复合型裂纹断裂准则研究

2 作者：日期：个人收集整理 勿做商业用途 3 复合型裂纹断裂准那么研究 摘要 实际构造中由于荷载分布不对称，脆性材料的裂纹方位不对称以及材料各向异性等因素使得裂纹不是单一的受力状态。脆性材料中的裂纹多处于复合型受力状态,因此,确定脆性材料中的复合型裂纹起裂角和临界荷载有着重要的理论意义和实用价值。以因而复合型裂纹断裂准那么的研究有重要的理论意义和广泛的实用价值。复合型裂纹扩展与经典的 Griffih I 型裂纹扩展的要区别在于裂纹不是沿原来的裂纹面扩展，而是沿新的分枝扩展。本文以复合型裂纹为对象,将几种裂纹断裂准那么进展整理和小结。关键词 复合型裂纹;脆性断裂；起裂角;断裂准那么 1.引言 实际构造中由于荷载、构造、裂缝方位及材料各向异性等因素往往使裂缝不是单一的受力类型，因此复合型裂纹的分析有着重要的工程意义。许多学者、研究工作人员从不同的角度对宏观断裂机理进展了解释，建立了相应的复合型断裂准那么。复合型裂纹的断裂准那么根本上都是围绕以下两个问题展开的。1.裂纹沿什么方向扩展；2.裂纹在什么条件下扩展。即确定裂纹初始扩展的方位角O,和裂纹扩展的临界荷载。从宏观连续介质力学的观点研究复合型裂纹扩展断裂的问题,可以有多种方法。其中比拟常用的是两种方法：一是应力参数型，如最大周向应力准那么。二是能量型,如应变能密度因子准那么，能量释放率准那么。近年来，又有学者对复合弹塑性裂缝提出了J积分断裂准那么。J积分断裂准那么在预测起裂荷载时与试验符合得较好,而在起裂角的预测上那么有些偏差。另外,还有学者将偏斜应力张量的第二不变量2J作为判定依据,提出了最小2J准那么。金属材料中的裂纹扩展的真实动力来源于形状改变比能,为此，建立了形状改变比能密度因子准那么和复合型裂纹扩展的形状改变比能准那么，简称最小dS准那么和dU。这些准那么在复合型断裂的理论研究和实际工程应用上都有重要的意义。2.各种复合型裂纹断裂准那么简介 2.1 最大周向应力理论 国外学者 Erdon 和 Sih G C 首先提出了最大周向应力理论(又称为最大拉应力理论。文中假定：1)裂纹沿最大周向应力max的方向开裂。)裂纹扩展是由于最大周向应力到达了某一临界值而产生。对于 II 复合型裂纹问题,裂纹尖端附近的极坐标应力分量表达式为：个人收集整理 勿做商业用途 4 213 coscos3cos1 sin222 21cos cossin 222 21cos sin3cos1 22 2rIIIIIIrIIIKKrKKrKKr (2.)上述裂纹尖端的极坐标应力分量公式，在极半径 r 远远小于裂纹半长度 a 时适用。根 据最大拉应力理论的假定,(1)裂纹扩展方向由下式确定:220;0r const (2 sin(3cos1)0IIIKK (2.式2.3可以确定开裂角O方向。(2)根据假定(3-2，可以建立起相应的断裂判据：maxc (2.4 式中c为最大周向应力的临界值，可以由 型裂纹的断裂韧度ICK来确定。由于 I 型裂纹总是沿着原裂纹面的方向扩展，因此，开裂角0O。将0,0,IIoIICKKK 代入-1)式的第二式,得:2ICcKr (2.5)将(-)式的第二式和2-5)式代入(24)式得,23coscossin222OOIIIOICKKK (2.6 这就是最大周向应力理论建立起来的 II 复合型裂纹的断裂判据。.1.2 应变能密度因子理论 最大拉应力理论是以裂纹顶端为中心的同心圆上(r=常数)的最大周向应力作为衡量材料是否断裂的依据。然而材料的断裂不可能只由六个独立应力分量中的一个完全决定，而是应力分量共同作用的结果。S 提出了应变能密度因子理论,简称minS理论。该理论认为复合型裂纹扩展的临界条件取决于裂纹尖端区域的能量状态和材料的力学性能。