第4章平面杆件体系的几何组成分析

第四章平面杆件体系的几何组成分析4.1凡何组成分析的基本概念结构是由若干根杆件通过结点间的连接及与支座连接组成的。结构是用来承受荷载的，因此必 须保证结构的几何构造是不可变的。例如：4.1.1凡何不变体系和凡何可变体系1. 几何不变体系（geom泌rica缈unchangeable system）:在不考虑材料应变的条件下，体系的 位置和形状不能改变。2. 几何可变体系（geometrically changeable system）：不考虑材料的变形，在微小荷载作用下，不 能保持原有几何形状和位置的体系。图4-1几何可变体系和不变体系显然只有几何不变体系可作为结构，而几何可变体系是不可以作为结构的。因此在选择或组成一个结构时必须掌握几何不变体系的组成规律。4.1.2自由度和妁京1. 自由度（degree of freedom）:自由度是指体系运动时，可以独立改变的几何参数的数目；即确定体系位置所需（平移和转动） 独立坐标的数目。（1）平面内一质点有2个自由度；x方向和y方向的运动（2）平面内一刚片有3个自由度；任意点的（x，y）坐标一个绕该点的转动角度。（3）地基是自由度为零的刚片。图可郭图4-2点和刚体的平面自由度2. 约束：(restraint):限制物体自由度的外部条件。或体系内部加入的减少自由度的装置。当对刚体施加约束时，其 自由度将减少。能减少一个自由度的约束称为一个联系，能减少n个自由度的约束称为增加了n个 联系（1）链杆（chainbar）：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形状和铰的位置如何。一根链杆可以 减少体系一个自由度，相当于一个约束。一根链杆相当于一个约束。链杆连接的两个刚片（减少一 个）有五个自由度。固定一地基上连杆，被连接的刚片（减少一个）还剩2个自由度。（2）单钗：连结两个刚片的铰。加单铰前构成体系的两个刚片共有六个自由度。加单铰后体系有四个自由度。一个刚片可以自由运动，但是，另一个刚片只能绕结点转动。但从被连接的一个刚片来说减少了2个自由度，它只能转动，不能自由移动了。（3）刚结点（焊接结点）：将两刚片联结成一个整体的结点，图示两刚片有六个自由度，加刚联结 后有三个自由度，结点将刚片连成整体（新刚片）。若是发散的，无多余约束，若是闭合的，则每个 无铰封闭框都有三个多余约束。（4）复钗：一个钗接点，连接n个刚片的复铰=（n-1）个单铰，使得被连接的刚片平动坐标有 两个，另外每个刚片还可以有由一个自由转动，共有2+n个自由度，减少了 2（n-1）个自由度。（a）链杆（b）单铰（c）刚结点（d）复铰点图4-3三种约束（5）铰支座：减少两个自由度（6） 定向支座：只允许结构沿馄轴滚动方向移动，而不能发生竖向移动和转动的支座形式，称为定向支座。减少两个自由度（7）.固定约束（埋在水泥里）减少三个自由度。（1）一根链杆相当于一个约束（2）一个固定铰支座相当于两个约束（3）一个固定端支座相当于三个约束（4）一个单铰相当于两个约束（5）联结n个刚片的复铰，其作用相当于（n 1）个单铰（6）虚铰的作用与单铰一样，仍相当于两个约束（7）多余约束对体系的自由度没有影响3. 多余约束多余约束（redundant restraint不能减少体系自由度的约束。（与静不定，超静定问题一致） 注意：多余约束将影响结构的受力与变形。图4-5多余约束如果在体系中增加一个约束，体系减少一个独立的运动参数，则此约束称为必要约束。如果在 体系中增加一个约束，体系的独立运动参数并不减少，则此约束称为多余约束。平面内一个无铰的刚性闭合杆（或称单闭合杆）具有三个多余约束。4. 体系的计算自由度一个平面体系通常都是由若干部件（刚片或结点）加入一些约束组成。按照各部件都是自由的 情况，算出各部件自由度总数，再算出所加入的约束总数，将两者的差值定义为：体系的计算自由 度（computational degree of freedom） W。