2008四川大学数学分析考研真题

.四川大学 2008 年攻读硕士学位研究生入学考试题 一、极限（每题 7 分，共 28 分）1.2)11(limxxxxe 2.)11ln(lim21nnnenn 3.21)!(limnnn 4.)1ln(coslim2202xxxexxx 二、计算或证明下列各题（每题 10 分，共 60 分）1.设当0 x时，21)(xxf；当0 x时，xxexf)(.求dxxf31)2(2.设xxxf2)2(，0)1(f，求)(xf.3.计算曲面积分dSzyxIS)(，其中曲面0,:),(22223zazyxRzyxS 4.计算曲线积分dymeydxmyeyIxAmBx)()(，其中)(y、)(y为平面2R上的连续函数，AmB为连接点)2,1(A、)4,3(B的任意简单路径（方向从A到B），但它与直线AB围城的区域面积为定值P（0P）5.计算曲面积分dSzyxIS)coscoscos(222，其中S为圆锥面222zyx，hz 0，cos，cos，cos该曲面的外发向量n的方向余弦.6.设函数),(yxzz 具有二阶连续偏导数且满足方程 0)1()21()1(22222yzppyxzpqqpxzqq 其中xzp，yzq。假设yxu，zyv，zyxw之下，证明：02vuw。三、（本题 10 分）设)(xf在 1,0上具有连续导数，证明：)1()(lim10fdxxfxnnn .四、（本题 10 分）设)(xf在),(ba内二阶可微，证明：存在),(bac，使得)(4)()()2(2)(2cfabbfbafaf 五、（本题 10 分）设)(xf在),(ba内具有连续导数，且0)()(bfaf，证明：dxxfabxfbabxa)()(4)(max2 六、（本题 12 分）设0 x、0y、0z，证明：2222)1()1()1()1(3zzyyxxzyxzyx 七、（本题 20 分）设)(xf在x上有定义，在点0 x的某领域内有二阶连续导数，且Raxxfx)(lim0.证明（1）若0a，则级数1)1()1(nnnf收敛，级数1)1(nnf发散.（2）若0a，则1)1(nnf绝对收敛.