该理论在预测裂纹扩展时基于以下两个根本假设：裂纹的初始扩展是沿着应变能密度最小的方向。个人收集整理 勿做商业用途 5 裂纹的扩展是应变能密度因子到达材料相应的临界值时发生的。对于线弹性体，应变能密度为,2222221122xyzxyzyxzxyzyxzWEE 27)将、II、II 型裂纹尖端附近区域的应力场叠加,得 I-III 复合型裂纹尖端的应力场,其应力分量为,133cos1sinsinsin2coscos2222222133cos1sinsinsincoscos22222222cossin222133cossincoscos1sinsin2222222xIIIyIIIzIIIxyIIIKKrKKrKKrKKrcos22sin22IIIzyIIIzxKrKr (.8)将2-8)式代入(2-9)式得用应力强度因子,IIIIIIKKK表达的应变能密度：2221112223312IIIIIIIIIWa Ka K Ka Ka Kr .式中系数分别为：11122233134cos1cos1612sincos121614 11cos1cos3cos11614aaaa 2.10 由以上两式可以看出，裂纹尖端附近区域的应变能密度不仅依赖于材料的弹性常数,而且还是极角的函数。假设令：222111222332IIIIIIIIISa Ka K Ka Ka K 2.1 那 么 2 )式 可 以 写 成：SWr .12)个人收集整理 勿做商业用途 6 其中 S 成为应变能密度因子,它表示裂纹尖端附近区域应变能密度场的幅度或强度，是具有方向性的量，r 裂纹前缘极坐标半径。根据应变能密度因子理论在预测裂纹扩展时的两个根本假设有:(1)裂纹将沿着 S 最小值的方向开场扩展，20200,=SS，且当时 (2.13 2)裂纹的扩展是由于最小 S 到达材料相应的临界值cS时发生的，即:mincSS 2.公式(2-13)、(-14)为应变能密度因子理论的根本方程。裂纹的初始扩展角由(2-13)式确定，求得开裂角后，代入(14)式得裂纹扩展判据或临界荷载。至于临界值cS，可以从 I 型裂纹的断裂韧度值ICK确定,对于纯 I 型裂纹问题,由于0IIIKK,由(2-0)和(2-11)式可得:2211134cos1cos16IISa KvK (2.15)鉴于 I 型裂纹总是沿着原来的裂纹面方向扩展,故在上式中令0,IICKK,就得到材料相应的临界值cS:2124ICvSK (216)对于纯I 型裂纹:0,0,IIIIKK,(9)式中仅含2IIK的一项不等于零，即:2222141cos11cos3cos116IIiISa KvK 217)将上式对求导，令0S，得:120,cos3v,使220S。即纯I 型裂纹的开裂方向并不是沿着原来的裂纹方向，而是与原来方向成一角,此方向依赖于材料性质，与柏松比 v 有关。对于 I-II 复合型裂纹受单轴拉伸的情况,如下图。此时 I,II 型应力强度因子,IIIKK分别为:2sin,sincosIIIKKKK。将代入，应变能密度因子为：2221112222(,)IIIIIISa Ka K Ka KaF 2.18)预测了裂纹扩展角后,再来预测临界荷载。由mincSS的条件，可以得到无量纲的临界个人收集整理 勿做商业用途 7 荷载/ICKK与裂纹角之间的关系为，124,12ICFKKv (21).1.3 复合型裂纹扩展的应变能准那么 材料的断裂可分为脆性断裂和韧性断裂两种型式，但实际上许多脆性材料断裂前在裂纹尖端已存在着塑性区,这种塑性区的存在可以阻止脆性断裂的裂纹扩展。该准那么对裂纹扩 展作如下假定：(1)裂纹初始扩展方向是沿裂纹尖端至弹塑性边界最小距离的方向。(2)当弹塑性边界内的总应变能到达 I 型断裂时应变能的临界值时，裂纹开场失稳扩展。