矩阵初等变换

1.6 1.6 矩阵的初等变换矩阵的初等变换(3)(3)定义定义2.9 2.9(1)(1)初等变换初等变换:称为矩阵的称为矩阵的加到另一行加到另一行(列）列）(列）列）上上.乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行 以一个以一个非零非零的数的数 k一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换对矩阵施以下列对矩阵施以下列3 3种变换种变换,(列列 )(列列 )交换矩阵的两行交换矩阵的两行(2)(2)把矩阵的某一行把矩阵的某一行 的的k k 倍倍例例 150346102532A46102532 152546031 320 1530460102 3020015230 1140 15300001011000012815007944007900441002314328 15(1)3100100100010100030513:简化阶梯阵的两个要素简化阶梯阵的两个要素.0.2元元素素为为首首非非零零元元所所在在列列的的其其它它;1.1 各各行行的的首首非非零零元元为为列标严格递增列标严格递增各行首非零元的各行首非零元的阶梯形矩阵阶梯形矩阵行行r 列列r0.0.00.0.000.000.0.000.0.0111经过若干次经过若干次定理定理 ijm nAa可以化为下面形式的矩阵可以化为下面形式的矩阵变换变换,任意一个矩阵任意一个矩阵初等初等111212122212.nnmmmnaaaaaaAaaa行行r 列列r22.100010nmmncbb2122212.nmmmnaaaaaa121.1.nbb121.1.nbb1002222.0.0.nmmnbbbb222.0.nbb2.0.mmnbb.00000000000001100001D6定义定义1.51.5如果矩阵如果矩阵B B可以由矩阵可以由矩阵A A经过有限次经过有限次初等变换得到，初等变换得到，则称则称A A与与B B是是等价的等价的.(或相抵的或相抵的)定理定理1.71.7 任意一个矩阵任意一个矩阵ijm nAa行行r 列列r0.0.00.0.000.000.0.000.0.0111都与一个形如都与一个形如的矩阵等价的矩阵等价.rEOOO定义定义1.14 1.14 初等矩阵有三种初等矩阵有三种:(1)(1)()(行行行行ji()()ij列列列列.00.11.1111E施行施行一次一次初等变换后初等变换后,得到的矩阵得到的矩阵称为称为初等矩阵初等矩阵.0.0.1.00.1.0.0(,)P i j 所的到的矩阵所的到的矩阵:(,)TP i j(,)P i j对单位矩阵对单位矩阵E交换交换E E的两行的两行(列列)二、初等矩阵二、初等矩阵(2)(2)i列列i行行0.0.00.0.000.000.0.1111.E()P i kk0k 得到的矩阵得到的矩阵()Ti kP()P i k以一个以一个非零非零的数的数k k乘以乘以E E的某一行的某一行(列列)把把E E的某一行的某一行)()(行行行行ji加到另一行加到另一行 上上得到的矩阵得到的矩阵.111.0.0.00.0.00.0.00.0.0.1.E列列i列列j(,()i jPkk(,()Ti jPk(,()j i kP(3)(3)的的k k 倍倍(列列)(列列)例如例如000000000000000001111100050000000000000000011110100E 000000000000000001111100000000000000000000111110000100000010(2,4)P0010000001(3,5)P0100010000(1,2)P)3(7P)1(2P45()P50000000000000000011110100E 000000000000000001111100070000000000000000011111000000000000000000001111100024(2,5 3)P0),2(3.5P(4,16)P0000000000000000011111000300000000000000000111110000.550000000000000000011110100E 0000000000000000011111000613例例 设设为二阶初等矩阵，为二阶初等矩阵，(1,2)P求求2(1,2)P(1,2)P2(1,2)P0110 (,)P1 2 可可逆逆(,)11 2P (,)1 2P10010110E 100121001E 容易验证，容易验证，一般地，一般地，(,)P i j(,)P i jE(,)P i j可逆，可逆，(,)1jP i 且且(,)P i j40000000000011110E)3(7P)3(7P00000000000071110000000000007111170000000000011010000000000001111)73(P可逆，可逆，13(7)P17)3(P17)3(P1111k列列i行行i列列i()P i k ()P i k可可逆逆1()P i k1()kP i11111kE 1()kP i3100010001E(1,23)P331,2()P)1,2(3P10031000110013000110100010031,2()P可逆可逆1(1,2)3P)31,2(PE 例例写出三阶初等矩阵写出三阶初等矩阵并求它们的乘积并求它们的乘积.31,2()P及及)1,2(3P3100010001E)1,2(3P31(,)kP i j(),P i jk一般地，一般地，初等矩阵都是可逆的初等矩阵都是可逆的,1(,)kP i j(),P i jk1()P i k1()kP i1(),jP i(,)P i j它们的逆矩阵它们的逆矩阵 仍是仍是同类型的初等同类型的初等矩阵矩阵.