资源描述
空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算（一一一一）教学要求教学要求教学要求教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题教学重点教学重点教学重点教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式教学过程教学过程教学过程教学过程：一、复习引入1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量br与非零向量ar是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量平行向量平行向量平行向量由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量共线向量共线向量共线向量向量br与非零向量ar共线的充要条件是有且只有一个实数，使brar.称平面向量共线定理，二、新课讲授1. 定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量共线向量共线向量共线向量或平行向量平行向量平行向量平行向量ar平行于br记作ar/br2关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量空间任意两个向量空间任意两个向量空间任意两个向量ar、br（br0000），），），），ar/br的的的的充要条件是存在实数充要条件是存在实数充要条件是存在实数充要条件是存在实数，使使使使arbr.理解：上述定理包含两个方面：性质定理：若arbr（ar0），则有brar，其中是唯一确定的实数。判断定理：若存在唯一实数，使brar（ar0），则有arbr（若用此结论判断ar、br所在直线平行，还需ar（或br）上有一点不在br（或ar）上）.对于确定的和ar，brar表示空间与ar平行或共线，长度为 |ar|，当0时与ar同向，当0时与ar反向的所有向量.3. 推论：如果如果如果如果llll为经过已知点为经过已知点为经过已知点为经过已知点AAAA且平行于已知非零向量且平行于已知非零向量且平行于已知非零向量且平行于已知非零向量ar的直线的直线的直线的直线，那么对于任意一点那么对于任意一点那么对于任意一点那么对于任意一点OOOO，点点点点PPPP在直线在直线在直线在直线llll上的充要条件是存在实数上的充要条件是存在实数上的充要条件是存在实数上的充要条件是存在实数tttt满足等式满足等式满足等式满足等式OPOAt=+uuuruuurar其中向量ar叫做直线l的方向向量方向向量方向向量方向向量.推论证明如下： l/a ， 对于l上任意一点P，存在唯一的实数t，使得APt=uuurar(*) 又 对于空间任意一点O，有APOPOA=?uuuruuuruuur， OPOAt?=uuuruuurar ，OPOAt=+uuuruuurar 若在l上取AB=uuurar，则有OPOAtAB=+uuuruuuruuur(*)又 ABOBOA=?uuuruuuruuur ()OPOAtOBOA=+?uuuruuuruuuruuur(1)tOAtOB=?+uuuruuur当12t=时，1()2OPOAOB=+uuuruuuruuur理解： 表达式和都叫做空间直线的向量参数表示式空间直线的向量参数表示式空间直线的向量参数表示式空间直线的向量参数表示式，式是线段的中点公中点公中点公中点公式式式式事实上，表达式(*)和(*)既是表达式和的基础，也是直线参数方程的表达形式 表达式和三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，是平面向量相关知识的推广4. 出示例1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形. （ 分析：如何用向量方法来证明？）5. 出示例2：如图O是空间任意一点，C、D是线段AB的三等分点，分别用OAuuur、OBuuur表示OCuuur、ODuuur.三、巩固练习： 作业：空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算（二二二二）O ABCD 教学要求教学要求教学要求教学要求：了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中有关的简单问题教学重点教学重点教学重点教学重点：点在已知平面内的充要条件教学难点教学难点教学难点教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用教学过程教学过程教学过程教学过程：一、复习引入1. 空间向量的有关知识共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、中点公式2. 必修平面向量，平面向量的一个重要定理平面向量基本定理：如果eeee1、eeee2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量aaaa，有且只有一对实数1、2，使aaaa1eeee12eeee2.其中不共线向量eeee1、eeee2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底基底基底二、新课讲授1. 定义：如果表示空间向量如果表示空间向量如果表示空间向量如果表示空间向量aaaa的有向线段所在直线与已知平面的有向线段所在直线与已知平面的有向线段所在直线与已知平面的有向线段所在直线与已知平面平行或在平面平行或在平面平行或在平面平行或在平面内内内内，则称向量则称向量则称向量则称向量aaaa平行于平面平行于平面平行于平面平行于平面，记作记作记作记作aaaa/向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的2. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内3. 