将 I-I 复合型裂纹尖端应力分量代入应变能密度方程得:222111222332221112223312161216IIIIIIIIIdIIIIIIIIIWa Ka K Ka Ka KurWc Kc K Kc Kc Kur 220)裂纹尖端附近的弹塑性边界限可由 Vo-Mises 屈服条件确定，因此,2,/6dd osWWu,代入相应方程得下式:22211122233328IIIIIIIIIrc Kc K Kc Kc Kur .2)即式为裂纹前缘弹塑性边界限方程。根据前述裂纹扩展的假设1,开裂角将由下式确定,220,0drrd 22)由(2、(2-29)两式可得开裂角方程:22sin 2sin2cos2cossin3sin 20IIIIIIKK KK 223)II-II 复合裂纹断裂包络面方程:4222222444111213232233IIIIIIIIIIIIIIIIIIICb Kb K Kb K Kb K Kb Kb KK 2.24 其中:11121323223318242439/2832241,712411/4712411/48325611122099/4,712411/4712411/432712411/4vvvbbbvvvvvvvbbvvvvbvv (2.5)个人收集整理 勿做商业用途 8(2-23)式和(2-25)式为复合型裂纹扩展的应变能准那么的根本方程 2.14 最小2J准那么 该准那么认为裂纹在起裂和扩展过程的能量转化过程中起主要作用的是形状改变比能。并将偏应力张量的第二不变量2J作为判定依据,预测了裂纹启裂的角度和开裂荷载并且与实验数据符合得较好。偏斜应力张量的第二不变量2J在平面问题中可用应力分量来表示：2222211(,)626IIIijijxyxzyzxyJKKS S (2.6)将在 I-II 复合型裂纹问题中，裂纹尖端附近的弹性应力场的方程和式代入，可得2J的表达式,可以分成两个局部：表达裂纹尖端奇异性的项21J和非奇异性的项22J:2212222221*222*2312(,)(,)(,)1(,)661(,)cos2cos2426IIIIIIIIIIIIxyxzyzxyIIIxyJKKJKKJKKJKKJKKTTT 2.27)可以看出函数不仅反映了裂纹尖端区域应力的大小，而且表达了方向性。最小2J准那么是基于以下两个根本假定：(1.裂纹将沿2J最小值的方向开场扩展,即 222020,0=dJJd 且，当 (2.28)(2).裂纹开场扩展的判据是2J到达其临界值2cJ,即 220=,=cJJ 对 (2.9 公式(2-28)和公式2-2构成了最小2J准那么的根本方程。最小2J准那么以偏斜应力张量的第二不变量2J作为 I-I复合型裂纹断裂的判定依据。在裂纹扩展引起的应变能转化过成中,等效于形状该变比能的2J起作用。根据最小2J准那么成功地预测了裂纹起裂的角度和开裂荷载并且与实验数据符合得较好。2.1.5 形状改变比能密度因子断裂准那么 直接建立了形状改变比能密度因子理论,简称dminS准那么,其结果与提供的理论计算结个人收集整理 勿做商业用途 9 果和实验数据取得了较好的一致。该理论具有物理概念明确,公式推导简便，工程应用方便等优点。裂纹尖端附近区域的形状改变比能密度不仅依赖于材料的弹性常数,而且还是极角的函数。假设令:222111222332IIIIIIIIISC KC K KC KC K (2.30 那么式可以写成:ddSWr (.)根据本文提出的形状改变比能密度因子理论简称dminS准那么)的两个根本假设有:(1)裂纹将沿着dS最小值的方向开场扩展，即 20200,=ddSS，且当时 (.32)2)裂纹的扩展是由于最小 S 到达材料相应的临界值dcS即:minddcSS 2.33 公式2和2-43)为最小dminS准那么的根本方程。.1.