偏导数与全微分

1l 第一节 预备知识 l 第二节 极限与连续 l 第三节第三节 偏导数与全微分偏导数与全微分 l 第四节 微分运算法则 l 第五节 方向导数与梯度 l 第六节 多元函数微分学的几何应用l 第七节 多元函数的Taylor公式与极值 l*第八节 n元m维向量值函数的微分法 l 第九节 复变函数的导数与解析函数 第五章第五章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用2).(.)(),(,)(),(lim,)(,),(0,00,000,00000,000yxfxzxyxMyxfzxyxfyxxfDyxMDyxfzxMx或记为的偏导数处对在则称此极限为存在若上有定义在区域设1、概念:)(),(0,00的偏导数为处对在同样地，yyxMyxfz yyxfyyxfyyxfyzyM)(),(0lim)(0,0000,00定义 3.13.1 偏导数的概念与几何意义3.,),(),(),(),(yxyxffyzxzzyxyxfyxfDyxfz或记为简称为偏导数的偏导函数称为的函数它们均为上的每一点都有偏导数在区域若0,)(grad),(00MyzxzMzMyxfz处的梯度点4偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 5xyxzuxyzyeyxxzyzxz)3(;arctan)2(;2)1(:,323求偏导数2222222;)(11)2(yxxyzyxyxyxyxz例1xxeyxyzyexyxxz22326,43)1(:解11;ln;lnln)3(xxxyxxyxyzyzuxyzzyuyyzzxu6).0,0(),0,0()2(.)0,0(),()1()0,0(),(0)0,0(),(),(422yxffyxfyxyxyxxyyxf求的连续性在讨论设.)0,0(),(.lim),(lim)1(:422)0,0(),()0,0(),(点不连续在不存在由第二节例知解yxfyxxyyxfyxyx0)0,0(),0(lim)0,0(0)0,0()0,(lim)0,0().2(00yfyffxfxffyyxx例27偏偏导导数数xu 是是一一个个整整体体记记号号，不不能能拆拆分分;).0,0(),0,0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0,0(0 0).0,0(yf 8、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系例例如如,函函数数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定义义知知在在)0,0(处处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，92、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图10几何意义几何意义:11),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.n,.,阶偏导数以及四阶类似地定义三阶3.2 3.2 高阶偏导数高阶偏导数12.,),(222222yzxzxyzyxzxyxfzy求设xyzxyxxyxzxxyzxxyzxyyxzyxxzyyyyyy21122222221ln )(ln,ln )1(,:解例3130 1222222222zuyuxuzyxu满足拉普拉斯方程证明25222222252222322222)(2 2)(23)(1 zyxzyxxzyxxzyxxu例4 )(2)(21:2322223222zyxxxzyxxu证明1425222222222522222222)(2 ,)(2 :zyxxyzzuzyxxzyyu同样可得0222222zuyuxu150)0,0()0,0(lim)0,0(0)0,0()0,0(lim)0,0(:00yfyffxfxffyyxx解(0,0).(0,0),0 00 ),(2222223yxxyffyxyxyxyxyxf求22223522232422)(2),(,)(3),(,0yxyxxyxfyxyxyxyxfyxyx时当例例5 516,5,32222xyyyxyxyyyxy中例而中例?么条件混合偏导数相等需要什00lim)0,0(),0(lim)0,0(00yyfyffyxxyxy )0,0()0,0(1lim)0,0()0,(lim)0,0(00yxxyxyyxyxffxxxfxff17.),(),(,),(),(),(:1偏导数的次序无关即与求则有连续内的某邻域在点若定理yxfyxfyxyxfyxfxyyxyxxy10 ),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(:11yyyxyxyyxFyxfyxxfyxyxfyxxfyyxfyyxxfFy则设证明 10 ),(),(),(21211yxyyxxfyyyxfyyxxfyxyy定理定理 3.118),(),(:0,0,),(),(1,0 ),(:43424343yxfyxfyxffyyxxfyyxxfyxyyxxfFyxxyyxxyxyyxxy得令连续由于同样可得19),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),(二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏增增量量由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得1 1、定义、定义3.3 3.3 全微分全微分20 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，并并设设),(yyxxP 为为这这邻邻域域内内的的任任意意一一点点，则则称称这这两两点点的的函函数数值值之之差差 ),(),(yxfyyxxf 为为函函数数在在点点 P对对应应于于自自变变量量增增量量yx ,的的全全增增量量，记记为为z，即即 z=),(),(yxfyyxxf 全增量的概念全增量的概念21 .