讨论：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量例如：对于空间四边形ABCD，ABuuur、ACuuuur、ADuuuur这三个向量就不是共面向量4. 讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？5. 得出共面向量定理共面向量定理共面向量定理共面向量定理：如果两个向量如果两个向量如果两个向量如果两个向量aaaa、bbbb不共线不共线不共线不共线，则向量则向量则向量则向量pppp与向与向与向与向量量量量aaaa、bbbb共面的充要条件是存在实数对共面的充要条件是存在实数对共面的充要条件是存在实数对共面的充要条件是存在实数对x，y，使得使得使得使得pppp= = xaaaa+ybbbb证明：必要性：由已知，两个向量aaaa、bbbb不共线 向量pppp与向量aaaa、bbbb共面 由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得 pppp= xaaaa+ybbbb充分性：如图， xaaaa，ybbbb分别与aaaa、bbbb共线， xaaaa，ybbbb都在aaaa、bbbb确定的平面内又 xaaaa+ybbbb是以xaaaa、ybbbb为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量， 并且此平行四边形在aaaa、bbbb确定的平面内，pppp= xaaaa+ybbbb在aaaa、bbbb确定的平面内，即向量pppp与向量aaaa、bbbb共面说明：当pppp、aaaa、bbbb都是非零向量时，共面向量定理实际上也是pppp、aaaa、bbbb所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内6. 共面向量定理的推论是：空间一点空间一点空间一点空间一点P在平面在平面在平面在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对内的充要条件是存在有序实数对内的充要条件是存在有序实数对内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得使得使得使得MPxMAyMB=+uuuuruuuuruuuur， 或对于空间任意一定点或对于空间任意一定点或对于空间任意一定点或对于空间任意一定点O，有有有有OPOMxMAyMB=+uuuruuuuruuuuruuuur分析：推论中的x、y是唯一的一对有序实数； 由OPOMxMAyMB=+uuuuruuuuuruuuuruuuuur得：()()OPOMxOAOMyOBOM=+?+?uuuuruuuuuruuuuruuuuuruuuuruuuuur， (1)OPxyOMxOAyOB=?+uuuuruuuuuruuuuruuuur 公式都是P、M、A、B四点共面的充要条件7. 例题：课本P88例1 ，解略小结：向量方法证明四点共面三、巩固练习向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积（2）一一一一、教学目标教学目标教学目标教学目标：向量的数量积运算向量的数量积运算向量的数量积运算向量的数量积运算利用向量的数量积运算判定垂直利用向量的数量积运算判定垂直利用向量的数量积运算判定垂直利用向量的数量积运算判定垂直、求模求模求模求模、求角求角求角求角二二二二、教学重点教学重点教学重点教学重点：向量的数量积运算向量的数量积运算向量的数量积运算向量的数量积运算利用向量的数量积运算判定垂直利用向量的数量积运算判定垂直利用向量的数量积运算判定垂直利用向量的数量积运算判定垂直、求模求模求模求模、求角求角求角求角三三三三、教学方法教学方法教学方法教学方法：练习法练习法练习法练习法，纠错法纠错法纠错法纠错法，归纳法归纳法归纳法归纳法 四四四四、教学过程教学过程教学过程教学过程：考点一考点一考点一考点一：向量的数量积运算向量的数量积运算向量的数量积运算向量的数量积运算（一一一一）、）、）、）、知识要点知识要点知识要点知识要点：1）定义： 设=,则ab=rr （的范围为 ）设11(,)axy=r，22(,)bxy=r则ab=rr 。注：abrr不能写成abrr，或abrrabrr的结果为一个数值。2）投影：br在ar方向上的投影为。3）向量数量积运算律：abba=rrrr ()()()ababab=rrrrrr ()abcacbc+=+rrrrrrr注：没有结合律()()abcabc=rrrrrr(二二二二）例题讲练例题讲练例题讲练例题讲练1、下列命题：若0ab=rr，则ar，br中至少一个为0r若ar0r且abac=rrrr，则bc=rr()()abcabc=rrrrrr22(32)(32)94ababab+?=?rrrrrr中正确有个数为 （ ）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个2、已知ABC?中，A，B，C所对的边为a,b,c，且a=3,b=1,C=30,则BCCAuuuruuur= 。3、若ar，br，cr满足0abc+=rrrr，且3,1,4abc=rrr，则abbcac+rrrrrr= 。4、已知2ab=rr，且ar与br的夹角为3，则ab+rr在ar上的投影为。考点二考点二考点二考点二：向量数量积性质应用向量数量积性质应用向量数量积性质应用向量数量积性质应用(一一一一)、知识要点知识要点知识要点知识要点：0abab?=rrrr（用于判定垂直问题）2aa=rr（用于求模运算问题）cosabab=rrrr（用于求角运算问题）(二二二二)例题讲练例题讲练例题讲练例题讲练1、已知2a=r，3b=r，且ar与br的夹角为2，32cab=+rrr，dmab=?urrr，求当m为何值时cdrur 2、已知1a=r，1b=r，323ab?=rr，则3ab+=rr 。3、已知ar和br是非零向量，且ar=br=ab?rr，求ar与ab+rr的夹角4、已知4a=r，2b=r，且ar和br不共线，求使ab+rr与ab?rr的夹角是锐角时的取值范围巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习1、已知1eur和2euur是两个单位向量，夹角为3，则（12ee?uruur）12(32)ee?