电势及其梯度课件

4 电势及其梯度电势及其梯度习题习题p74 1-24、25、26、36、37、39、41电势及其梯度静电场力做功与路径无关静电场力做功与路径无关n电荷间的作用力是有心力电荷间的作用力是有心力 环路定理环路定理 n讨论静电场的环流讨论静电场的环流 无无旋旋有有旋旋流流速速场场的的环环流流00ldvn静电场：电力线不闭合静电场：电力线不闭合n可以猜到静电场的环流为零可以猜到静电场的环流为零 0ldE证明证明 n单个点电荷产生的场单个点电荷产生的场 n把试探电荷q0从P移到Q QPQPrrQPrrQPQPPQrdrqqFdrFdrdlFldFA2004cos QPQPrrQprrPQdrrEqrrqqrdrqqA)(1144000200n静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关点电荷组产生的场点电荷组产生的场n在电场中把试探电荷从在电场中把试探电荷从P移至移至Q电场力所做的功电场力所做的功 nqqq,21nEEEE21QPnQPQPQPQPPQl dEl dEl dEql dEql dFA2100QnnpnnQpQprqrqrqrqrqrqq22221111004P到到 q1的距离的距离Q到到q1的的距离距离每项均与路径无关，只与位置有关每项均与路径无关，只与位置有关 任意有限大的带电体产生的电场任意有限大的带电体产生的电场 n可以将带电体无限分割成微元，每一个可以将带电体无限分割成微元，每一个微元均为一点电荷微元均为一点电荷 点电荷组点电荷组n结论结论：在任何电场中移动试探电荷时，在任何电场中移动试探电荷时，电场力所做的功除了与电场本身有关外，电场力所做的功除了与电场本身有关外，只与试探电荷的大小及其起点、终点有只与试探电荷的大小及其起点、终点有关，与移动电荷所走过的路径无关。关，与移动电荷所走过的路径无关。静电场的环路定理静电场的环路定理n静电场力做功与路径无关静电场力做功与路径无关 等价等价于于静电场力沿任意闭合回路做功静电场力沿任意闭合回路做功恒等于零恒等于零 0ldEn在任意电场中取一闭合回路，将试探电荷沿路径在任意电场中取一闭合回路，将试探电荷沿路径L L从从 pQPpQP，电场力所做的功为电场力所做的功为 PLQQLPLldEqldEqldEqA)(0)(00210)(0)(021QLpQLpldEqldEq 0ldE说明：说明：（1）环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路）环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个电场是不是静电场。定理检验一个电场是不是静电场。(2)环路定理要求电力线不能闭合。静电场是有源、环路定理要求电力线不能闭合。静电场是有源、无旋场。无旋场。静电场的环路定理静电场的环路定理 在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分等于在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分等于零。零。0讨论讨论n在证明在证明Gauss定理中，说电力必须与定理中，说电力必须与r2成反比，成反比，那么在环路定理的证明中是否也必须要求与那么在环路定理的证明中是否也必须要求与r2成成反比？反比？n答：不一定答：不一定 也有类似性质也有类似性质如弹性力如弹性力krf n哪些力具有做功与路径无关这种性质？哪些力具有做功与路径无关这种性质？n引力引力 引入引力势能引入引力势能n重力重力 引入重力势能引入重力势能 势函数势函数 n弹性力弹性力 引入弹性势能引入弹性势能 （位）（位）n静电力静电力 引入静电势能引入静电势能 电势能、电势差、电势电势能、电势差、电势 n可以与重力做功类比可以与重力做功类比n电场力做正功，电势能将减少电场力做正功，电势能将减少n电场力做负功，电势能将增加电场力做负功，电势能将增加电势能的电势能的改变量改变量q0在在 P点点的电势能的电势能q0在在 Q点点的电势能的电势能电势增量电势增量)(0PQQPPQQPPQWWWWWldEqA定义定义静电场与静电场与 q0有能量交换有能量交换电场力电场力的功的功电势的定义电势的定义n从中扣除从中扣除q q0 0,即引入电势即引入电势 加加电电场场吸吸收收能能量量，能能量量增增均均有有关关与与场场源源和和(电电势势能能的的减减少少少少电电场场付付出出能能量量，能能量量减减000qWAPQPQ，QPPQPQPQldEUqAqW00nP、Q两点之间的电势差定义为两点之间的电势差定义为n从从P点到点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功点移动单位正电荷时电场力所作的功n单位正电荷的电势能差单位正电荷的电势能差（三）电势（三）电势(electric Potential)电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点“标准点标准点”过程中电场力作的功。