这种理论上计算出的自由度是在假定在没有多与约束的前提下。（1）杆件体系的计算自由度W=（各部件的自由度总和）-（全部约束数）3-?m+ 2/i+ b）m一体系刚片的个数（不包括地基），s（g）一单刚结点个数（一般说来，钢结点=将两个刚片链接为一个刚片）。一单铰结点个数（刚片之间的单铰结点个数）b（r）支座链杆数 复连接要换算成单连接 刚接在一起的各刚片作为一大刚片。如带有a个无铰封闭框，约束数应加3a个。 铰支座、定向支座相当于两个支承链杆，固定端相三于个支承链杆。连四刖片ft=3 连三刖片立=2 连两刖片/t=l图4-6复皎图4-7的自由度=0h=2W=3m-3s-2h-r=3 x13+ 3 x 0-2 x18-3 =0m个刚片有3m个自由度，s个刚结点去掉3s个自由度，h个单绞去掉2h个自由度，r个连杆去掉 r个自由度。简便的结点算法：W=2j-b-r = 2 x 8-13-3=0j 结点数；b 杆件数；r 支座连杆数表4-1自由度的计算方法1.平面刚片系统：W=3m3g2hb2、平面铰结系统：W=2jb rW一自由度数m刚片数s（g）刚性联结数 h简单铰数 b（r）链杆数W一自由度数j结点数数b 内部链杆数（杆件数）r外部支座链杆数证明（未果）：只要证明3m-2h = 2j-b 或 3m-2h = 2j-m 因为m = b2m= j+h4.联系 约束联系是用来减少刚体自由度，确定其位置的装置，也称为约束。刚片几何形状不变的平面体链杆 两端铰结于其它刚片的杆件，一个联系,竖向位置确定，只能水平移动和转动。单铰联结两个刚片的铰复铰 联结n个刚片的铰，相对于n+1个铰5. 虚铰（瞬铰）（虚铰）联接两个刚片的两个链杆，相对于两链杆的延长线交点的一个铰。二链杆平行时，则相 当于虚铰在无穷远处。6. 必要约束与多余约束必要约束一一使体系几何不变所必须的约束多余约束一一在几何组成意义上，使体系几何不变不是必须的约束!： D引例 1a： j=6； b=9； r=3。引例 2 b： j=6； b=9； r=3。所以：W=2X6-9-3=0所以：W=2X6-9-3=0几何不变体系，有一个多余约束。按增加二元体顺序的不同，多余约束可以是AB、BC、CD、DE、EF中的任意一个。引例 3 c: m=1, a=1, n=0 , r=4+3X2 = 10引例 4 d:m=7, n=9, r=3W=3m-2n-3 X a =3X1-10-3X1 = - 10W=3Xm-2Xn-r=3X7-2X9-3 =0I弓例51；求困所示体系的讶耸自由度耻方法比此体系属于平面一般体系，页了 s o aIF =+3x7-(3x0-b2x9-b3) =D注意二连接n个刚片的较相当与fn-L)个单较采用(2-2 3式计算时，复刚绪点与岌教结点应转 换为攀刖结点和毕较绪点来计算”引例6求图所示体系的计算自由度 W。解：此体系属于铰结体系j = 10 A-20 氏 _2j3=2x10 20 0门，；引例7.计算W7方法1：此体系属于一般体系，m=6 g=4 h=1 b=4/ 方法2：此体系属于一般体系，只将 ABCD、AEFG视为刚片j Jg。日 m =2 g=0 h=1 b=4W = 3m-(3 g ,+2h,+b,) = 3 x 2 - (3 x 0 + 2 x 1 + 4) = 0例4-1求图4-8的自由度(a)(b)W = 3m-3s(g2h-r =3x4-3x0-2x3-6=0W=2j-b-r=2x 5 - 4 - 6 = 0W=3m-3s(g2h-r(b) =3x18-3x0-2x 26-0 = 2W = 2j-b-r=2x10-18-0 = 2 W0体系缺少足够的必要约束，还可以运动，体系是几何可变的 W=0体系有足够的必要约束，单是没有多余的约束，此时体系为静定的或几何不变的；不 过也有可能是缺少够的必要约束，同时又有多余的约束，体系还可以运动，体系是几何可 变的 Wff BE和基础分别看作刚片，它们通过不共 线的三个铰A、E、B两两相连故为无多余约束的几何不变体系。