+uruur等于（ ）A. -8 B. 92 C. 522、已知1eur和2euur是两个单位向量，夹角为3，则下面向量中与212ee?uurur垂直的是（）A. 12ee+uruur B. 12ee?uruur C. 1eur D. 2euur3、在ABC?中，设=ABa，=BCb，=CAc，若0)(+baa，则ABC?（ ） )(A 直角三角形 )(B锐角三角形 )(C钝角三角形 )(D无法判定4、已知ar和br是非零向量，且3ab+rr与75ab?rr垂直，4ab?rr与72ab?rr垂直，求ar与br的夹角。5、已知OAuuur、OBuuur、OCuuur是非零的单位向量，且OAuuur+OBuuur+OCuuur=0r，求证：ABC? 为正三角形。空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示教学要求教学要求教学要求教学要求：掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直教学重点教学重点教学重点教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算教学难点教学难点教学难点教学难点：理解空间向量基本定理教学过程教学过程教学过程教学过程：一、新课引入1. 回顾：平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算，2. 复习：平面向量基本定理.二、讲授新课1. 类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量ar，均可分解为不共线的两个向量11auur和22auur，使1122aaa=+ruuruur. 如果12aauuruur时，这种分解就是平面向量的正交分解.如果取12,aauuruur为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量,ijrr，则存在一对实数x、y，使得axiyj=+rrr，即得到平面向量的坐标表示(,)axy=r.推广到空间向量，结论会如何呢？(1)空间向量的正交分解空间向量的正交分解空间向量的正交分解空间向量的正交分解：对空间的任意向量ar，均可分解为不共面的三个向量11auur、22auur、33auur，使112233aaaa=+ruuruuruur. 如果123,aaauuruuruur两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量,abcrrr不共面，那么对空间任一向量pur，存在有序实数组,xyz，使得pxaybzc=+urrrr. 把,abcrrr叫做空间的一个基底（base），,abcrrr都叫做基向量.2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底单位正交基底单位正交基底单位正交基底，通常用iiii,jjjj,kkkk表示单位三个基向量的长度都为1；正交三个基向量互相垂直选取空间一点O和一个单位正交基底iiii,jjjj,kkkk，以点O为原点，分别以iiii,jjjj,kkkk的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，得到空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系O-xyz，3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量aaaa，且设iiii、jjjj、kkkk为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,)aaa，使aaaa1aiiii2ajjjj3akkkk空间中相等的向量其坐标是相同的讨论：向量坐标与点的坐标的关系？向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A111(,)xyz，B222(,)xyz，则ABuuurOBuuurOAuuur222(,)xyz111(,)xyz212121(,)xxyyzz?4. 向量的直角坐标运算：设aaaa123(,)aaa，bbbb123(,)bbb，则aaaabbbb112233(,)ababab+； aaaabbbb112233(,)ababab?； aaaa123(,)aaa()R； aaaabbbb112233ababab+证明方法：与平面向量一样，将aaaa1aiiii2ajjjj3akkkk和bbbb1biiii2bjjjj3bkkkk代入即可5. 两个向量共线或垂直的判定：设aaaa123(,)aaa，bbbb123(,)bbb，则aaaa/bbbb?aaaabbbb?112233,ababab=，()R?312123aaabbb=；aaaabbbb?aaaabbbb=0?1122330ababab+=6. 练习：已知aaaa(2,3,5)?，bbbb(3,1,4)?，求aaaabbbb，aaaabbbb，8aaaa，aaaabbbb解：略7. 出示例：三、巩固练习 作业空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示（夹角和距离公式夹角和距离公式夹角和距离公式夹角和距离公式）教学要求教学要求教学要求教学要求：掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题教学重点教学重点教学重点教学重点：夹角公式、距离公式教学教学教学教学难点难点难点难点：夹角公式、距离公式的应用教学过程教学过程教学过程教学过程：一、复习引入1. 向量的直角坐标运算法则：设aaaa123(,)aaa，bbbb123(,)bbb，则aaaabbbb112233(,)ababab+； aaaabbbb112233(,)ababab?；aaaa123(,)aaa()R； aaaabbbb112233ababab+上述运算法则怎样证明呢？