信号与系统连续时间信号的抽样及重建

信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统信号信号抽样抽样也称为也称为取样取样或或采样采样，是利用抽样脉冲序列，是利用抽样脉冲序列 p(t)从连从连续信号续信号 f(t)中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号称为离散样值信号称为抽样信号抽样信号，用，用 fs(t)表示。表示。一、信号抽样一、信号抽样)(tf)(F抽样?)(tfs)(sF信号与系统信号与系统一、信号抽样一、信号抽样 信号抽样信号抽样从从连续信号连续信号到到离散信号离散信号的桥梁，也是对信号的桥梁，也是对信号进行进行数字处理数字处理的第一个环节。的第一个环节。周期周期信号信号需解决的问题：需解决的问题：是否可以包含了是否可以包含了 的全部信息？的全部信息？也就是也就是 能否不失真地恢复能否不失真地恢复s()f t()f ts()f t()f t信号与系统信号与系统其中，其中，为为抽样角频率抽样角频率，为为抽样间隔抽样间隔 ，mm()f tF ,Ptp ss Ftf抽样脉冲抽样脉冲 p(t)是一个周期信号，它的频谱为是一个周期信号，它的频谱为()()2()sjntnnsnnp tPePPn ssT2sTssTf1为为抽样频率抽样频率信号与系统信号与系统()()2()sjntnnsnnp tPePPn 所以抽样信号的频谱为所以抽样信号的频谱为:1()()()()()2(ssf tf tp tFFP在时域抽样离散化相当于频域周期化在时域抽样离散化相当于频域周期化.()()()()snsnnsnFPnFP Fn 抽样信号的频谱是原连续抽样信号的频谱是原连续信号的频谱以抽样角频率信号的频谱以抽样角频率为间隔为间隔周期地延拓周期地延拓，频谱，频谱幅度受抽样脉冲序列的幅度受抽样脉冲序列的傅傅立叶系数加权。立叶系数加权。信号与系统信号与系统1 1、冲激抽样、冲激抽样 假设抽样脉冲是冲激串，那假设抽样脉冲是冲激串，那么这种抽样称为冲激抽样或理么这种抽样称为冲激抽样或理想抽样。想抽样。信号与系统信号与系统1 1、冲激抽样、冲激抽样s()()np ttnT()()()()()sssnf tf tp tf nTtnTsTTtnsnTttTPsss1de)(122j-T11()()()=()2ssnsnsnP FnFFFnT冲激序列的傅立叶系数为冲激序列的傅立叶系数为所以冲激抽样信号的频谱为所以冲激抽样信号的频谱为 抽样信号的频谱抽样信号的频谱 是以是以 s s 为周期等为周期等幅地重复幅地重复信号与系统信号与系统1 1、冲激抽样、冲激抽样信号与系统信号与系统ms mms 几点认识几点认识 倍。倍。差差幅度幅度含原信号的全部信息含原信号的全部信息包包时时sss,1,0 1TFTFn 性延拓。性延拓。的周期的周期即即新的频率成分新的频率成分有有为周期的连续谱为周期的连续谱以以 FF,2sso sFs1Tm s s 现原信号。现原信号。滤除高频成分，即可重滤除高频成分，即可重截止频率截止频率为为其增益其增益器，器，若接一个理想低通滤波若接一个理想低通滤波 3mscms T信号与系统信号与系统2 2、周期矩形脉冲抽样、周期矩形脉冲抽样 tptftf s :抽抽样样信信号号tf(t)otop(t)TStoTSfS(t)假设抽样脉冲是周期矩形假设抽样脉冲是周期矩形脉冲，那么这种抽样称为周期脉冲，那么这种抽样称为周期矩形脉冲抽样。也称为自然抽矩形脉冲抽样。也称为自然抽样。样。信号与系统信号与系统2 2、周期矩形脉冲抽样、周期矩形脉冲抽样()()snp tG tnT()()()()()ssnf tf tp tf t G tnT)2(SassnnTEP 周期矩形脉冲的傅立叶系数为周期矩形脉冲的傅立叶系数为那么抽样信号的频谱为那么抽样信号的频谱为 ()=Sa()()2nsnsssnsnEFFnTPFn 在矩形脉冲抽样情况下，抽样在矩形脉冲抽样情况下，抽样信号频谱也是信号频谱也是周期重复周期重复，但在重复，但在重复过程中，过程中，幅度不再是等幅的幅度不再是等幅的，而是，而是受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系数的数的加权加权。信号与系统信号与系统幅度幅度不再是等幅不再是等幅，受到周期矩形脉冲受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系数信号的傅立叶系数 的的加权加权2 2、周期矩形脉冲抽样、周期矩形脉冲抽样信号与系统信号与系统但为了便于问题分析，当脉宽较窄时，往往可近似为但为了便于问题分析，当脉宽较窄时，往往可近似为 冲激抽样。