数值计算方法测试题

数值计算方法测试题一一、填空题(每空1 分，共 17分)1、如果用二分法求方程x 3 + x -4二0在区间1,2内的根精确到三位小数，需对分()次。2、迭代格式X+i3、已知 a =( )l (x), l (x), A , l二xk + (叫-2)局部收敛的充分条件是取值在( X 30 x 11(x 1)3 + a(x 1)2 + b(x 1) + c 1 x 3、2b)。是三次样条函数，则)，4、 0 1为 l (x)二kk = 0(x) 是以整数点x l (x )=k j kk=0(5、设f (x)二 6x7 + 2x4 + 3x2 +1 和节点)，c=(x0, x1,A , xn 为节点的 Lagrange 插值基函数，则区(x4 + x2 + 3)l (x)=)，当n2 时 k=0 k k k ()。x 二 k /2, k = 0,1,2, A , f x , x , A , x 二k贝 y0 1n _)。A7 f06、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为,5个节点的求积公式最高代数精度为 i 。7、 k (对*0是区间0,1上权函数P (x)二x的最高项系数为1的正交多项式族，其中9 0(x)二 1，则:x 4(x)dx =x ax 二 b1 2 1，人、n ax + x = b8、给定万程组1 1 2 :迭代法收敛。2，a为实数，当a满足. 2 时，SOR9、解初值问题阶方法。10y二 f (x, y)y(x )二 y00Vy的改进欧拉法l n+1y0 = y + hf (x , y )n +1nn n=y + - f (x , y ) + f (xn 2 n n, y0 )n +1n +1是，当 a G(角阵，当其对角线元素炸=1,2,3)满足(二、选择题(每题2分)10 、设)时，必有分解式A = LLT，其中L为下三)条件时，这种分解是唯一的。1、解方程组Ax二b的简单迭代格式x(k+1) = Bx(k) + g收敛的充要条件是() p (A) 1, P (B) 1, P (B) 1b f (x)dx (b a)X C(n) f (x )2、 在牛顿-柯特斯求积公式：ai=0 1 1中，当系数Ci(是负值时,公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(1) n 工 8，(2) n 工 7，(3) n 工 10， n 工 6，3、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是( )。(1)二次； (2)三次；(3)四次；(4)五次hhy = y + hf (x + -, y + -f (x , y )4、若用二阶中点公式n+1n n 2 n 4 n n 求解初值问题y = 一2yy y()= 1，试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为()。x19253038y.19.032.349.073.3三、1、(8分)用最小二乘法求形如y二a + bx2的经验公式拟合以下数据：(1)0 h 2(2)0 h 2(3)0 h 2(4)0 h 2f1 e - xdx2、( 15分)用n 8的复化梯形公式(或复化Simpson公式)计算0 时, (1) 试用余项估计其误差。方程x3 - x - 1二0在x二1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式(2)用n 8的复化梯形公式(或复化Simpson公式)计算出该积分的近似值。四、 1、(15分) 11)x对应迭代格式 n+1,x + 1x = I1 + _I 1x 二 1 +-n+1xn一 3 n ； (2) x对应迭代格式；(3)x二x31对应迭代格式xn+1二xn-1。判断迭代格式在x0二1.5的 收敛性，选一种收敛格式计算x二1.5附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式 建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。2、(8分)已知方程组AX二f，其中43-24 _A_34-1f_30-14-24(1) 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。(2) 求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出 SOR 迭代法。” dy _1_ y +1 )的迭代公式为：1ax =(x +) x k = 0,1,2 Ak +1 2 k x 证明：对一切k二1,2,A xk，且序列W 是单调递减的， 从而迭代过程收敛。2、3、,试确定积分公式中的参数九，使其J 3f (x)dx q 牙f (1) + f (2)六、(9 分)数值求积公式 02是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？七、(9分)设线性代数方程组AX二b中系数矩阵A非奇异，X为精确解，b丰，若向量x是AX b的一个近似解，残向量r二b - AX ，证明估计式：rllcond (A)缶lbl1 (假定所用矩阵范数与向量范数相容)。八、(io分)设函数f(x)在区间虬3上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式H(x)，并导出其余项。