（将aaaa1aiiii2ajjjj3akkkk和bbbb1biiii2bjjjj3bkkkk代入即可）2. 怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标）二、新课讲授 向量的模：设aaaa123(,)aaa，bbbb123(,)bbb，求这两个向量的模.aaaa222123aaa+，bbbb222123bbb+这两个式子我们称为向量的长度公式向量的长度公式向量的长度公式向量的长度公式这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度3. 夹角公式推导： aaaabbbb|aaaa|bbbb|cosaaaa,bbbb 112233ababab+222123aaa+222123bbb+cosaaaa,bbbb由此可以得出：cosaaaa,bbbb112233222222123123abababaaabbb+这个公式成为两个向量的夹角公式两个向量的夹角公式两个向量的夹角公式两个向量的夹角公式利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当cosaaaa、bbbb1时，aaaa与bbbb同向；当cosaaaa、bbbb1时，aaaa与bbbb反向；当cosaaaa、bbbb0时，aaaabbbb4. 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,)Axyz，222(,)Bxyz，则 222211212()()()ABdxxyyzz=?+?+?、，其中ABd、表示A与B两点间的距离5. 练习：已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：线段AB的中点坐标和长度；到A、B两点距离相等的点(,)Pxyz的坐标x、y、z满足的条件（答案：(2,32,3)；29；46870xyz+?+=）说明：中点坐标公式中点坐标公式中点坐标公式中点坐标公式：1()2OMOAOB=+uuuuruuuruuur121212(,)222xxyyzz+；中点p的轨迹是线段AB的垂直平分平面在空间中，关于x、y、z的三元一次方程的图形是平面 4. 出示例5：如图，在正方体1111ABCDABCD?中，1111114ABBEDF=，求1BE与1DF所成的角的余弦值分析：如何建系？ 点的坐标？ 如何用向量运算求夹角？ 变式：课本P96、例65. 用向量方法证明：如果两条直线同垂直于一个平面如果两条直线同垂直于一个平面如果两条直线同垂直于一个平面如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行则这两条直线平行则这两条直线平行则这两条直线平行三.巩固练习作业：课本P97练习 3题.6. 2立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法（一一一一）教学要求教学要求教学要求教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题教学重点教学重点教学重点教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用教学难点教学难点教学难点教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用 教学过程教学过程教学过程教学过程：一、复习引入1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示； 考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式； 如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？2. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？利用定义aaaabbbb|aaaa|bbbb|cosaaaa,bbbb或cosaaaa,bbbbabab?rrrr，可求两个向量的数量积或夹角问题；利用性质aaaabbbb?aaaabbbb可以解决线段或直线的垂直问题；利用性质aaaaaaaaaaaa2，可以解决线段的长或两点间的距离问题二、例题讲解1. 出示例1：已知空间四边形OABC中，OABC，OBAC求证：OCAB证明：OCABuuuuruuur()OCOBOA?uuuuruuuruuur OCOBuuuuruuurOCOAuuuuruuurOABC，OBAC， 0OABC=uuuruuur，0OBAC=uuuruuuur，()0OAOCOB?=uuuruuuuruuur，()0OBOCOA?=uuuruuuuruuurOAOCOAOB=uuuruuuuruuuruuur，OBOCOBOA=uuuruuuuruuuruuurOCOBuuuuruuurOCOAuuuuruuur，OCABuuuuruuur0 OCAB练习：教材P105 例1及P106思考题分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？2. 出示例2：如图，已知线段AB在平面内，线段AC，线段BDAB，线段DD，30DBD=o，如果ABa，ACBDb，求C、D间的距离解：由AC，可知ACAB由30DBD=o可知，,CABDuuuruuuur120o，2|CDuuuur2()CAABBD+uuuruuuruuuur2|CAuuur2|ABuuur2|BDuuuur2(CAABuuuruuurCABDuuuruuuurABBDuuuruuuur)22222cos120babb+o22ab+22CDab=+练习：教材P106 例2及其107思考题分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？说明:此方法也是用向量法求二面角的一种有效方法，应引起注意。 3. 出示例3：如图，M、N分别是棱长为1的正方体ABCDABCD?