(,)P i j(,)P i jE()P i k1()kP iE(),P i j k(),P i jkE,()iPj k可可逆逆 定理定理1.6 1.6(1)(1)对对A A的的行行(2)(2)对对A A的的列列“左行左行,右列右列”等于用同种的等于用同种的 m m 阶初等矩阵阶初等矩阵等于用同种的等于用同种的 n n 阶初等矩阵阶初等矩阵设设 ijm nAa 是一是一 m mn n 矩阵矩阵得到的矩阵得到的矩阵,得到的矩阵得到的矩阵,左左乘乘A A.右右乘乘A A.施行施行一次一次某种初等变换某种初等变换施行施行一次一次某种初等变换某种初等变换19例例121233bbbaaa2 3交换交换1 1，2 2两行两行2 2100110011b2b3b1a2a3a121233bbbaaa2 3第第2 2行的所有元素行的所有元素2 210011a2a3a用非零常数用非零常数k k乘乘k1kb2kb3kb121233bbbaaa2 3加到第加到第1 1行的对应元素上行的对应元素上.2 21001第第2 2行的元素乘以行的元素乘以k k，k11akb22akb33akb1b2b3b20例例交换交换1 1，2 2两列两列2 210011b2b3b1a2a3a第第2 2列的所有元素列的所有元素10011a2a3a用非零常数用非零常数k k乘乘k1kb2kb3kb加到第加到第1 1列的对应列的对应元素上元素上.1001第第2 2列的元素乘以列的元素乘以k,k,k11akb22akb33akb1b2b3b123123abbaba3 21001123123abbaba123123abbaba21行行r 列列r0.0.00.0.000.000.0.000.0.0111经过若干次初等经过若干次初等定理定理1.71.7ijm nAa可以化为下面形式的矩阵可以化为下面形式的矩阵变换变换,A nijmaijaija.三、求逆矩阵三、求逆矩阵的初等变换法的初等变换法任意一个矩阵任意一个矩阵22nmAP1Q1P2Q2sP.tQ.rEOOO推论推论1 1 对任意对任意 矩阵矩阵A Amn 存在存在 阶初等矩阵阶初等矩阵msP PP12,.和和 阶初等矩阵阶初等矩阵ntQ QQ12,.使得使得0.0.00.0.000.000.0.000.0.1110P Q 令令sPP P21.P P P为为 阶阶mQ tQQ Q21.Q Q为为 阶阶n推论推论2 2 对任意对任意 矩阵矩阵A,A,mn 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵P Pm和和 阶可逆矩阵阶可逆矩阵Q,Q,n使得使得m nPAQrEOOO 可逆矩阵可逆矩阵.可逆矩阵可逆矩阵.23行行r 列列r0.0.00.0.000.000.0.000.0.0111A nijmaijamnija.若若A A是方阵，是方阵，mn则其标准形式则其标准形式也是方阵也是方阵.mnmn推论推论 行行r 列列r0.0.00.0.000.000.0.000.0.1.011DA nijnaijan n.nn若若 0A 从而从而则其标准形式为则其标准形式为nE若若A A为为n n 阶阶可逆可逆矩阵矩阵,nE D 则则D0n n0.00.0001.11.即若即若A A为为n n阶可逆矩阵阶可逆矩阵,A nijnaijann.从而从而D则则A A可以通过一系列可以通过一系列化为单位矩阵化为单位矩阵E En nAP1Q1P2Q2sP.tQ.0.00.000.1.11n nnE初等变换初等变换n n0.00.000.111.n n若若 0A 则则D0.nE 1000100001tsQAQPQPP1221.A A可逆可逆反之反之,.stnAQPQQEP P 12211.000.100.01 1.stQQPPQPA 21120 A即即A A可逆可逆.A A可逆可逆.stnAQPQQEP P 1221A A可以通过一系列初等变换可以通过一系列初等变换若右边成立若右边成立,则则化为单位矩阵化为单位矩阵.推论推论3 3A A可逆可逆.stnsQP PPQQAE 1112sP 1sP 1.sPP P 121sP 11sP 11.sPP P 221.tQAQQ 12tQ 1tQ 1.tQQAQ 121.stsP PP QP 11111211tQ 11tQ 11sP 1ssPP 111初等矩阵的逆矩初等矩阵的逆矩阵阵A A是一些初等是一些初等矩阵的乘积矩阵的乘积都是初等矩阵都是初等矩阵.还是初等矩阵还是初等矩阵.stnAQPQQEP P 1221sP 11sP 1.tQQAQ 122.ststP PPP Q Q 1111112111A .tsstQPPPPQ 1111112111.tQAQQ 12.tQAQQ 12sP PP12,.,tQ QQ12,.A A可逆可逆A A等于一些初等矩阵的积等于一些初等矩阵的积12sP .11P 12tQ .11Q 推论推论4 4 A A可逆可逆.kAG GG 12,.,kG GG12其其中中A A可以表示成可以表示成n n 阶矩阵阶矩阵A A可逆可逆均为均为n n 阶初等矩阵阶初等矩阵.