I bf (x)w(x)dxA f (x )kkak=1为高斯型求积公式，证明乞 A q (x )* (x ) = 0i k i j i1)2)当 0 k, j n, k 丰 jI bl (x)l (x) w(x)dx = 0(k 丰 j)a k j艺 I bl 2 (x) w(x)dx = Ib w(x)dxa k ak=1时，i=1(3)十、(选做题8 分)卄 f (x) = &(x) = (x 一 x )(x 一 x )A (x 一 x )若n+101n ,xi(i = 0,1,A ,n)互异，求/xo,xi，A，xp的值，其中 p J n +1互异，求、(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8).(1)(2)(3)(4)数值计算方法测试题三24分）填空题 （2分）改变函数f （x）二皿+1-丫兀（x 1）的形式，使计算结果较精确（2分）若用二分法求方程 f（x）= 0在区间1,2内的根，要求精确到第3 位小数，则需要对分 次。f (x L(2分)设x 2 + x 2 则广0=1 2,x x 丿1 2 ，S(x)=2x3 0- x-1(3分)设x3 + ax2 + bx + c, 1 - x - 2是3次样条函数，则a= , b= , c=J 1 exdx（3分）若用复化梯形公式计算 0，要求误差不超过10-6，利用余项公式估计，至少用个求积节点。 x +1.6 x = 11 2 -（6分）写出求解方程组L 0.4x1 + x2 = 2的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为此迭代法是否收敛Cond (A)=A =(4分)设 （2分）若用Euler法求解初值问题歹=-10y，y（=1，为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为（64 分） （6分）写出求方程4x = cos（x）+1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。（12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算门15的近似值，并 利用余项估计误差。（10分）求f （x）=ex在区间0,1上的1次最佳平方逼近多项式。I =曲 dx（10分）用复化Simpson公式计算积分0 x 的近似值，要求 误差限为05 x 10-5。Jx + 4 x + 2 x = 24123v 3x + x + 5x = 341232 x + 6 x + x = 27123(6)(7)13、(51(x )121=2J1丿Ix丿2 1丿(8分)求方程组(8分)已知常微分方程的初值问题1 x1.2的最小二乘解。用改进的Euler方法计算y(12)的近似值，取步长h = 0.2。三(12分，在下列5个题中至多选做3个题)(1)(2)(3)10 1、 11丿(4)A=(6 分)用幂法求矩阵 向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05，取特征向量 的初始近似值为(1,0)T O(6分)推导求解常微分方程初值问题 y(x)= f (x, y(x), a x b, y(a)= y0y = y + h(卩 f + B f ) i=1 2 . Ni+1i 0 i 1 i-1 i=1 2 N的模最大的特征值及其相应的单位特征的形式为(6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：p(1) = 15 ， p (1) = 20 ， p (1) = 30 ， p (2) = 57 ， p (2) = 72 ， ， ， ，(6 分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度J 1 xf x )dx 00的公式，使其精度尽量高，其中fi = f(xi yi), xi = a + ih, i=0, 1,N,h = (b - a) N(6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题Jy+p(x)y+q(x)y + r(x)= 0, a x b所得到的三对角线性方程组。y (a )= 0,y(b )= 01、( 10 )2、(x4、( 1 )、 (j)7、0a8、二、选择题1、（2） 0ii73.3a 二 0.9255577h2fm ) 丄 x x e0 二丄二 0.0013021282768b 二 0.0501025所以b - a12|R f 二T2、(15 分)解：T二 h f (a) + 迅 f (x ) + f (b) 2kk=1=_L1 + 2 x (0.8824969 + 0.7788008 + 0.60653066+ 0.5352614 + 0.47236655 + 0.41686207) + 0.36787947二 0.6329434四、1、（15 分）解：1 2申，(x) = -(x + D-3(1.5)(1) 31二 0.18 1，故收敛；2）3）选择申(x)=| 12 x 2十 +|0(1.5)| = 0.17 1 代，故发散。=1.3572 x = 1.3309 x 二 1.3259，2，3x 二 1.324726(b(x )- x )2以k b(b(x )-2b(x )+ x kkk(3：x +1 x )2k k申(x)二 3x2=1.5 x，1二 1.324761)：x0x5x = 1.32494Steffensen 迭代：x 二 xk+1k3： 3； x +1 +1 2 x +1 +1kkx = 1.5 x = 1.324899 x = 1.324718计算结果： 0 ， 1 ， 2 有加速效果。 