二阶电路分析

二阶电路分析一一LC震荡的推导如图9.16所示，RLC串联电路零输入响应的数学分析依KVL,得+u + u u = 0RLC按图9.16中标定的电压，电流参考方向有dui = -C c dtnduu = Ri = RC cdtr di“ d 2 uu = L = LC cL dtdt 2将以上各式代入KVL方程，便可以得出以u为响应变量的微分方程，为Cd 2 uduLC c + RC c + u = 0T 0丿dt 2dtC(9.10)式(9.10)为一常系数二阶线性齐次微分方程，其特征方程为LCp 2 + RCp +1 = 0其特征根为i丫 R、2 L认2L丿2 1=a 、a 2 co 2LC0式中：a = R/2L称为衰减系数；o = 1.LC称为固有振荡角频率。0p =丄 土,:1,21.几种不同情况的讨论当(R/2L)21/LC时,p1、p为不相等的负实根，称为过阻尼情况。2特征根为p = a 土 齐a2 o 2 1,2 、 0微分方程的通解为(9.11)u (t)= A ep1t + A ep21C12其中待定常数A、A由初始条件来确定，其方法是：当t = 0时刻，则由1 2式(9.11)可得u C)= A + AC12对式(9.12)求导，可得t = o时刻u (t)对t的导数的初始值为udo )=心C + dt+C=A p + A p = +)1 12 2 Ct=0+联立求解式(9.12)和式(9.13)，便可以解出a、A 。1 2根据式(9.11)可知，零输入响应u (t)是随时间按指C数规律衰减的，为非振荡性质。(t)的波形如图9. 17所示。(2).当(R/2L二 1/LC 时,p1为相等的负实根,称为临界阻尼情况。特征根为p = p = a1 2微分方程的通解为u(t)=(A + A t)e - atC12图9,17 uc(的披形由初始条件u其中常数A、A12C +C +(9.13)可知，这种情况的响应也是非振荡的。(0 )和 u f(0 )来确定。u (t)的波形图根据式C其中(3)当时,p、p为具有负实部的共轭复根，称为欠阻尼情况。待征根1 2ILC 12 L 丿1【R1=1d VLC:2 L丿2=2 a 20称为阻尼振荡角频率。微分方程的通解为u C)= Ae at sin( t + p)Cd其中常数A和妒由初始条件确定。根据式(9.15)可知，响应随时间变化的规律具有衰减的振荡特性，它的振幅A = e5随时间按指数规律衰减,衰减的快慢取决于衰减系数a的大小,a越大则衰减就越快。衰减振荡的角频率为 o ，o越大，则振荡周期T二2兀/o就越小。du C)的波形图如图9.18所示。 C(4)当R二0时，p为一对共轭虚根，称为无阻尼情况。特征根为2ddP 、 1p = 土 jo1,2 0相应的表达式为u C)= A sin Co t + 9)C0其中A和申可以直接由初始条件确定。u C)的波形如图9.19所示。C从式(9.l6)和u C)的波形图可知，电路的零输入响应是不衰减的正弦振荡,其角频率为O。由于电路电阻为零，故称为无阻尼等幅振荡情况。图肛山欠阻尼情况电路零输入响应叫波形曲线图9. 19无阻尼等幅振荡情况电容电压响应波形图2.以上几种情况的物理意义电容和电感都是储能元件,只有电阻是耗能元件。电容放电时它所储存的电场能量,部分消耗在电阻中，一部分转移到电感储存于磁场中。在过阻尼情况下，由于R较大，能量消耗极为迅速，因此电感获得的磁场能量不 可能再返回给电容，而是随电路电流的下降而逐渐释放出来，一起消耗在电 阻上。所以，电容电压uC是单调下降的，形成非振荡的放电过程。在欠阻C尼情况下，由于R较小，电容放电时，被电阻消耗的能量较少，大部分电场 能转变为磁场能储存于电感中。当电容储能为零时，电感开始放电，电容被 反向充电。当电感储能为零时，电容又开始放电。这样周而复始。由于电阻 不停地消耗着能量，因此电容电压呈指数衰减的振荡过程。如果R=O，即电 路中无能量损耗，则在振荡过程中，电容释放给电感的能量和电感吸收后又 释放给电容的能量将始终相同。因此，电容电压uC的振幅将不会衰减，振C 荡将无限制地持续下去，形成等幅振荡。这就是无阻尼情况。