图 2.12例4-1试对图2.13所示体系进行几何组成分析。解：体系与地基以上部分与地基用三根不交于一点，且不完全平行的链杆1、2、3相连，符合 两刚片规则，只分析上部体系。将AB看作刚片I,用链杆AC、EC固定C，链杆BD、FD固定D， 则链杆CD是多余约束，故此体系是有一多余约束的几何不变体系图213例题：4.2试对图4-14所示的体系作几何分析（1）将地基AB视为一个刚片（2）顺次添加C、D、E形成的整个体系，按照二元 体规则，这个体系是几何不变的，并且没有多余的约束（3）规则（规则1）：二元体：是指由两根不在 同一直线上的链杆相互铰接形成的结构。在一个体系 上增加或减去二元体，不会改变原有体系的几何构造 性质。在刚片上用两根不在一条直线上的链杆联结出一个结点，形成无多余约束的几何不变体系 （或：在一个刚片上增加二元体）。（4）该体系是在地基上依次增加二元体A-C-B， C-D-B，C-E-D，E-F-D， E-G-F组成，按规则一，所 组成体系几何不变，且无多余约束_例4-3试对图4-15所示的体系作几何组成分析厂一 -* W,（1）将I （一个自由度），II （两个自由 /匕皆三度）视为刚件，共三个自由度等.片：#j图 4 1 （2） C是钗减少一个自由度，DE是链杆， 减少两个自由度（3）两刚片规则（规则2）两刚片之间，用不共点的三根链杆联结，或用一个单铰和一根连杆杆联结，且铰和链杆不在同一直线上，则组成无多余约束的几何不变体系。例4-4试对图4-16 （a），所示的体系作几何组成分析（是否有多余的束，是否几何不变）。引例2分析图示刚架的几何组成。解：1.将地基作为刚片I,刚架中间的T型杆部分BCE为刚片II，如图（b）所示。由于连接两刚片I, II的三根链杆交于一点O,不满足两刚片规则，故为瞬变体系。2.将折杆AB作为刚片，如图所示。则三铰A、B、O共线，不满足三刚片规则，仍为瞬变体系。引例3：试分析图示结构的几何组成。解：把杆AB与EF看作刚片I和II，它们之间用了四根链杆连接，由两刚片规则为几何不变体系， 有一个多余约束。再分析其与地基之间，由两刚片规则，仍为几何不变系。AB，EF 或 基结论：几何不变体系，但有一个多余约束。4.3几何组成规则的应用（续）/引例4（1）先看上部结构。找出三角形ABC、三角形FHG，作/为初步分析的刚片。、L /*.、% 八 （2）在初始刚片基础上，依次增加两个二元体，形成对称的两*/个刚片I、I】。（3）刚片I、刚片II通过链杆I与铰接点E相连，满足二刚片原则，上部结构几何不变。（4）上部结构与地基通过不交于一点的三根链杆相连（简支形式），最终结构几何不变。例4-5视ADC与BEC为两个刚片，以钗C链接几何不变无多余约束图 4-17【解】本题有四根支座链杆，应与基础一起作为一个整体来考虑。可将ACD部分作为刚片I, BCE 部分作为刚片II。另外，取基础作为刚片UI。刚片I与刚片口I有一个钗点A和一个链杆FD刚片I与刚片II由钗C相联，刚片I与刚片I由两根链杆相联，其延长线交于虚钗H,刚片I 与刚片I由两根链杆相联，其延长线交于虚皎田（省略）。因三个钗C、H、H恰在同一直线上， 故体系为瞬变体系。图 4-18图 4-19例4-8图 4-20习题4-1大地视为刚片I, ACD视为刚片II, BCE视 为刚片III, A, B, C分别为其连接的三个铰，由 三刚片原则可知其为几何不变部分，看成大地 依次增加二无体FGD, GHC, HIE, JIK,故体系 为几何不变无多余约束体系。何不变无多余约束依次去掉二元体A、B、C、D、E、F、G后 剩下大地，故该体系为几何不变体系且无多余图4-1约束。分析：对象：杆1、2和杆3、4和杆5、6和杆7、8和杆9、10和杆11、12和杆13、14；联系：二元体；去掉二元体，剩下大地-几习题4-2【解】本题有六根支座链杆，应与基础一起作为一个整体来考虑。图 2-20最后将杆DE和E处的支座链杆作为二元体加 于这个更大的刚片上，组成整个体系。