1X(k+1) = (24 - 3x(k)142X(k+1)=丄(30 - 3x(k) + x(k)V 2413x (k+1)=丄(-24 + x (k)342k = 0,1,2,3,A2、（8分）解：Jacobi迭代法:Gauss-Seidel 迭代法：1x(k+1) = _ (24 - 3x(k)1 4 2x(k+1)=丄(30 - 3x(k+1) + x(k)V 2413X(k+1) = (24 + X(k+1)42k = 0,1,2,3, AB =- D -i( L + U)=J0-340003434 0P (Bj) = F8(或 4)= 0.790569，x(k+1) = (1 - ) x(k)+ (24 3 x(k)1142x(k+1) = (1 - ) x(k)+ (30 3 x(k+1) + x(k) V 22413x(k+1) = (1 )x(k)+ (24 + x(k+1) 3342k = 0,1,2,3, ASOR迭代法：、 1、(15 分)解：改进的欧拉法：y(0) = y +hf(x ,y ) =0.9y +0.1n +1nn nn=y + - f (x , y ) + f (x , y(0) = 0.905y + 0.095 n+1n 2n n所以 y(0.1) = y1 =1 ； 经典的四阶龙格库塔法：-五、n+1n+1yn+1=y + k + 2k + 2k + k 4n 6123k = f ( x , y )1n n-=f (x + 2,y + 2 ki) n 2 n 2 1 k = f(x + -,y + -k ) 3 n 2 n 2 2k = f ( x + - , y + -k )4nn 32、（8 分）解：设H3（x）k = k = k = k = 0y (0.1) = y = 11234 ，所以1H ( x ) = f ( x )3i为满足条件3(xi) = f (xi)i = 0,1的Hermite插值多项式,代入条件P(x2)= f (x2)得：3ip(x)=H (x)+k(x-x )2(x-x )2301J f (x ) H (x )k 二3 2(x x )2(x x )22 02 1六、 (下列2题任选一题，4 分)A = B = B = D = 1、解：将f (x)二 1 x,x2,x3分布代入公式得： 20203020H (x )二 f (x )3 ii港口 4(x ) = f (x )i = 0,1 甘十x 二 0,x 二 1满足 3 ii其中 01f (&)f(x) H (x) = fx2(x 1)234!；构造 Hermite 插值多项式 H3 x11 xH (x)dx 二 S (x)则有： 0 3 ，R(x)二 J*1 xf (x) S(x)dx = J1f004!二J1 x 3( x 1)2 dx 二二04!x601440点)x 3( x - 1)2 dx4!2、解：h 2h3=y(x ) + hy(x ) +y(x ) + y(x ) +Ann 2! n 3! nh2h3a y(x ) a (y(x ) hy(x ) +y (x ) y气x )+A)0 n1 nn 2!n 3!nh2h3hey(x ) + (1 e)(y(x ) hy(x ) + 百y(x ) y(4)(x ) +A n n n 2! n 3! n=(1 a a ) y(x ) + h(1 1 + a ) y (x )n1 n1 a1 e1 )y (x ) + O(h4)6 6 2 nR = y (x ) yn ,hn+1n+101 1a+ h2( - i +1 -9)y (x ) + h3(： +221a a = 00 1 a = 01%+1e = o 12 2黑 h 3 y (x )所以主项：12na 二 10a 二 013e =-2该方法是二阶的。数值计算方法测试题二答案、判断题：（共10分，每小题2分）1、（ X ） 2. （ V ） 3、（ X ）7、（ X ） 8. （ X ）、填空题：（共10分，每小题2分）1、9 x8!、02、二_3、二_4、7、0简答题：（15分）1、2、3、四、4、( V )16 、 90 5、解：迭代函数为X x）=ln（4 - x ）/ln2-1 1x4 一 x ln 211x 4 - 2 ln2 x 2 xk+12 k x2kk 0,1,2A故对一切k 1,2, A , xk x 1 a 1所以xk+1 xk，即序列W 是单调递减有下界,k+1 =(1 +) (1 + 1) = 1x 2x 22又 kk从而迭代过程收敛。x-2x-1f (x)P(x)=厂厅 x f (1) + 十 x f 六、解：是。因为f(x)在基点1、2处的插值多项式为1一 22 -13J 3p(x)dx =f (1) + f (2)02。其代数精度为 1 。