冲激抽样。冲激抽样和矩形脉冲抽样是两种典型的抽样冲激抽样和矩形脉冲抽样是两种典型的抽样在实际中通常采用矩形脉冲抽样。在实际中通常采用矩形脉冲抽样。一、信号抽样一、信号抽样 信号与系统信号与系统二、时域抽样定理二、时域抽样定理 tftfFFtf能能否否恢恢复复由由的的关关系系与与需需解解决决的的问问题题sss)(:信号的采样信号的采样第一个问题已经解决，第二个问题由时域抽样定理答复。第一个问题已经解决，第二个问题由时域抽样定理答复。该定理从理论上答复了为什么可以用数字信号处理手段该定理从理论上答复了为什么可以用数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。抽样定理在通信系统、信息解决连续时间信号与系统问题。抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十分重要的地位。传输理论、数字信号处理等方面占有十分重要的地位。信号与系统信号与系统或者说，抽样频率或者说，抽样频率 满足条件满足条件sf2smff时域抽样定理：时域抽样定理：一个一个频谱受限频谱受限的信号的信号 ，如果频谱，如果频谱只占据只占据 的范围，则信号的范围，则信号 可以用等间隔的可以用等间隔的抽样值抽样值 唯一地表示，只要抽样间隔唯一地表示，只要抽样间隔 其中其中 为为信号的最高频率信号的最高频率mm,()sf nT12smTfmf()f t()f t 通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率 称为称为奈奎斯特频率奈奎斯特频率，把最大允许的抽样间隔，把最大允许的抽样间隔 称为称为奈奎斯特间隔奈奎斯特间隔 。msff2mssffT211信号与系统信号与系统时域抽样定理的图解：时域抽样定理的图解：()f t()sf t()sf t()F()sF()sFmmmmmssTsT(a)连续信号的频谱(b)高抽样速率时抽样信号的频谱(c)低抽样速率时抽样信号的频谱及频谱混叠000000tttsss频谱混叠频谱混叠信号与系统信号与系统 例：例：求Sa(100t)100(2tSa的奈奎斯特角频率的奈奎斯特角频率.Sa(100t)cos(200t)解解：2002200)(tFt11002002200/)(2f100)(tft100)(F2002200100100)(200G故 FSa(100t)=m=100m=200则奈奎斯特角频率为则奈奎斯特角频率为2信号与系统信号与系统)100(2tSa21100)(200G100)(200G.F=mm=200则奈奎斯特角频率为则奈奎斯特角频率为2=400 mm=300则奈奎斯特角频率为则奈奎斯特角频率为2=600100)200(200G100)200(200G.FSa(100t)cos(200t)=+信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为 的的理想低通滤波器理想低通滤波器，即可从抽样信号，即可从抽样信号 fs(t)中中无失真无失真恢复原连恢复原连续信号续信号 f(t)。三、连续时间信号的重建三、连续时间信号的重建 mcsm信号与系统信号与系统因为因为所以，选理想低通滤波器的频率特性为所以，选理想低通滤波器的频率特性为假设选定假设选定 ，那么有，那么有理想低通滤波器的冲激响应为理想低通滤波器的冲激响应为假设选假设选 ，那么，那么而冲激抽样信号为而冲激抽样信号为三、连续时间信号的重建三、连续时间信号的重建 1()()ssnsFFnTs ()0 CCTHsmcm()()()sFFH)()(tSaTthCCs2sccssT2()()()()()()()ssssnnf tf tp tf ttnTf nTtnT信号与系统信号与系统那么连续低通滤波器的输出信号为那么连续低通滤波器的输出信号为说明：说明：1 1信号可以展开成抽样函数的无穷级数，该级数的系数信号可以展开成抽样函数的无穷级数，该级数的系数等于抽样值；等于抽样值；2 2假设在抽样信号的每个样点处，画出一个峰值为假设在抽样信号的每个样点处，画出一个峰值为 的的SaSa函数波形，那么其合成信号就是原连续信号；函数波形，那么其合成信号就是原连续信号；结论：只要各抽样值，就能唯一地确定出原信号。结论：只要各抽样值，就能唯一地确定出原信号。