高等数学下册综合练习题

kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的（注意它与平面直角坐标系的区别区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限）21221221221zzyyxxMM 向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）（注意共线、共面的条件）（注意共线、共面的条件）kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程.（注意两平面的（注意两平面的位置位置特征）特征）.|222000CBADCzByAxd kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回空间直线的一般方程空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角两直线的夹角.直线与平面的夹角直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线).0),(zyxFkji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回多元函数极限的概念多元函数极限的概念（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）多元函数的定义多元函数的定义多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回1、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回（分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1(yxF0),()2(zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxFkji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面（当空间曲线方程为一般式时，求切向（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用量注意采用推导法推导法）曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（求法向量的方向余弦时注意（求法向量的方向余弦时注意符号符号）kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回),(yxgradfjyfixf kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回例例如如,点点)0,0(是是函函数数xyz 的的驻驻点点，但但不不是是极极值值点点.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定定理理 2 2（充充分分条条件件）设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内连连续续，有有一一阶阶及及二二阶阶连连续续偏偏导导数数，注意：注意：kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回又又 0),(00 yxfx,0),(00 yxfy，令令 Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时具有极值，时具有极值，当当0 A时有极大值，时有极大值，当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回求求函函数数),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤：第一步第一步 解方程组解方程组,0),(yxfx0),(yxfy求求出出实实数数解解，得得驻驻点点.第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A、B、C.第第三三步步 定定出出2BAC 的的符符号号，再再判判定定是是否否是是极极值值.kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回)(,),(),()()(21面面元元素素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)(,),(),()()(),(),(2121体体元元素素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)(,1)(,),(2曲曲线元素线元素 baLdxdxxyxfdxyxf)(,)(,),(投投影影线线元元素素kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),(xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR),(,),(其中其中dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos(dsQPQdyPdxLL)coscos()(曲曲面面元元素素dS)(投影投影面元素面元素dxdykji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回在在 单单 连连 通通 开开 区区 域域D上上),(),(y xQy xP具具 有有连连 续续 的的 一一 阶阶 偏偏 导导 数数,则则 以以 下下 四四 个个 命命 题题 成成 立立.格林公式定理定理1 1)3(kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件 CDCQdyPdx闭闭曲曲线线,0)2(QdyPdxduyxUD 使使内内存存在在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在NoImageNoImage等等价价命命题题kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回 高高 斯斯 公公 式式)1()2(这里这里是是的整个边界曲面的外侧，的整个边界曲面的外侧，)3(dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdxkji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯(stokes)公式kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;,0,则则级级数数发发散散当当 nunkji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回应该掌握的公式应该掌握的公式 1,1x!n1n21x161,1(1nx1x1ln5,!n2x1xcos4,!1n2x1xsin3,!nxe21,1xx111n0n0n1nn0nn2n0n1n2n0nnx0nn kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回高等数学高等数学(下册下册)综合练习题综合练习题()一、1.nnyxxyyx 33 00yxyx2.3.181)39(3lim339lim0000 xyxyxyxyxyyxyx4.当当 kxy 时时，22220031434limkkxkxxkxkxyx ,这与这与 k有关 dyxyxyxxyxdxxyxyyxyy)cos()(sin3)sin()cos()(sin3)sin(.522 222221116yxyvuvuvxz )(.22222111yxxvuvuvyz )(kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回3z2yx3z2yx2sinzyxF )(),(.令令71 )(),(3z2yx2coszyxFx23z2yx4coszyxFy )(),(33z2yxcoszyxFz )(),(6166 33z2yxcos33z2yxcos)()(yzxzkji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回0)1(2)2()21(412112124 zyxzyx法法线线方方程程为为：切切线线方方程程为为：tztytxttt2,1,)1(122 解解：),(1221切切点点为为2,1,1.8tzttyttx kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回332231,0)3(3)2(2)1(3.9 zyxzyx139813125101331342|.10)2,1,5(lukji477.11 22333.12abab 1633,1633.13 14.可微可微连连续续，可可导导可可导导，可可微微 kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回 Dyyydxxdyydxdyx1011)1()1(.15dyyyxy 10211)1(21241)(213210 dyyy 41222222)sin(.16yxdyxyxrdrrrd 2021)sin(412)cos(2 rkji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回dzyxzdxdydvyxzyy 10010222)1()1(.17 100222)1(2)1(ydxyyxdydyyyydyyy 1032102)2(414)1(481 2020222),sin,cos(.18rrdrzrrfdrdkji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回drrrdd sincos.19220402022dydzzyAD )(41.2022 3134122020rdrrd的的极极坐坐标标方方程程为为：22cos.24 aL22222822aadadsyxL coskji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回154.254112 dxxx）（dsz2.26 xyDyxdxdyzzyx22221)(3 xyDdxdyyxyyxxyx22222222)(326)(3261)(3 xyDdxdyyx31)(322 302206drrd 27kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回 xzdxdy.27 10210321xDdyyxxdxxzdxdyxy 12120121280.28yyyydxdydxdydxxxxx12)1(6)1(2102 dxxx12)1(210 1441 kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回 20101202042229rrzdzrdrdzdzrdrdI.drrzrdrrzr22102220122422 21 023)1,0,1(.3010123101222 zyxzyxxxzzyxzyxfdrrrdrrr)()(410420116 kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回二、1.解：设，yxyx 则有 22222222 uuuxuuuxu，22222222 uuuyuuuyu，（1）（2）将（将（1），（），（2）代入原方程得：）代入原方程得：,02 u从而从而)()()()(yxyxu （3）把已知条件代入（把已知条件代入（3）式得）式得：)()()()()(5332xxxxxx （4）kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回两边对两边对x求导得：求导得：1)3(3)(xx 联立（联立（4）（）（5）（）（6）解之可得：）解之可得：（6）cxxxcxxx )27(41)(,414)(33 于是可得于是可得：yyxyxyxu2)3()(41),(33xxxuxxxuxxuxyyyxx35)2,(,34)2,()2,(kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回2.解：解：0)sin()sin(22222110 dyxxydxdyxxydxIxxxxxx3.解：补充：平面解：补充：平面,0,1,221 zyx则有则有 102)()(22zdxdydzdxzxydydzyzx 11)1(2dvyxI rdzrrrdrd101020321sincos2kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回三、三、1.证：设证：设,22uyx 由于由于)(uf连续，故有连续，故有 udttfu0)()()()(ufu 即即duuud)(21)(21 )(22ydyxdxyxf Lydyxdxyx)(22从从而而0)(21 Lud kji 477.11 上一页上一页下一页下一页返回返回2.解：解：dxxaadyhaMaah 2202212=2 dyaxhaaaah|arcsin1022hhaydyyaa0022|arctan2 =2 aharctan=2