（令过程中电场力作的功。（令“标准点标准点”的电势为零）的电势为零）电势零点的选择：（电势零点的选择：（1）若带电体系局限在有限大小的）若带电体系局限在有限大小的空间里，通常选择无穷远处为电势零点。空间里，通常选择无穷远处为电势零点。（2）若带电体系电荷分布在无限大的区域内，通常取）若带电体系电荷分布在无限大的区域内，通常取有限位置处为电势零点。有限位置处为电势零点。（3）实际工作中常以大地或电器外壳为电势零点。）实际工作中常以大地或电器外壳为电势零点。标准点空间某点的电势值空间某点的电势值例：选择无穷远为势能零点例：选择无穷远为势能零点,P点电势值为点电势值为 PPPldEqAUpU0)(n两点之间电势差可表为两点电势值之差两点之间电势差可表为两点电势值之差)()(QUPUldEldEldEUQPQPPQ n单位：单位：1V(伏特）伏特）1J/C讨论讨论 n电势电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量，与场强一样是一个描述场本身性质的物理量，与试探电荷无关，是与试探电荷无关，是标量。标量。n电势电势UP：P与无穷处电势差与无穷处电势差 n电势零点电势零点 选取选取n可以任意选取可以任意选取n选择零点原则：场弱、变化不太剧烈选择零点原则：场弱、变化不太剧烈 n问题问题n无限大平面板的势能零点能否选在无穷远？无限大平面板的势能零点能否选在无穷远？例例:2.电势的计算电势的计算(1)用定义法求用定义法求U例例1.真空中一半径为真空中一半径为R的球面，均匀带电的球面，均匀带电Q，求带电，求带电 球所在空间任意一点球所在空间任意一点P的电位的电位U=？解：解：0Uppl dEU由高斯定理已求得电场分布：由高斯定理已求得电场分布：0ERr r r4QERr2o 设设 r，U=0P点处在球外点处在球外 rR：ppl dEU rPol drrQ42 rPodrrQ24rdpor4Q P点处在球内点处在球内 rR ppl dEUE=0=0 ppl dEU rRrRrPl dEl dE0R4Qo R41带电球面的电位分布：带电球面的电位分布：Rr Rr r4QUo R4QUo 1 球内电位处处相等，均为：球内电位处处相等，均为：R4QUo 2 球面处球面处U是连续。是连续。oUrR0ERr r r4QERr2o 与电场分布比较：与电场分布比较：球内球内E=0，是球面上各点电荷在球内，是球面上各点电荷在球内 的场强迭加为的场强迭加为 0。球内球内U 0，是将单位正电荷从球内移是将单位正电荷从球内移 到无穷远电场力作功到无穷远电场力作功 A 0。RrEoR注：注：结论：结论：42例例2.半径为半径为 R的无限长带电圆柱，电荷体密度为的无限长带电圆柱，电荷体密度为，求离轴为求离轴为 r处的处的 U=？R.pr解：由高斯定理求得各处的电场解：由高斯定理求得各处的电场Rr r r2RERro2 r r2o 0Uppl dEU设设r,U=0Rr PprdEU 设设 r=R处，处，U=0 22oRrorR2drr2URr 0r=0处，处，2oR2 Rrln2RUo2p U=Umax=drr2RPo2 po2rln2R rRRdrrRrdEUoUPopln2220rR2r2Eo 43例题例题3、一示波器中阳极、一示波器中阳极A和阴极和阴极K之间的电压是之间的电压是3000 V，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度，设电子从阴极出发时初速为零。设电子从阴极出发时初速为零。n解解电子带负电，它沿电势升高的方向加速运动，即从阴极电子带负电，它沿电势升高的方向加速运动，即从阴极 K出发到达阳极出发到达阳极 A.