的棱BB、BC的中点求异面直线MN与CD所成的角解：MNuuuur1()2CCBC+uuuuruuur，CDuuuurCCCD+uuuuruuuur，MNCDuuuuruuuur1()2CCBC+uuuuruuur()CCCD+uuuuruuuur12(2|CCuuuurCCCDuuuuruuuurBCCCuuuruuuurBCCDuuuruuuur)CCCD，CCBC，BCCD，0CCCD=uuuuruuuur，0BCCC=uuuruuuur，0BCCD=uuuruuuur，MNCDuuuuruuuur122|CCuuuur12 求得 cos,MNCDuuuuruuuur12=，,MNCDuuuuruuuur60o.4. 小结：（1）向量法解题“三步曲”：化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题.（2）利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明三、巩固练习 作业：课本P107 练习 1、2题.3. 2立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法（二二二二）教学要教学要教学要教学要求求求求：向量运算在几何证明与计算中的应用掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题教学重点教学重点教学重点教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用教学难点教学难点教学难点教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用教学过程教学过程教学过程教学过程：一、复习引入讨论：将立体几何问题转化为向量问题的途径？（1）通过一组基向量研究的向量法，它利用向量的概念及其运算解决问题；（2）通过空间直角坐标系研究的坐标法，它通过坐标把向量转化为数及其运算来解决问题.二、例题讲解1. 出示例1： 如图，在正方体1111ABCDABCD?中，E、F分别是1BB、CD的中点，求证：1DF平面ADE证明：不妨设已知正方体的棱长为个单位长度，且设DAuuuriiii，DCuuuurjjjj，1DDuuuurkkkk以iiii、jjjj、kkkk为坐标向量建立空间直角坐标系Dxyz，则ADuuuur(-1,0,0)，1DFuuuur(0,12,-1)，ADuuuur1DFuuuur(-1,0,0)(0,12,-1)0，1DFAD又 AEuuur(0,1,12)，AEuuur1DFuuuur(0,1,12)(0,12,-1)0， 1DF AE又 ADAEA=I， 1DF平面ADE说明：“不妨设”是我们在解题中常用的小技巧，通常可用于设定某些与题目要求无关的一些数据，以使问题的解决简单化如在立体几何中求角的大小、判定直线与直线或直线与平面的位置关系时，可以约定一些基本的长度空间直角坐标些建立，可以选取任意一点和一个单位正交基底，但具体设置时仍应注意几何体中的点、线、面的特征，把它们放在恰当的位置，才能方便计算和证明2. 出示例2：课本P107 例3分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？3. 出示例3：课本P109 例4分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？4. 出示例4：证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行改写为：已知：直线OA平面，直线BD平面，O、B为垂足求证：OA/BD证明：以点O为原点，以射线OA为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，iiii,jjjj,kkkk为沿x轴，y轴，z轴的坐标向量， 且设BDuuuur(,)xyzBD， BDuuuuriiii，BDuuuurjjjj，BDuuuuriiii(,)xyz(1,0,0)x0，BDuuuurjjjj(,)xyz(0,1,0)y0,BDuuuur(0,0,z)BDuuuurzkkkk即BDuuuur/kkkk由已知O、B为两个不同的点，OA/BD5. 法向量定义：如果表示向量aaaa的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂向量垂向量垂向量垂直于平面直于平面直于平面直于平面，记作aaaa如果aaaa，那么向量aaaa叫做平面平面平面平面的法向量的法向量的法向量的法向量6. 小结：向量法解题“三步曲”：（1）化为向量问题化为向量问题化为向量问题化为向量问题 （2）进行向量运算进行向量运算进行向量运算进行向量运算 （3）回到图形问回到图形问回到图形问回到图形问题题题题.三、巩固练习 作业：课本P111、 习题A组 1、2题.7. 2立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法（三三三三）教学要求教学要求教学要求教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题教学重点教学重点教学重点教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用教学难点教学难点教学难点教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用教学过程教学过程教学过程教学过程：一、复习引入1. 法向量定义：如果直线l平面, 取直线l的方向向量为ar，则向量ar叫作平面的法向量（normal vectors）. 利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离.2. 讨论：如何利用法向量求线面角？ 面面角？直线AB与平面所成的角，可看成是向量ABuuur所在直线与平面的法向量n所在直线夹角的余角，从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角，根据两个向量所成角的余弦公式cos,ababab=rrrrrr，我们可以
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