七、证明：由题意知：AX = b，AX = b - rX - X A j|r|A( X - X)二 r n X - X 二 A-1r nl|A二呗(川 bllAX 二 b n |b| 二 |AX| | |A|X| 又所以八、解设 H (x) = N 2( x) + ax( x -1)( x - 2)H (x) = 1 - 2 x -x( x -1) + ax( x -1)( x - 2)21a =45x2 + 3 x 14所以N 2(x)= f()+ f 0，1( x - )+ f WKx - )(x - D =1 - 2 x - 2(x - 0)( x - D由 H (0) = 3 得：H (x) = x 3 - 所以4 g (g )二 0)令R(x) = f (x) H(x)，作辅助函数g(t) = /(t) 一 H(t) 一 k(x)t2(t 一1)(t 一 2) 则g(t)在0,3上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：t = x,0,1,2k (x) = f 反复利用罗尔定理可得：f ( 4) (g )所以R( x) = f (x)-日(x) = k (x) x 2( x -1)( x - 2) = T x 2( x -1)( x - 2)Jbf (x)w(x)dx q 艺A f (x )kk九、证明：形如ak=1的高斯(Gauss)型求积公式具有最高代数精度2n+1次，它对f (x)取所有次数不超过2n+1次的多项式均精确成立 迟 A * (x )* (x ) = Jb * (x)* (x) w(x)dx =01)i k i j i a k j1 ) i =1ali (xj) = j0 ： = j2)因为(x)是n次多项式，且有I1 1 =)Jbl (x)l (x)w(x)dx = 2Al (x )l (x ) = 0a kji k i j i( k 丰 j )i=1()所以3)取f (x)=华(x)，代入求积公式：因为华(x)是2n次多项式, Jbl (x)w(x)dx = 2 A l (x )2 = Aij i ji所以aj=12J bl 2 (x) w( x) dx = 2 A =Jakk =1故结论成立。十、解：bw(x)dxkak=12 f( x)0*f x0, x1，A，叮=i = 0 p n i=0 H (x x )ijj=0j知fx0,x1,A ,xn+1=f( +1)(g ) = 1(n +1)!=数值计算方法试题三答案一.(24分)(1)f (x )=(2分)心+1 +、：x (2 分)10(3)(2分)2 xi I x22 x、2x1丿(4) (3分) 3 -31 (5) (3分) 477(6)(7)(6分)(4分)(64分)x 4+1)= 1 1.6 x )i2, k 二 0,1, Axd+1)二 2 + 0.4xd+1)219 91 (8) (2分) h0.2-1.6 -0.64 丿收敛(1)x (6分) n+1= Q(x )= 11 + COS(x )n 4n ，n=0,l,2,b C) = sin (x) 1八 1 】44对任意的初值x0 G 0,1，迭代公式都收敛。(2) (12分)用New ton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.0000941136115 沁 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555x=8x52|R|15 -100)(15 -121)(15 -144) 1-100-； x 15 x 6 x 29 沁 0.00163 68(10 分)设0(x)= c 0 (x)+ c 0_ (x) (o,0) G ,0S1)(01,02 )12 1 2 220=c + c x121dx = 12，(0 ,0 )= J1 xdx =1 2 0 2 ，(f, 0 )= Jxexp( x)dx = e -110(f,0 )= J1xexp(x)dx =120r1J/2r c)1lc丿2r e -1r c)1Ic丿20.8731、1.690 丿0 (x)= 0.8731 +1.690x比)=410 +(!8 6e)x=o.873i27+1.69O31x(4) (10分)=6(0)+4f (2 丿+f )= 0.94614588=12 f(0)+4f 4 丿|I 沁 1S - S | = 0.393 x 10-5或利用余项：x2sin(x)=1x 23!= 0.94608693I 沁 S = 0.946086932+ 乂 -竺+弋-A5!7!9!f (x )=-+ -A57 x 2!9 x 4!f (x)(b - a2880n4f ( )2880x5n4 0.05u = Av 32(10.05 (1.102 丿= (u ,v )= 10.11032(0.9940、10.1090丿|X(2)九(3)| = 0.002 0.05(0.9940、x.九10.1111，10.1090丿 局部截断误差=y（ti+1） yi+1=y(x )+ hy(x )+ 与 yCx )+ O(h3)- L(x )+ 0 hy(x )+ 0 hy(x ) 0 h2y(x )+ O(i3)i(x )+O(h3)i0i1i1=(1 0 0 by (x )+1 + 0 h 2 y01i ( 21丿令10 0 01 二 0y计算公式为 i+1=yi + 2 W - fi1)，i=o,1,2,（ 局部截断误差= 12h3y(x )+ O(h4) - )记 h = (b a) N,=a + ih p,i= p (x ) q = q (x ) ri , ii , i=r (x )i,yi = y(xi ), i=0.Nh (yi-12 yi+yi+1)+ 卩丄(y. - yi 2h i+1i-1)+ q y = ri i i , i=1.N-12 pJyi-1(2 + h 2 qiii+1i=1.N-1 (1)一 3yo + 4人- y2 - 0，与取i=1的方程联立消去y得2(-2 - 2 p )y +10+ h 2q + 2hp y(2)yN二0，与(1 )取i=N-1的方程联立消去y得N2 PN一22 + h2qN-1N-1=一 h 2 rN -1所求三对角方程组：方程(2),方程组(1)(i=1.N-2)，方程(3)