北京市东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测高一数学(解析版)

2019-2020 学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5 分）设集合M 0，N1，0，1，那么下列结论正确的是（）AM?BM NCM?NDN?M2（5 分）下列函数为偶函数的是（）Ay|x|BylnxCyexDyx33（5 分）已知函数ysinx 在区间 M 上单调递增，那么区间M 可以是（）A（0，2）B（0，）CD4（5 分）命题”?x A，2x B”的否定为（）A?x A，2x?BB?x?A，2x BC?x A，2x?BD?x?A，2x B5（5 分）若 ab，则下列不等式一定成立的是（）Aa2b2B2a2bCaD6（5 分）下列各式正确的是（）ABCD7（5 分）“a，b 为正实数”是“a+b2”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8（5 分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000 英里游回它们出生的地方产卵繁殖研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v，其中 O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数则该鲑鱼游速为2m/s 时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A8100B900C81D9二、多项选择题：本大题共2 小题，每小题5 分，共 10 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5 分，选对但不全的得2分，有选错的得0 分9（5 分）关于函数f（x）1+cosx，x（，2）的图象与直线y t（t 为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A当 t 0 或 t2 时，有 0 个交点B当 t 0 或时，有 1 个交点C当时，有 2 个交点D当 0t2 时，有 2 个交点10（5 分）已知函数f（x）4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A对于任意实数a，f（x）为偶函数B对于任意实数a，f（x）0C存在实数a，f（x）在（，1）上单调递减D存在实数a，使得关于x 的不等式f（x）5 的解集为（，11，+）三、填空题：共6 小题，每小题5 分，共 30 分11（5 分）函数f（x）ln（1x2）的定义域是12（5 分）sin的值为13（5 分）函数f（x）的值域为（0，+），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f（x）可以为（写出符合条件的一个函数即可）14（5 分）在国庆70 周年庆典活动中，东城区教育系统近2000 名师生参与了国庆中心区合唱、27 方阵群众游行、联欢晚会及7 万只气球保障等多项重点任务设Ax|x 是参与国庆中心区合唱的学校，Bx|x 是参与 27 方阵群众游行的学校，C x|x 是参与国庆联欢晚会的学校 请用上述集合之间的运算来表示：既参与国庆中心区合唱又参与27 方阵群众游行的学校的集合为；至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为15（5 分）已知函数f（x）则 f（2）；若 f（t）1，则实数t16（5 分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是yat1（a0 且 a1），它的图象如图所示，给出以下命题：池塘中原有浮草的面积是0.5 平方米；第 8 个月浮草的面积超过60 平方米；浮草每月增加的面积都相等；若浮草面积达到10 平方米，20 平方米，30 平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2t1+t3其中正确命题的序号有（注：请写出所有正确结论的序号）四、解答题：共5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17（12 分）已知集合Ax|x2+3x+20，全集 UR（1）求?UA；（2）设 Bx|m1x m，若 B?UA，求 m 的取值范围18（13 分）已知函数，f（0）（1）求 f（x）的解析式和最小正周期；（2）求 f（x）在区间 0，2 上的最大值和最小值19（14 分）在平面直角坐标系xOy 中，角 ，的顶点与坐标原点 O 重合，始边为x 轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B 两点，A，B 两点的纵坐标分别为（1）求 tan的值；（2）求的值20（16 分）已知函数f（x）（1）判断 f（x）的奇偶性并证明；（2）判断 f（x）的单调性并说明理由；（3）若 f（ax1）+f（2x）0 对任意 a（，2恒成立，求x 的取值范围21（15 分）对于集合A，定义函数fA（x）对于两个集合A，B，定义运算A*B x|fA（x）?fB（x）1（1）若 A1，2，3，B2，3，4，5，写出 fA（1）与 fB（1）的值，并求出A*B；（2）证明：fA*B（x）fA（x）?fB（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*BB*A，（A*B）*CA*（B*C）2019-2020 学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5 分）设集合M 0，N1，0，1，那么下列结论正确的是（）AM?BM