静电场力是保守力，按能量守恒静电场力是保守力，按能量守恒J.Uevme1619210804)0003()1060.1(21JKA电子到达阳极时获得的动能为电子到达阳极时获得的动能为m/s1025.3m/s1011.91080.42271316eKAmUev电子伏特电子伏特n电子伏特：能量单位电子伏特：能量单位n带有电量带有电量+e或或-e的粒子飞跃一个电势差为的粒子飞跃一个电势差为1V的的区间，电场力对它作的功区间，电场力对它作的功(从而粒子本身获得从而粒子本身获得这么多能量（动能）这么多能量（动能）1eVJVCeV19191060.111060.11 兆兆千千eVMeVeVkeV63101101太太吉吉eVTeVeVGeV129101101电势叠加原理电势叠加原理n点电荷组有点电荷组有 ipiPkPPPkPPPPUUUUldEldEldEldEU2121n连续带电体有连续带电体有dUldEUPPPPPrdqrdqrdqdU002041(4141 iiirqU041 电场中某点的电势等于各电荷电场中某点的电势等于各电荷单独单独在该点产生的电势在该点产生的电势的叠加的叠加(代数和代数和)。电势叠加原理电势叠加原理注意：注意：1、电势零点必须是同一个标准点。、电势零点必须是同一个标准点。2、空间某点的电势是空间所有电荷共同产生的。、空间某点的电势是空间所有电荷共同产生的。3、电势是标量，积分是标量迭加。所以电势叠加、电势是标量，积分是标量迭加。所以电势叠加 比电场叠加要简便。比电场叠加要简便。例例:例例16.点电荷点电荷q1=q2=q3=q4=4 10-9C,放置在一正方形的放置在一正方形的 的四个顶角上，各顶角距中心的四个顶角上，各顶角距中心5cm.求：求：(1)中心中心o点的电势点的电势,(2)将将qo=1 10-9C从无穷远移到从无穷远移到o点点,电场力作的功。电场力作的功。1q2q3q4qo解：解：(1)各点电荷在各点电荷在o点处的电位点处的电位r4qUUUUo4321 V108.28rqU4U2o1o (2)由定义可知：由定义可知：将单位正电荷将单位正电荷从无穷远移到从无穷远移到o点点,电场力作的功为电场力作的功为 A=Uo。将电荷将电荷qo从无穷远移到从无穷远移到o点点,电场力作的功为：电场力作的功为：A=qoUo=28.8 10-11 J iioiPrqU446例例17.计算均匀带电计算均匀带电Q的圆环轴线上任意一点的圆环轴线上任意一点P的的 电势电势U=？RrxXo解：取环上电荷元解：取环上电荷元 ，dq其在其在P点产生的电势点产生的电势dqr4dqdUo 22oxR4dq PU Q22oPxR4QU R4QUoP x4QUoP 相当于点电荷相当于点电荷22oxr4dqdU dq=2 rdr xxR2dUU22o .Pr当当x=0，1当当x R，2若是一带电圆盘？若是一带电圆盘？347讨论：讨论：求电势求电势n用电势定义求：用电势定义求：n用电势叠加原理求用电势叠加原理求 PPldEU dUUPnP35P35例题例题11111212自己看自己看n补充题两个均匀带电的同心球面，半径分别为补充题两个均匀带电的同心球面，半径分别为R Ra a和和R Rb b，带电总量分别为带电总量分别为Q Qa a和和QQb b,求图中求图中、区内的电势区内的电势分布分布方法一：已知场强求电势方法一：已知场强求电势bbabaaaRrrQQERrRrQERrE2032021414100rQQl dEUIIIbar03341)(414)11(4000322bbabbabaRRrrRQrQRQQRrQl dEl dEl dEUIIbb)(414)(4100003211bbaabbabbaaRRRRrrRQRQRQQRQRQl dEl dEl dEl dEUIbbaa方法二：电势叠加方法二：电势叠加n各区域的电势分布是内外球壳单独存在时的各区域的电势分布是内外球壳单独存在时的 n电势的叠加电势的叠加 rQURrRQURraaaaa0044外内内壳单独存在内壳单独存在rQURrRQURrbbbbb0044外内外壳单独存在外壳单独存在：内内21UU内外21UU外外21UU小结：小结：n求一点电势要已知这点到无穷远的场强分求一点电势要已知这点到无穷远的场强分布；布；n电势叠加要先求各带电体单独存在时的电电势叠加要先求各带电体单独存在时的电势，然后再叠加；势，然后再叠加；n电势是标量，叠加是标量叠加，比场强叠电势是标量，叠加是标量叠加，比场强叠加容易加容易.电场强度和电势电场强度和电势n已知场强已知场强 可求电势可求电势n已知电势已知电势 可否求场强？可否求场强？