教学两个向量数量积

1)1)空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质|,cos)4)30)2,cos)1222bababaaaaaaababaeaaea注意：注意：性质性质2 2）是证明两向量垂直的依据；）是证明两向量垂直的依据；性质性质3 3）是求向量的长度（模）的依据；）是求向量的长度（模）的依据；（）性质是求两个向量夹角的依据；（）性质是求两个向量夹角的依据；2)2)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律 注意：注意：分配律）交换律）()(3()2)()()1cabacbaabbababa数量积不满足结合律数量积不满足结合律)()cbacba（accbbacbacbababababababa222)3()2(21222222222）（）（）（结论：例例1 1已知在平行六面体中，已知在平行六面体中，,求对角线的长。求对角线的长。ABCDA B C D 4AB 3,5,90,60ADAABADBAADAA AC ADCBADCBA AB BC CD DDDE E 例例2 2、如图所示，已知线段、如图所示，已知线段ABAB在平面在平面内，线段内，线段ACAC，线段，线段BDABBDAB，线段，线段D DDD 交交 于于DD,DBD=30DBD=30.如果如果ABABa a，ACACBDBDb b，（1 1）求）求C C、D D间的距离间的距离;（2 2）求异面直线求异面直线DC,BDC,BDD所成的角所成的角F F 在正方体在正方体AC1中中 A1B1面面BCC1B1且且BC1 B1C B1C是是A1C在面在面BCC1B1上的射影上的射影 C B A1B1 C1A D D1证明：证明：C B A1B1 C1A D D1同理可证，同理可证，A1CB1D1由三垂线定理知由三垂线定理知 A1CBC1 1111113DBCABCCAAC，求证：中，：在正方体例 C B A1B1 C1A D D1结论结论:正方体的对角线与每个面中与之正方体的对角线与每个面中与之为异面直线的对角线垂直为异面直线的对角线垂直 例例4:利用向量的数量积可以证明两直线垂直，因而利用向量的数量积可以证明两直线垂直，因而也可以证明线面垂直问题。也可以证明线面垂直问题。例例1 1、正方体、正方体 中，中，E E、F F分别是分别是 的中点。求证：的中点。求证：1111DCBAABCDCDBB,1AEDFD平面1DCAB1A1B1C1DEF分析：分析：要证明线面要证明线面垂直，只需证明直垂直，只需证明直线和已知平面内的线和已知平面内的两条相交直线垂直两条相交直线垂直即可。本题可考虑即可。本题可考虑证明证明AEFDADFD11,1)1)空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质|,cos)4)30)2,cos)1222bababaaaaaaababaeaaea注意：注意：性质性质2 2）是证明两向量垂直的依据；）是证明两向量垂直的依据；性质性质3 3）是求向量的长度（模）的依据；）是求向量的长度（模）的依据；（）性质是求两个向量夹角的依据；（）性质是求两个向量夹角的依据；小 结：到目前为止，我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下几类问题：1、证明两直线垂直。2、求两点之间的距离 或线段长度。（3、证明线面垂直。）4、求两直线所成角的余弦值等等。