微分方程基本概念IV

1问题的提出问题的提出基本概念基本概念第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念2解解xxy2dd xxyd2,2Cxy 即即求得求得.12 xy,1 C),(xyy 例例 一曲线通过点一曲线通过点),2,1(且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点),(yxM处的切线的斜率为处的切线的斜率为,2x求这曲线的方程求这曲线的方程.一、问题的提出一、问题的提出设所求曲线的方程为设所求曲线的方程为所求曲线方程为所求曲线方程为则则.2,1 yx时时其其中中代入上式，代入上式，把把2,1 yx3如如xyy 0dd)(2 xxtxtxeyyy 32yxxz 二、基本概念二、基本概念含有未知函数的导数含有未知函数的导数(或微分或微分)的方程的方程.未知函数是一元函数的方程为未知函数是一元函数的方程为1.微分方程微分方程:常微分方程常微分方程;未知函数是多元函数的方程为未知函数是多元函数的方程为偏微分方程偏微分方程.方程中未知函数及其导数是一次的方程称为方程中未知函数及其导数是一次的方程称为线性微分方程线性微分方程；否则称为否则称为非线性微分方程非线性微分方程.4,0),(yyxF一阶微分方程一阶微分方程:);,(yxfy 高阶高阶(二阶及二阶以上二阶及二阶以上)微分方程微分方程:一般的一般的n阶微分方程为阶微分方程为,0),()(nyyyxF).,()1()(nnyyyxfy今后主要讨论今后主要讨论2.微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.5代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.3.微分方程的解微分方程的解微分方程的解的分类微分方程的解的分类(1)通解通解微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,的个数与微分方程的阶数相同的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解特解确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.如方程如方程Cxy 2.12 xy,2ddxxy 通解通解特解特解注注通解和特解是一般和特殊的关系通解和特解是一般和特殊的关系.且任意常数且任意常数6初值问题初值问题(柯西问题柯西问题)求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.解的图象解的图象通解的图象通解的图象微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.积分曲线族积分曲线族.初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.曲线通过曲线通过点点(1,2).如前例如前例,7二阶二阶 0000,),(yyyyyyxfyxxxx几何意义几何意义:的积分曲线的积分曲线.是过是过 且在此点切线的斜率为定值且在此点切线的斜率为定值),(00yx 00),(yyyxfyxx一阶一阶几何意义几何意义:是过是过 的积分曲线的积分曲线;),(00yx8解解 txdd 22ddtxxtx和和将将22dd是是微微分分方方程程验验证证：函函数数ktCktCxsincos21 .0dd,00的的特特解解 tttxAxktkCktkCcossin21 ktCkktCksincos2212 例例的表达式代入原方程的表达式代入原方程,0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.0dd222的解的解 xktx并求满足初等条件并求满足初等条件9ktCktCxsincos21 故故Axt 0.02 C所求特解为所求特解为.cosktAx ,0dd222 xktx且为且为通解通解.0dd0 ttx又又1CA 而而是原方程的解是原方程的解,0dd,00 tttxAxktkCktkCtxcossindd21 10作业作业习题习题6 6.1(5(5页页)1.(1)(3)2.(1)(3)3.(1)11思考题思考题(是非题是非题)微分方程的通解是否包含它所有的解微分方程的通解是否包含它所有的解?非非解答解答微分方程的通解不一定否包含它所有的解微分方程的通解不一定否包含它所有的解.例如例如,微分方程微分方程0d)3(d)4(234 yyxxyx的通解为的通解为.112132Cyyxx 其中其中C为任意常数为任意常数.的通解为的通解为但它不能包含方程的解但它不能包含方程的解:.00 yx或或