0cos0cos00EdlqldEqdAldE 2n等势面等势面 n等势面与电力线处处正交等势面与电力线处处正交 n证明：证明：设一试探电荷设一试探电荷q0沿任意一个等势面作一任意元沿任意一个等势面作一任意元位移位移dl电场力所做的元功电场力所做的元功n等势面密集处场强大，稀疏处场强小等势面密集处场强大，稀疏处场强小 n证明：证明：设：电场中任意两个相邻等势面之间的电势差为一设：电场中任意两个相邻等势面之间的电势差为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图），以点电荷为定的值，按这一规定画出等势面图（见图），以点电荷为例，其电势为例，其电势为rqrU041)(drrqrdU2041)(微微分分因为相邻等势面电势差为一定值，所以有因为相邻等势面电势差为一定值，所以有UdUrdr,Urqr204半径之差半径之差r2定值定值21rE 而而E E越越大大 越越密密 等等势势面面间间距距越越小小 越越小小越越小小E E越越小小 越越稀稀 等等势势面面间间距距越越大大 越越大大越越大大，22rrrr电势梯度电势梯度 n场有分布，沿各方向存在不同的方向微商场有分布，沿各方向存在不同的方向微商n梯度：物理量对空间坐标的微商梯度：物理量对空间坐标的微商,最大的方向微商最大的方向微商n如如 速度梯度速度梯度 温度梯度等温度梯度等n沿沿 l的方向微商可以表示为的方向微商可以表示为 lUlUollimn若取垂直方向，即场强方向若取垂直方向，即场强方向 n，则沿该方向的，则沿该方向的方向微商为方向微商为显显然然nUnUonlimcoslncos,cos1nUlUlUnU或或有有nUlU结论结论：两等势面间：两等势面间U沿沿n 方向的变化率比沿方向的变化率比沿其他任何方向的变化率都大其他任何方向的变化率都大 n电势梯度电势梯度 n方向：方向：沿电势变化最快的方向沿电势变化最快的方向 n大小：大小：nUn在三微空间在三微空间 nUgradUU或n电势梯度与场强的关系电势梯度与场强的关系 nEldEUQPnUnUEn0limn 很小，很小，场强场强E变化不大变化不大 nE总是沿着指向电势减少的方向总是沿着指向电势减少的方向E与与n相反相反n在数学场论中把在数学场论中把)(gradUUEkzjyix矢量微分算符矢量微分算符 直角坐标系表示直角坐标系表示 称称作作梯梯度度:U称称作作散散度度:A称称作作旋旋度度:A例例18.一个均匀带电圆环一个均匀带电圆环,半径为半径为R，电量为，电量为Q。求其轴线上任意一点的场强。求其轴线上任意一点的场强。X.PoRxr解：根据点电荷电位叠加，解：根据点电荷电位叠加，P点的电位点的电位 qoPr4dqU22oxR4Q P点的电场：点的电场：0zU0yU xUEExP 2322oxR4Qx 方向沿方向沿X轴正向轴正向51即：即：E 取决于取决于U 在该点的空间变化率在该点的空间变化率而与该点而与该点U 值的大小无关。值的大小无关。2 E的又一单位：的又一单位：V/m=N/C3 求求E的三种方法的三种方法点电荷电场叠加点电荷电场叠加：用高斯定理求对称场：用高斯定理求对称场：电位梯度法：电位梯度法：rrdqEo42 注：注：gradUE 1 内内SioEqSdE 1gradUE 52小结：小结：一、静电场性质的表现一、静电场性质的表现1、静电场对于置于场内带电体有力的作用2、带电体在电场力的作用下移动时，电场力对它作功。二、表征电场性质的物理量二、表征电场性质的物理量1、E点电荷：点电荷组：204qEr21014niiiqEr 分布电荷：连续电荷体分布：面分布：线分布：edqdVedqdSedqdl2014dqEr点电荷组：；分布电荷：3、E与U的关系：；三、静电场基本定理三、静电场基本定理1、高斯定理：2、环路定理：1014niiiqUr014dqUr()()QpQpUU pU QE dlEU lUEl 2、电势U空间任意点：点电荷：04qU0qAPPPdEU0ssdEq解题方法解题方法：一、求解电场分布的方法一、求解电场分布的方法1、利用迭加原理2、利用高斯定理3、利用E、U关系：已知E求U，；已知U求E，二、常用解题公式二、常用解题公式1、电偶极子的场强：延长线上：中垂面上：EU 30124pEr 3014pEr qAPPPdEU2、均匀带电无限长细棒场强：3、均匀带电细环的场强：轴上：环心：4、均匀带电无限大平面外场强：两均匀带异号电荷无限大平面：5、均匀带电球壳场强：rR E=0 rR223/204()qZERZ0E 02E0E204qEr