全微分二定义定义 3.23.2.)()(,)(),(),(),(),(22yxyxyxBAoyBxAyxfyyxxfzyxyxfz有关而与无关与其中的全增量可表示为在点如果yBxAdzdzyxyxfzyBxAyxyxfz ,),(),(,),(),(即记为的全微分在点为处可微在点则称222、可微的条件、可微的条件一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在23yyzxxzdz ),(),(lim)()(),(),(),(),()1()0,0(),(22yxfyyxxfyxoyBxAyxfyyxxfzyxyxfzyx处可微在证明则可微在点若函数必要条件定理,),(),()(2yxyxfz 且处存在偏导数在,),(),()2(yzxzyxyxf;),(),()1(处连续在yxyxf处连续在),(),(yxyxf定理定理 3.23.224)(0lim),(),(0lim AxxoAxxyxfyxxfxxz于是处可微在),(),(),(),(),(),(),(),()2(yoyByxfyyxfxoxAyxfyxxfyxyxfzByyoByyyxfyyxfyyz)(0lim),(),(0lim 25.)0,0(),(),0,0(),0,0(00 0),(222222处的可微性在并讨论求设yxfffyxyxyxxyyxfyx0000lim)0,0(),0(0lim)0,0(0000lim)0,0()0,(0lim)0,0(:yyyfyfyfxxxfxfxfyx解例例6 622)()(yxyx)0,0()0,0(fyxfz而22)()()0,0()0,0(yxyfxfzyx2322)()(yxyx26,.,62:的条件高阶无穷小是比加上必须再但它并不一定是全微分表达式当偏导数存在时可得到而非充分条件要条件偏导数存在是可微的必知及例由定理注yyzxxzzdzyyzxxz才能保证全微分存在，且,zzdzdxdygradzdx dyxy.)0,0(),(.),00(),(.1,1,处不可微在故上式的极限不存在因此当极限分别为趋于零时分别沿上式当yxfyxxyxyyx27定理定理3.3（充分条件）（充分条件）.,在该点可微则函数处连续在点的偏导数若fyxMyzxzyxfz0,1010,:212121iyxyxyyxfxyxfyyyxfxyyxxfyxfyyxfyyxfyyxxfyxfyyxxfz证明yxyyxfxyxfyx21,28;0;2,10lim;2102122222121oyxiyxyyxxyxi又而由定义知，f 在M点可微。29解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1,2(exz ,22)1,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分30解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4().74(82 31解解,1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 32思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分 )0,0(),(yx，)0,0(),(yx讨论讨论.33证证令令,cos x,sin y则则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0),0,0(f 故故函函数数在在点点)0,0(连连续续,)0,0(xfxfxfx )0,0()0,(lim0,000lim0 xx同理同理.0)0,0(yf34当当)0,0(),(yx时时，),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0,0(时时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.35所所以以),(yxfx在在)0,0(不不连连续续.同理可证同理可证),(yxfy在在)0,0(不连续不连续.)0,0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在点在点)0,0(可微可微.0)0,0(df36多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导37全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 38解解.),(yxyxf 设函数设函数.02.0,04.0,2,1 yxyx取取,1)2,1(f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy,2)2,1(xf,0)2,1(yf由公式得由公式得02.0004.021)04.1(02.2 .08.1