二重积分积分区域的对称性

定理4设二元函数f (x,y)在平面区域D连续，且D关于x轴对称，则1)当f (x, - y)二f (x, y) (即 f (x, y)是关于y的奇函数)时，有 ff f (x, y) dxdy = 0.D2)当f (x, -y) = f (x, y)(即f (x, y)是关于y的偶函数)时，有ff f ( x, y )dxdy = 2 ff f ( x , y ) dxdy.DD 1其中D是由x轴分割D所得到的一半区域。1例5计算I = ff (xy + y3 )dxdy ，其中D为由y2 = 2x与x = 2围成的区域。D解：如图所示，积分区域D关于x轴对称，且f (x, -y)二-(xy + y3)二一f (x, y)D类似地，有即 f(x, y) 是 关 于 y 的 奇函 数 ， 由 定理 1 有 ff f (xy + y 3) dxdy = 0 .定理5设二元函数f (x, y)在平面区域D连续，且D关于y轴对称，则fff ( x , y ) dxdy2fff (x, y) dxdy ,当 f (- x, y)=f ( x , y ).d0,当 f (- x, y) = f (x, y).其中D是由y轴分割D所得到的一半区域。例 6 计 算 I =2xDy = 2 x + 2 ; y =- 及解： 如图所示， D 关y d其d中yD为由2所围。于 y 轴对称， 并且f ( x, yY 2 x于 f ”即被积分函数是关于x轴 的偶函数，由对称性定理结论有：215I ff x 2 ydxdy 2 ff x 2 ydxdy 2 f1 dx f 2 x+2 x 2 ydxdy00DD 1定理6设二元函数f (x, y)在平面区域D连续，且D关于x轴和y轴都对称，则(1)当 f (- x, y)二-f (x, y)或 f (x, - y)二-f (x, y)时，有 ff f ( x , y ) dxdyD(2)当 f (- x, y) ff f ( x , y ) dxdyD=f (x, y ) = f (x, y )时，有 =4 ff f (x, y ) dxdyD1其中D为由x轴和y轴分割D所的到的1/4区域。9例7 计算二重积分1 ff (Dx| + |y |)dxdy ，其中D：解：如图所示，D关于x轴和y轴均对称，且被积分函数关于x和y是偶函数，即有f(x, y) f ( x, y) f(x, y) ，由定理2，得I ff (|x | + |y |) dxdy 4 ff (|x | + |y |) dxdyD D 1其 中 D 是 D 的 第 一 象 限 部 分 ， 由 对 称 性 知 ， 1 ff |x |dxdyD1+ y 1 .x|y dxdy ,D1故 I = 4 ff (|x | + |y |)dxdyD1=4 ff (|x | + |x |) dxdyD18 ff |xdxdyD1y二x3与y二x所围区域.情形二、积分区域D关于原点对称定理7设平面区域D D + D，且D , D关于原点对称，则当D上连续函数满足1 2 1 21) f (x, y) f (x, y)时，有 ff f (x, y) dxdy 2 ff f (x, y) dxdyDD 12) f (x, y) f (x, y)时，有 JJ f (x, y )dxdy = 0 .例8 计算二重积分 ff( x 3 + y 3) dxdy , D 为D解:如图所示，区域D关于原点对称，对于被积函数f (x, y)二x3 + y3，有f (x, y)二(x)3 + ( y)3 二(x3 + y3)二一f (x, y)，有定理7,得 JJ( x 3 + y 3) dxdy = 0 .D情形三、积分区域D关于直线y = x对称定理8设二元函数f (x，y)在平面区域D连续，且 D - Di + D2，DP关于直线y二x对称， 则1) JJ f (x, y) dxdy = JJ f (y, x) dxdy ；DDJJ f (x, y) dxdy 二 JJ f (x, y) dxdy .2)当 / (y, x) = f (x, y)时，有 U / (x, y) dxdy = 0DD1D23)当 f (y, x)二 f (x, y)时，有 J! f (x, y ) dxdy 二 2 ff f (x, y ) dxdyD D 1例9 求 I 二 JJ (- + 二)dxdy ，D为 x2 + y2 R2 所围. a 2b2D解:积分区域D关于直线y二x对称，由定理&得+ 二)dxdy ，a 2 b 2JJ (竺 + 竺)dxdy = JJ (竺 a 2 b2DJJ (竺 +) dxdya 2 b2D=-JJ (乂 + 兰)dxdy + JJ (兰 + 兰)dxdy 2 a2b2a 2 b2DD1111 11( + )JJ (x 2 + y 2 )dxdy = ( + )J 2 兀 d 0 J R r 2 rdr2a 2b22a2b20 0兀1R 4(一 +4 a 2可得：D类似地，存.定理9设二元函数f (x，y)在平面区域D连续，且D - + D2，DP关于直线y二x对称, 则 (1)当 f ( y,x)二f (x, y)，则有 f (x, y )dxdy = 0 ；(2)当 f (-y, -x)二 f (x, y),则有 JJf (x, y )dxdy2JJf ( x , y ) dxdy由以上性质, 得:D D 1例10计算I = JJ(x2 + y2)arcsin(x + y)dxdy,其中 d 为D区域：0 X 1, -1 y 0 .解:如图所示,积分区域D关于直线y = -x对称,且满足f(-y,-x)=-f(x, y),x 2 + y 2) arcsin( x + y) dxdy = 0 .D注：在进行二重积分计算时,善于观察被积函数的积分区域的特点,注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性,恰当地利用对称方法解题,可以避免繁琐计算,使二重积分的解答大大简化。