NCM?NDN?M【分析】利用集合与集合的关系直接求解【解答】解：集合M 0，N1，0，1，M?N故选：C【点评】本题考查集合的关系的判断，考查交集、并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5 分）下列函数为偶函数的是（）Ay|x|BylnxCyexDyx3【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于 A，y|x|，是偶函数，符合题意；对于 B，ylnx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；对于 C，yex，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于 D，yx3，是幂函数，不是偶函数，不符合题意；故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性，属于基础题3（5 分）已知函数ysinx 在区间 M 上单调递增，那么区间M 可以是（）A（0，2）B（0，）CD【分析】直接利用函数的单调性和子区间之间的关系求出结果【解答】解：根据函数ysinx 的单调递增区间：（k Z），当 k0 时，单调增区间为，由于为的子区间，故选：D【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型4（5 分）命题”?x A，2x B”的否定为（）A?x A，2x?BB?x?A，2x BC?x A，2x?BD?x?A，2x B【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【解答】解：命题为全称命题，则命题”?x A，2x B”的否定为?x A，2x?B，故选：A【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础5（5 分）若 ab，则下列不等式一定成立的是（）Aa2b2B2a2bCaD【分析】直接利用不等式的应用和函数的单调性的应用求出结果【解答】解：由于ab，且 a 和 b 的正负号不确定，所以选项ACD 都不正确对于选项：B由于函数y2x为单调递增函数，且a b，故正确故选：B【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型6（5 分）下列各式正确的是（）ABCD【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式直接求解【解答】解：在 A 中，sin0sin sin，故 A 错误；在 B 中，cos，故 B 正确；在 C 中，故 C 错误；在 D 中，cossin，故 D 错误故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7（5 分）“a，b 为正实数”是“a+b2”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】可以取特殊值讨论充要性【解答】解：若 a，b 为正实数，取a 1，b1，则 a+b2，则“a，b 为正实数”是“a+b2”的不充分条件；若 a+b2，取 a 1，b0，则 b 不是正实数，则“a+b2”是“a，b 为正实数的不必要条件；则“a，b 为正实数”是“a+b 2”的既不充分也不必要条件，故选：D【点评】本题考查命题充要性，以及不等式，属于基础题8（5 分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000 英里游回它们出生的地方产卵繁殖研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v，其中 O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数则该鲑鱼游速为2m/s 时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A8100B900C81D9【分析】由题意令V2m/s，0m/s，则可求出耗氧量，求出之比【解答】解：鲑鱼游速为2m/s 时的耗氧量为：令v2，即，即，即 o8100，鲑鱼静止时耗氧量为：令v0，即，即 o100，故鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为，故选：C【点评】本题考查对数求值，属于中档题二、多项选择题：本大题共2 小题，每小题5 分，共 10 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5 分，选对但不全的得2分，有选错的得0 分9（5 分）关于函数f（x）1+cosx，x（，2）的图象与直线y t（t 为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A当 t 0 或 t2 时，有 0 个交点B当 t 0 或时，有 1 个交点C当时，有 2 个交点D当 0t2 时，有 2 个交点【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况，进一步确定结果【解答】解：根据函数的解析式画出函数的图象：对于选项A：当 t0 或 t 2 时，有 0 个交点，故正确 对于选项B：当 t0 或时，有 1 个交点，故正确 对于选项C：当 t时，只有一个交点，故错误 对于选项D：当，只有一个交点，故错误故选：AB【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的应用，利用函数的图象求参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型10（5 