复合型裂纹扩展的形状改变比能准那么 以裂纹尖端附近塑性屈服区内的总形状改变比能为依据。建立了复合型裂纹扩展的形状改变比能准那么。该准那么考察的是裂纹尖端塑性区域内总形状改变比能的变化对裂纹扩展的作用,这样比用裂纹尖端附近某一点处的一个力学参量的变化来描述裂纹扩展更符合实际情况。建立的复合型裂纹扩展的形状改变比能准那么(以下简称dU为准那么)成功地预测了复合型裂纹的扩展角和临界荷载。将其结果与实验数据和 准那么相比拟,结果说明，dU准那么在预测裂纹扩展角方面优于准那么。在偏斜应力状态下的形状改变比能密度为:22222216()6dxyzxyzxyzyxzvWE (2.34 在 I-IIII 复合荷载作用下,裂纹尖端附近的应力场方程代入上式,得到形状改变比能密度的表达式为:222111222331(2)16dIIIIIIIIIWc Kc K Kc Kc Kur .5)个人收集整理 勿做商业用途 10 式中系数分别为:21112222331coscos,sin2sin,4cos3sin,4cccc (2.36)本文建立的复合型裂纹扩展的形状改变比能准那么(简称dU准那么 对裂纹扩展作如下假设:(1)裂纹初始扩展的方向是裂纹尖端至弹塑性边界最小距离的方向。(2)当弹塑性边界内的总形状改变比能dU到达 I 型断裂形状改变比能的临界值d0U 时，那么裂纹开场失稳扩展。裂纹尖端附近的弹塑性边界限可由塑性理论中的 Vo Mse屈服准那么确定。我们根据可得开裂角方程：22sin 2sin22cos2cossin3sin 20IIIIIIKK KK 2.37 I-II-II 复合裂纹断裂包络面方程：4222222444111213232233IIIIIIIIIIIIIIIIIIICb Kb K Kb K Kb K Kb Kb KK .8 其中:11121322223223322224483064321,1283128364160124059128,128312831283bbbbbb (23(-38)式和2-39式为复合型裂纹扩展的形状改变比能准那么的根本方程。3 结论 本文对于几种相关的复合型裂纹的脆性断裂准那么进展了整理和简单的归纳，给出相应的计算方程，具体的计算过程和相应的实验数据请参看参考文献。到目前为止,关于复合型裂纹准那么的研究还不成熟，没有一个统一的判定标准。探讨各类构造和材料中复合型裂纹扩展的真实原因和动力一直是广阔学者研究的热门领域。事实上，没有一个准那么能包罗万象，解释清楚所有情况的裂纹扩展。应根据不同类型构造和材料以及裂缝开展的不同阶段应个人收集整理 勿做商业用途 11 用不同的断裂准那么。参考文献：1 程靳，赵树山.?断裂力学?北京，科学出版社.2006 2 赵诒枢.复合型裂纹扩展的应变能准那么J.固体力学学报,1987,No.:65-0.黄克智 复合型最大能量释放率断裂准那么.清华大学科技报告，1979.4 谈金祝,黄文龙，戴树和.双轴向荷载-II 复合型裂纹积分断裂准那么探讨J.南京化工大学学报，196,18(4)：47.5 赵艳华，徐世烺.I-II 复合型裂纹脆性断裂的最小2J准那么 J.工程力学,02,1(：4-98.6 赵延仕,赵诒枢，王元汉.复合型断裂准那么的实验研究J.华中工学院学报,95，No.1:4-0 蒋玉川 形状改变比能的2J积分及应用J.工程力学,200,17(6)：10-16.8 蒋玉川，王启智.复合型裂纹扩展的形状改变比能准那么.四川大学学报.Vol36No.3,4，2-9 蒋玉川，徐双武,陈 辉.脆性材料复合型裂纹的断裂准那么 工程力学，Vo.N.,08,50-5 1 林拜松 滑开型断裂的复合型脆断判据.应用数学和力学 985,Vol6.No.1，9798