因此， 整个体系是无多余约束的几何不变体系。习题4-3链杆平行，瞬变体系1.运用瞬铰并使对象拉开距离注释“拉开距离”是指三刚片之间均由链杆形成的瞬铰相连，而尽量不用实铰。分析：对象：大地与刚片（1）和（2）；刚片（2）为 三角形。联系：大地与刚片（1）：虚A （链杆1、2）； 大地与刚片（2）:虚铰C （链杆5、6）；刚片 （1）与（2） 虚铰B （链杆3、4）；三铰 不共线一一几何不变无多余约束分析，I.体系甲=0*ZRIJR 1、IIL土刚片、【II由1、2杆连于瞬铉44. 刚片匚皿由3、4杆连于瞬铉85. 刚片J、II由5、6杆连于g 结论，体系几何不变，无多余约束.习题4-5习题4-6图3-59中由A点利用对称性，得N| N?。开始向外展开.应熟 练掌握分析中所列零杆的判定方法,先选取基础为刚片I，杆AB作为另 一刚片II,该两刚片由三根链杆相联，符合两 刚片联结规则。I和I组成一个大的刚片，称为刚片m,再取 杆CD为刚片W,它与刚片m之间用杆BC（链杆） 和两根支座链杆相联，符合两刚片联结规则， 组成一个更大的刚片。习题4-7例1对图a所示体系进行几何组成分析。解:钗接三角形ABC为基础，连续增加二元体， 上部组成无多余约束的几何不变体系，看作刚 片1,基础看作刚片II,则符合两刚片规则，组 成无多余约束的几何不变体系。例2对图2.11所示体系进行几何组成分析。解:AB杆与基础之间用钗A和链杆1相连， 组成几何不变体系，可看作一扩大了的刚片。将BC杆看作链杆，则CD杆用不交于一点的三 根链杆BC、2、3和扩大刚片相连，组成无多余 约束的几何不变体系。另易秀例3.对图2.12所示体系进行几何组成分析。解:体系中折杆DHG和FKG可分别看作链 杆DG、FG（图中虚线所示），依次去掉二元体（DG、 FG）、（EF、CF），对余下部分，将折杆ADE、杆 BE和基础分别看作刚片，它们通过不共线的三 个钗A、E、B两两相连故为无多余约束的几何 不变体系。习题4-8（a）曲杆AC为刚片I,曲杆BD为刚片II,大地为刚片III, I，I由链杆CD与EF相连,虚钗为0,在EF杆上，点A,B为i，m与n，m相连接的钗。0,A,B三点不共线，所以由三刚片原则可知体系为几何不变无多余约束.（b）应该是几何可变体系习题4-9（a）I（ADE有一个自由度）、II（BCE有两个）是三刚片组成不变体系，以铰E连结后减少1个 自由度(b)将折杆用直杆代替。几何不变，无多余约束。j=6b=12体系为6个结点由12根链杆联 结组成W = 2j-b = 2X612=0 从地基开始，依次依次增加二元 体 AEF、 ADE、 FCE、 CBF 几何不变体系，有一个多余约 束。按增加二兀体顺序的不同， 多余约束可以是AB、BC、CD、 DE、EF中的任意一个。J=6,b=9,r=3W= 2J- (bar)=2X6-(9+3) 结论：体系几何不变， 无多余联系。习题4-12(a)(b)由一基本刚片I开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围，将体系归结为两个刚片或三 个刚片相连，再用规则判定。三刚片用不共线三铰相连，故原体系为无多余约束的几何不变体系。习题4-13 (a)(1)去掉与地基之间的连接。将1个三角形和2根杆件看成钢片。几何不变，没有多余约束(b)去掉与地基之间的连接。上部结构为9根杆，3根为刚片，6根为约束。几何不变体系,没有多余约束。无多余约束的几何不变体系习题4-14瞬变体系方法1：若基础与其它部分三杆相连，去掉基础只分析其它部分 方法2：利用规则将小刚片变成大刚片.方法3:将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.方法4:去掉二元体.方法5:从基础部分（几何不变部分）依次添加.