分）已知函数f（x）4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A对于任意实数a，f（x）为偶函数B对于任意实数a，f（x）0C存在实数a，f（x）在（，1）上单调递减D存在实数a，使得关于x 的不等式f（x）5 的解集为（，11，+）【分析】直接利用函数的对称性和函数的单调性的应用求出结果【解答】解：函数f（x）4|x|+x2+a，对于选项A：由于 x R，且 f（x）f（x），故函数 f（x）为偶函数故选项A 正确 对于选项B：由于 x20，所以，故 4|x|+x21 所以当 x0 时 a 2 时，f（x）0，故选项B 错误 对于选项C：由于函数f（x）的图象关于y 轴对称，在 x0 时，函数为单调递增函数，在 x0 时，函数为单调递减函数，故 f（x）在（，1）上单调递减，故选项C 正确 对于选项D：由于函数的图象关于y 轴对称，且在x0 时，函数为单调递增函数，在x0 时，函数为单调递减函数，故存在实数a0 时，当 x（，11，+）时，不等式成立，故选项D 正确故选：ACD【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型三、填空题：共6 小题，每小题5 分，共 30 分11（5 分）函数f（x）ln（1x2）的定义域是（1，1）【分析】解不等式1x20 即可【解答】解：令 1x20，解得 1x1，即函数的定义域为（1，1）故答案为：（1，1）【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题12（5 分）sin的值为【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果【解答】解：sinsin（2）sin故答案为：【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键13（5 分）函数f（x）的值域为（0，+），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f（x）可以为f（x）（写出符合条件的一个函数即可）【分析】由函数 f（x）（）x的值域为（0，+），且在定义域R 内单调递减，即是符合要求的一个函数【解答】解：函数f（x）（）x的值域为（0，+），且在定义域R 内单调递减，函数 f（x）（）x即是符合要求的一个函数，故答案为：f（x）（）x【点评】本题主要考查了指数函数的单调性和值域，是基础题14（5 分）在国庆70 周年庆典活动中，东城区教育系统近2000 名师生参与了国庆中心区合唱、27 方阵群众游行、联欢晚会及7 万只气球保障等多项重点任务设Ax|x 是参与国庆中心区合唱的学校，Bx|x 是参与 27 方阵群众游行的学校，C x|x 是参与国庆联欢晚会的学校 请用上述集合之间的运算来表示：既参与国庆中心区合唱又参与27 方阵群众游行的学校的集合为AB；至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为AC【分析】利用交集定义直接求解 利用并集定义直接求解【解答】解：设 Ax|x 是参与国庆中心区合唱的学校，Bx|x 是参与 27 方阵群众游行的学校，Cx|x 是参与国庆联欢晚会的学校既参与国庆中心区合唱又参与27 方阵群众游行的学校的集合为AB故答案为：AB 至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为AC故答案为：AC【点评】本题考查并集、交集的求法，考查并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（5 分）已知函数f（x）则 f（2）；若 f（t）1，则实数t0 或 1【分析】结合已知函数解析式，把x 2 代入即可求解f（2），结合已知函数解析式及 f（t）1，对 t 进行分类讨论分别求解【解答】解：f（x）则 f（2）22，f（t）1，当 t1 时，可得1，即 t1，当 t1 时，可得2t1，即 t0，综上可得t0 或 t1故答案为：；0 或 1【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题16（5 分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是yat1（a0 且 a1），它的图象如图所示，给出以下命题：池塘中原有浮草的面积是0.5 平方米；第 8 个月浮草的面积超过60 平方米；浮草每月增加的面积都相等；若浮草面积达到10 平方米，20 平方米，30 平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2t1+t3其中正确命题的序号有（注：请写出所有正确结论的序号）【分析】直接利用函数的图象求出函数的解析式，进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果【解答】解：浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是yat1（a0 且 a1），函数的图象经过（2，2）所以 2a21，解得 a 2 当 x0 时 y，故选项A 正确 当第 8 个月时，y2812712860，故 正确 当 t1 时，y1，增加 0.5，当 t2 时，y 2，增加 1，故每月的增加不相等，故错误 根据函数的解析式，解得 t1log210+1，同理 t2log220+1，t3 log230+1，所以 2t22log220+2log2400+2t1+t2log2300+2，所以则 2t2t1+t3故 