微分方程的概念IV

第七章 常微分方程本章学习要求：n了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.n了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.n会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.n知道下列高阶方程的降阶法：.)()(xfyn),(yxfy ),(yyfy n了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法.n熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.n掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.第一节 微分方程的基本概念常微分方程方程的阶数线性方程、非线性方程方程的解、通解、特解、所有解初始条件（定解条件）积分曲线（解的几何意义）初值问题、初值问题的解齐次方程、非齐次方程常微分方程含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程。未知函数可以不出现，但其导数一定要出现。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数为多元函数的微分方程，称为偏微分方程。例2 d dxtxxcyxybxysindddd220dd2xyyx322ddtxtx常微分方程常微分方程),(222222zyxfzuyuxu偏微分方程偏微分方程线性方程、非线性方程若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次的，且系数只与自变量有关（与未知函数及其导数无关），则称该方程为线性方程，否则，称之为非线性方程。2 d dxtxxcyxybxysindddd22322ddtxtx一阶一阶二阶二阶一阶一阶线性线性线性线性非线性非线性常微分方程的阶数微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高次数，称为微分方程的阶数。齐方程、非齐次方程在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。自由项为零的方程，称为齐方程。自由项不为零的方程，称为非齐方程。2 d dxtxxcyxybxysindddd22322ddtxtx一阶齐线性方程一阶齐线性方程二阶非齐线性方程二阶非齐线性方程一阶非齐非线性方程一阶非齐非线性方程 为为阶微分方程的一般形式阶微分方程的一般形式n 0),()(。nyyyxF方程的解、通解、特解、所有解方程的解、通解、特解、所有解能使微分方程成为恒等式的函数，称为方程的能使微分方程成为恒等式的函数，称为方程的解解。如果如果 n 阶微分方程的解中含有阶微分方程的解中含有n 个相互独立的任意个相互独立的任意常数，则称此解为常数，则称此解为 n 阶微分方程的阶微分方程的通解通解。一般说来，不含有任意常数的解，称为方程的一般说来，不含有任意常数的解，称为方程的特解特解。通常由一定的条件出发，确定方程通解中的任意常通常由一定的条件出发，确定方程通解中的任意常数来得到特解。但有些特解不能由通解求出，必须利用数来得到特解。但有些特解不能由通解求出，必须利用其它方法直接由方程解出。其它方法直接由方程解出。所有解通解不能包含在通解内的所有特解。所有解通解不能包含在通解内的所有特解。例 sincos 为为微微分分方方程程的的解解：验验证证函函数数axaxy )0(02。为为常常数数 ayay解解,cossinaxaaxay),sin(cossincos222axaxaaxaaxay 代入方程，得代入方程，得 0,)sincos()sincos(222 axaxaaxaxayay sincos 为此微分方程的解。为此微分方程的解。故函数故函数axaxy 微分方程的解不一定都能用初等函数表示出来。微分方程的解不一定都能用初等函数表示出来。此时可求数值解此时可求数值解初始条件（定解条件）初始条件（定解条件）由自然科学、社会科学以及数学本身建立微由自然科学、社会科学以及数学本身建立微分方程时，往往同时知道微分方程的解应满足某分方程时，往往同时知道微分方程的解应满足某些已知的条件。这些已知条件就称为微分方程的些已知的条件。这些已知条件就称为微分方程的初始条件或定解条件。初始条件或定解条件。常微分方程常微分方程初始条件初始条件称为初值问题（柯西问题）称为初值问题（柯西问题）例1解解处上任意一点的平面曲线设通过点),()2 ,1(0yxMLM.2 的方程，求此曲线的切线的斜率为Lx，则有设曲线的方程为)(xyy .2ddxxy应满足条件此外，函数)(xyy，2)(1xxy)1(积分，得式两边关于将 )1(xCxxxy2d2)2()3(，得代入将)3()2(,1C 故所求的曲线方程为12 xy微分方程微分方程初始条件初始条件通解通解特解特解 例解解处上任意一点的平面曲线设通过点),()2 ,1(0yxMLM .2 的方程，求此曲线的切线的斜率为Lx，则有设曲线的方程为)(xyy .2ddxxy应满足条件此外，函数)(xyy，2)(1xxy)1(积分，得式两边关于将 )1(xCxxxy2d2)2()3(，得代入将)3()2(,1C 故所求的曲线方程为12 xy微分方程微分方程初始条件初始条件通解通解特解特解Cxxxy2d212 xy有何想法？有何想法？积分曲线（解的几何意义）积分曲线（解的几何意义）常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线。常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线。通解的图形是一族积分曲线。通解的图形是一族积分曲线。特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线。特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线。12 xyxyOCxy2)2 ,1(0M例例2.列车在平直路上以sm20的速度行驶,制动时获得加速度,sm4.02a求制动后列车的运动规律.解解:设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知4.0dd22ts,00ts200ddtts由前一式两次积分,可得2122.0CtCts利用后两式可得0,2021CC因此所求运动规律为tts202.02说明说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求 s=s(t).求所满足的微分方程.例例2.已知曲线上点 P(x,y)处的法线与 x 轴交点为 QPQxyox解解:如图所示,yYy1)(xX 令 Y=0,得 Q 点的横坐标yyxX,xyyx即02 xyy点 P(x,y)处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分,常微分方程的初等方法介绍常微分方程的解法分离变量法常数变易法积分因子法变量代换法降阶法高阶线性常系数微分方程解法特征值法变量代换法 在求微分方程数值解时，往往需要研究解的存在性、在求微分方程数值解时，往往需要研究解的存在性、唯一性和稳定性。唯一性和稳定性。