瞬变体系体系的分类几何组成特性静力特性不 变体 系无多余约束的 兀何不壹体系约束数目正好 布置合理挣瓷建痢：仅由平 推亍每件就可反出4 部反力和内力有多余约束的 凡何不变体系约束有多余 布置合理起静定结构：次由 灯衡条件衣不出全 部反力和内力几何 可变体 系凡何眸变体系约束数目够布置不合理内力为无穷大 或不确定几何常变体系缺少必要 的约束不存在静力解答考研试卷思考题：1. 几何可变体系是否在任何荷载作用下都不能平衡?提示；如图。4. W 0是保证体系为几何不变的必要和充分条件吗?2. 有多余约束的体系一定是超静定结构吗?3. 图中的哪一个不是二元体（或二杆结点）?一、判断题1.瞬变体系的计算自由度一定等零。（X ）2.有多余约束的体系一定是几何不变体系。（X ）图示体系是几何不变体系。（X ）4.二、选择填空尢多余约束的几何不变体系 D ,体系的组成不确定4.多余约束”从哪个角度来看才是多余的？（)3.图示体系作几何分析时，可把A点看作杆1、杆2形成的瞬铰。（X ）1.体系计箕自由度挥V0是保证体系几何不变的仁非必要 D,必要和充分B.充分A.几何可变体系C*瞬变体系3.图示结构为了受力需要一共设置了五个支座乾杆，对于保持其几何不变来说有2 个多余约束】其中第1个 链杆是必要约束，不能由告他约束来代替”A. 从对体系的自由度是否有影响的角度看B.从对体系的计算自由度是否有影响的角度看C.从对体系的受力和变形状态是否有影响的角度看D.从区分静定与超静定两类问题的角度看图a 0 个多余约束图b 个多余约束图c 3个多余约束图d 2个多余约束6.图a属几何A体系。A.不变，无多余约束B.不变，有多余约束无多余约束B.不变，有多余约束A.不变，C.可变，无多余约束D.可变，有多余约束7. 图示体系与大地之间用三根链杆相连成几何的体系。A.不变且无多余约束 B.瞬变 C.常变 D.不变，有多余约束8. 图示体系为：_A9.图示体系的计算自由度为.DA.几何不变无多余约束B.几何不变有多余约束C.几何常变D.几何瞬变。A. 0B. 1C. -1D. -2三、考研题选解1. 三个刚片用不在同一条直线上的三个虚铰两两相连，则组成的体系是无多余约束的几何不变体系。（）提示：规律3,其中的“铰”，可以是实铰，也可以是瞬（虚）铰。2. 图示平面体系中，试增添支承链杆，使其成为几何不变且无多余约束的体系。专矛国e待3、图示体系几何组成为： _（4分）A.几何不变，无多余联系B.几何不变，有多余联系C.瞬变 D.常变4. 图示体系是 。（3分）A. 无多余约束的几何不变体系B.瞬变体系B. 有无多余约束的几何不变体系D.常变体系5. 图示体系A铰可在竖直线上移动以改变等长杆AB、AC的长度，而其余结点位置不变。当图示尺 寸为哪种情况时，体系为几何不变。（D ）A. h/2mB. h/4m 和 h/8C. h/4mD. h/2m 和 h/86. 对图示结构作几何组成分析。（4分）(b)Ill解：将刚片ABC做等效变换，变换成三角形，并选择刚片如图bo刚片I与基础III之间由钗A相 连，刚片II与基础III之间由钗B相连，刚片I、刚片II之间由链杆1、2组成的无穷远处的瞬 钗相连，由于钗A与钗B的连线与链杆1、2平行，故该体系为瞬变体系。四、考国家一级注册结构师试题选解1. 图示体系的几何组成为：A.常变体系B.无多余约束的几何不变体系C.瞬变体系D.有多余约束的几何不变体系解：先去掉二元体35、55，刚片2367仅需3个链杆即可构成 无多余约束的几何不变体系，原体系有一个多余约束，所以答案 选择。2. 图示体系的几何组成为：A.常变体系B.无多余约束的几何不变体系C.瞬变体系D.有多余约束的几何不变体系3.试对图示体系进行几何组成分析:答案:解：刚片124与基础用铰1相连，刚片356与基础用铰6 相连，刚片124与刚片356之间用两个平行链杆45、23相 连，二铰1、6的连线不与与两个平行链杆45、23平行，原 体系为无多余约束的几何不变体系，所以答案选择（2）3次超静定（3）几何瞬变（5）6次超静定（8）h=3m其余静定。