变式题，始终围绕三角形全等的判定，三角形相似的判定而展开，由易到难，定，三角形相似的判定而展开，由易到难，由特殊到一般，得到由特殊到一般，得到“三个相等的角，一组三个相等的角，一组相等的对应边，则两个三角形全等相等的对应边，则两个三角形全等”，而，而“只有三个相等的角，则只能得到两个三角只有三个相等的角，则只能得到两个三角形相似形相似”，这两个基本模型。巩固了学生对，这两个基本模型。巩固了学生对三角形有关知识的理解。因为这两个基本模三角形有关知识的理解。因为这两个基本模型经常在中考题中出现，所以在教学中渗透型经常在中考题中出现，所以在教学中渗透这两个基本模型就非常的必要。这两个基本模型就非常的必要。总之，在习题的设计与选择上，我们应该总之，在习题的设计与选择上，我们应该多关注书本习题，遵循由浅入深，由易到难多关注书本习题，遵循由浅入深，由易到难的原则，活用变式，做到环环相扣，逐步提的原则，活用变式，做到环环相扣，逐步提高，从高，从“题海题海”中找到中找到“闻一知十闻一知十”的精题，的精题，这样才有利于学生加强实践，拓展思维，才这样才有利于学生加强实践，拓展思维，才能激发学生学习的兴趣和动力，促进知识向能激发学生学习的兴趣和动力，促进知识向技能的转化，最大限度的发挥习题在教学辅技能的转化，最大限度的发挥习题在教学辅助中的作用，提高数学课的教学效率。助中的作用，提高数学课的教学效率。