三、连续时间信号的重建三、连续时间信号的重建()()()()()()()(CssssCsCnnsf th tf nTtnTTSf tf natT SatnT()sf nT信号与系统信号与系统三、连续时间信号的重建三、连续时间信号的重建()()()sCsnf tf nT SatnT tf sF Fmmm)()(tSaTthCCsCsTt00sTcc H tfssT0000ttss1m信号与系统信号与系统在实际工程中要做到完全不失真地恢复原连续信号是不可能的。在实际工程中要做到完全不失真地恢复原连续信号是不可能的。三、连续时间信号的重建三、连续时间信号的重建 原因原因解决方法解决方法有限时间内存在的信号，有限时间内存在的信号，其频谱理论上是无限宽的其频谱理论上是无限宽的在信号被抽样之前，首先通过低在信号被抽样之前，首先通过低通滤波器（称为防混叠低通滤波通滤波器（称为防混叠低通滤波器）器）理想低通滤波器无法实现理想低通滤波器无法实现逼近理想低通滤波器的特性逼近理想低通滤波器的特性实际中的抽样一般是实际中的抽样一般是平顶的矩形脉冲抽样平顶的矩形脉冲抽样在用低通滤波器之前，加一个频在用低通滤波器之前，加一个频率响应为率响应为 1/P()的补偿滤波器的补偿滤波器信号与系统信号与系统假设连续频谱函数为假设连续频谱函数为F()，抽样频谱函数为，抽样频谱函数为FS(),即在频域抽样有即在频域抽样有假设假设 FS()对应的时间信号为对应的时间信号为 fs(t)，那么有，那么有 四、频域抽样与频域抽样定理四、频域抽样与频域抽样定理()()()()()ssssnnFFnF nn 1()()ssnsf tf tnT说明：信号在频率域抽样离散化等效于在时间域周期化。说明：信号在频率域抽样离散化等效于在时间域周期化。频域抽样定理频域抽样定理：频域抽样定理表明，一个时间受限的信号：频域抽样定理表明，一个时间受限的信号 f(t)，如果时，如果时间只占据间只占据 的范围，则信号的范围，则信号 f(t)可以用等间隔的频率抽样值可以用等间隔的频率抽样值 唯一地表示，抽样间隔为唯一地表示，抽样间隔为 ，它必须满足条件，它必须满足条件 ，其中，其中(,)mmtt()sF nsmstT22ssT 信号与系统信号与系统例：例：大致画出图所示周期矩形信号冲激抽样后信号的频谱。大致画出图所示周期矩形信号冲激抽样后信号的频谱。四、频域抽样与频域抽样定理四、频域抽样与频域抽样定理 信号与系统信号与系统解：信号在周期化、时域抽样过程中频谱的变化规律：解：信号在周期化、时域抽样过程中频谱的变化规律：1 1信号在时域周期化，周期为信号在时域周期化，周期为 T T，那么频谱离散化，那么频谱离散化，频谱间隔为频谱间隔为 002/T2/T。2 2信号在时域抽样，抽样间隔为信号在时域抽样，抽样间隔为 TS TS，那么频谱周期，那么频谱周期化，重复周期为化，重复周期为 SS2/TS 2/TS。四、频域抽样与频域抽样定理四、频域抽样与频域抽样定理 信号与系统信号与系统矩形单脉冲信号的频谱矩形单脉冲信号的频谱0()2FE Sa010()2()2mmEFSamT 周期周期矩形信号的频谱矩形信号的频谱频域抽样频域抽样频谱周期化，重复周期为频谱周期化，重复周期为 S2/TS。10001()()()2ssnssnmsFFnTEnSanmT 时域抽样时域抽样抽样间隔为抽样间隔为 TS周期矩形信号周期矩形信号四、频域抽样与频域抽样定理四、频域抽样与频域抽样定理 信号与系统信号与系统四、频域抽样与频域抽样定理四、频域抽样与频域抽样定理 信号与系统信号与系统11()()()()()22YFSSH()()()()()y tf ts ts th t解：解：信号与系统信号与系统sin1()()tf tSa tt()F利用利用傅里叶正反变换对称性傅里叶正反变换对称性求求2()2()FG tSa221()2()()2 FSa tGG由傅里叶正反变换对称性可知由傅里叶正反变换对称性可知2sin1()()()Ftf tSa tGt所以所以即即2()()FG即即21()()2 FG tSa信号与系统信号与系统另外另外()cos500s tt所以所以()(500)(500)S将将 、代入代入()S()F11()()()()()22YFSSH 21()()(500)(500)(500)(500)()4 YGH信号与系统信号与系统 2221()()(500)(500)(500)(500)()41(500)(500)(500)(500)()4 YGHGGH222221(1000)()()(1000)()41()2GGGGHG因为因为2()()Ff tG所以所以()sin()22f tty tt信号与系统信号与系统作业作业 13-05-2813-05-28P134 4-21P153 4-23