一些初等矩阵的乘积一些初等矩阵的乘积.的充分必要条件是的充分必要条件是利用初等变换利用初等变换如果如果A A可逆，可逆，,.,kG GG12其中其中E .kAG GG 112.kAG GG 112.kGGAG12.kAG GG 112AA是初等矩阵是初等矩阵.对对A A对对E E 对对A A则则A A-1-1根据推论根据推论4,4,得到得到 E E得到得到A 1得到得到 E EE.kAG GG12EE AE.作初等行变换作初等行变换 EAE.作初等列变换作初等列变换A 1EA 1作作k k次行变换次行变换作同样的作同样的k k次次行变换，行变换，1A.12kG GG对对E E得到得到A 1作作k k次次列变换列变换作同样的作同样的k k次列变换次列变换AA求逆矩阵：求逆矩阵：也可逆，也可逆，A 012114210 AE 114010100012038 021 012100102 110 002 321002321010100 421 211 21 001 31221100010001 012114210例例 设设求求A A-1-1E1A 210001 1A 31222114211 ()1 114010012100()2 A 012114210AE 100010001 240001 111010 111010012100022 021 012100 103 110 002221010121 10024 32 3210024 010121001012100 002 221 0121142101211 1A 31222114211 E1A321210.00.0000.0000.0.nnaaaaA0.21 naaa求求A A-1-1A E 12210.000.00000.0000.00.00000nnnaaaaa0.0000.00000.0000.0000.00111110na10na10010na20na100133A E 122100.0000.00000.0000.000.00nnnaaaaa0.0000.00000.0000.0000.001111100.00na00.0011na11a21a21na11na1000.0na12000.0na200.00ana1100.00a00.01000.10001.00021a10.00011a11121na111na34.nnaaaa 12111110000000000000000A 135给定矩阵方程给定矩阵方程其中其中A A、B B且且A A可逆可逆.由由A 1A 1得得A B 1解法一解法一求求X X先用初等变换的方法，先用初等变换的方法，求出求出A 1再求出再求出A B 1为已知矩阵为已知矩阵,AXB AXB X X 36给定矩阵方程给定矩阵方程其中其中A A、B B为已知矩阵为已知矩阵,且且A A可逆可逆.由由A 1A 1得得A B 1用初等变换的方法求用初等变换的方法求XBA 1求求X XA A可逆，可逆，,.,kG GG12E .kAG GG 112AA其中其中是初等矩阵是初等矩阵.A A-1-1也可逆，也可逆，根据推论根据推论4 4，.kAG GG12BB对对B B得到得到A B 1 AB.作初等行变换作初等行变换 EA B 1解法二解法二对对A A作作k k次行变换次行变换得到得到 E E作同样的作同样的k k次次行变换行变换,A1 .kG GG12AXB AXB X XX37例例 解矩阵方程解矩阵方程110111012010253X 解解AXB X AB110101102 112053 110()1 0111101242 011()1 1012000333 0011113010201A B 10031X 1A B 312011 111138给定矩阵方程给定矩阵方程其中其中A A、B B且且A A可逆可逆.由由A 1A 1得得BA 1求求X X为已知矩阵为已知矩阵,解法一解法一先用初等变换的方法，先用初等变换的方法，求出求出A 1再求出再求出BA1 XAB X AB X X 39给定矩阵方程给定矩阵方程其中其中A A、B B且且A A可逆可逆.由由A 1A 1得得BA 1用初等变换的方法求用初等变换的方法求求求X XA A可逆，可逆，由推论由推论4 4E .kAG GG 112A A-1-1也可逆，也可逆，.kGGAG12BB.BA 1作初等列变换作初等列变换ABE 为已知矩阵为已知矩阵,XAB X AB X 解法二解法二BA 1X ,.,kG GG12AA其中其中是初等矩阵是初等矩阵.kG GG12A1 对对B B对对A A作作k k次列变换次列变换得到得到 E E作同样的作同样的k k次次列变换列变换,得到得到BA 1XX40例例解矩阵方程解矩阵方程 X 111210113111解解 由由XAB A 1A 1得得X BA 1AB 1112101111131211 01200224 012010 3100 24 0024 010 4100 51 2X BA 1 542 A B41求求A B 1作行变换：作行变换：AB.作初等行变换作初等行变换 EA B 1求求BA 1作列变换：作列变换：.BA 1作初等列变换作初等列变换ABE 42作业作业 P60 P60 3 3（1 1）（）（3 3）