正确故答案为：【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，定义性函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型四、解答题：共5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17（12 分）已知集合Ax|x2+3x+20，全集 UR（1）求?UA；（2）设 Bx|m1x m，若 B?UA，求 m 的取值范围【分析】（1）根据题意，求出集合A，进而由补集的性质分析可得答案；（2）根据题意，结合集合间的关系分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，因为A x|x2+3x+20 x|2x 1因为全集UR，所以?UA x|x 2 或 x 1，（2）根据题意，?UA x|x 2 或 x 1，若 B?UA，当 m1 1 或 m 2，即 m0 或 m 2，所以 m 的取值范围为（，20，+）【点评】本题考查集合的补集运算，涉及集合的子集关系，属于基础题18（13 分）已知函数，f（0）（1）求 f（x）的解析式和最小正周期；（2）求 f（x）在区间 0，2 上的最大值和最小值【分析】（1）利用函数值，转化求解函数的解析式，推出函数的周期；（2）利用函数的自变量的范围，求出相位的范围，然后求解正弦函数的最值【解答】解：（1）因为，所以又因为，所以 所以所以 f（x）最的小正周期（2）因为 x 0，2，所以当，即时，f（x）有最大值2，当，即 x2时，f（x）有最小值【点评】本题考查函数的周期以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题19（14 分）在平面直角坐标系xOy 中，角 ，的顶点与坐标原点 O 重合，始边为x 轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B 两点，A，B 两点的纵坐标分别为（1）求 tan的值；（2）求的值【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得 tan的值（2）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值【解答】解：（1）因为 的终边与单位圆交于点B，B 点的纵坐标为，所以因为，所以所以（2）因为 的终边与单位圆交于点A，A 点的纵坐标为，所以因为，所以，故【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题20（16 分）已知函数f（x）（1）判断 f（x）的奇偶性并证明；（2）判断 f（x）的单调性并说明理由；（3）若 f（ax1）+f（2x）0 对任意 a（，2恒成立，求x 的取值范围【分析】（1）定义域为R，然后求出f（x），得 f（x）f（x），所以为奇函数；（2）直接由指数函数的单调性可判断函数f（x）的单调性；（3）不等式变形，由奇函数的性质得出ax1x 2对任意 a（，2恒成立，令关于 a 的函数 g（a）xa+1x 0 在（，2上恒成立，g（a）一定单调递减，所以满足则只需解出 x 的范围【解答】解：（1）f（x）为奇函数因为 f（x）定义域为R，所以 f（x）f（x）所以 f（x）为奇函数；（2）在（，+）是增函数因为 y3x在（，+）是增函数，且 y3x在（，+）是减函数，所以在（，+）是增函数，（3）由（1）（2）知 f（x）为奇函数且f（x）（，+）是增函数又因为 f（ax1）+f（2x）0，所以 f（ax1）f（2x）f（x2）所以 ax 1x2 对任意 a（，2恒成立令 g（a）xa+（1x），a（，2则只需，解得所以 1x0所以 x 的取值范围为（1，0【点评】考查函数的奇函数的判断即函数的单调性，使用中档题21（15 分）对于集合A，定义函数fA（x）对于两个集合A，B，定义运算A*B x|fA（x）?fB（x）1（1）若 A1，2，3，B2，3，4，5，写出 fA（1）与 fB（1）的值，并求出A*B；（2）证明：fA*B（x）fA（x）?fB（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*BB*A，（A*B）*CA*（B*C）【分析】（1）由新定义的元素即可求出fA（1）与 fB（1）的值，再分情况求出A*B；（2）对 x 是否属于集合A，B 分情况讨论，即可证明出fA*B（x）fA（x）?fB（x）；（3）利用（2）的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律【解答】解：（1）A1，2，3，B2，3，4，5，fA（1）1，fB（1）1，A*B1，4，5；（2）当 x A 且 x B 时，fA（x）fB（x）1，所以 x?A*B所以 fA*B（x）1，所以 fA*B（x）fA（x）?fB（x），当 x A 且 x?B时，fA（x）1，fB（x）1，所以 x A*B所以 fA*B（x）1，所以 fA*B（x）fA（x）?fB（x），当 x?A 且 x B时，fA（x）1，fB（x）1所以 x A*B所以 fA*B（x）1所以 fA*B（x）fA（x）?fB（x）当 x?A 且 x?B 时，fA（x）fB（x）1所以 x?A*B所以 fA*B（x）1所以 fA*B（x）fA（x）?fB（x）综上，fA*B（x）fA（x）?fB（x）；（3）因为 A*B x|fA（x）?fB（x）1，B*Ax|fB（x）?fA（x）1x|fA（x）?fB（x）1，所以 A*BB*A因为（A*B）*C x|fA*B（x）?fC（x）1 x|fA（x）?fB（x）?fC（x）1，A*（B*C）x|fA（x）?fB*C（x）1 x|fA（x）?fB（x）?fC（x）1，所以（A*B）*CA*（B*C）【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了新定义问题，是中档题